余弦定理(二).docx

余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.知识点一正弦定理及其变形1.2R .2.a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.知识点二余弦定理及其推论1.a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.2.cos A，cos B，cos C.3.在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C为钝角；c2c，已知2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由2得，cacos B2，又cos B.所以ca6.由余弦定理得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292613.解得a2，c3或a3，c2.因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，B(0，)，sin B .由正弦定理得，sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.跟踪训练2在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值.解(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B，即tan B，因为B是三角形的内角，所以B.(2)由sin C2 sin A及正弦定理得，c2a.由余弦定理及b3，得9a2c22accos，即9a24a22a2，所以a，c2.题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：.证明在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，2(a2b2)2accos B2bccos A，即a2b2accos Bbccos A，.由正弦定理得，故等式成立.跟踪训练3在ABC中，若acos2ccos2 ，求证：ac2b.解由题a(1cos C)c(1cos A)3b，即aacc3b，2aba2b2c22bcb2c2a26b2，整理得abbc2b2，同除b得ac2b，故等式成立.忽略三角形中任意两边之和大于第三边例4已知钝角三角形的三边BCak，ACbk2，ABck4，求k的取值范围.错解cba，且ABC为钝角三角形，C为钝角.由余弦定理得cos C0.k24k120，解得2k0，由知0kk4，即k2.正解cba，且ABC为钝角三角形，C为钝角.由余弦定理得cos C0，k24k120，解得2kk4，k2，由可知2k3，则x对角的余弦值x，解得x5.(2)若x3，则3对角的余弦值3，解得1xb2c2，则ABC为钝角三角形；若a2b2c2bc，则A为60；若a2b2c2，则ABC为锐角三角形；若ABC123，则abc123.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.在ABC中，已知a2，则bcos Cccos B等于()A.1 B. C.2 D.43.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.4.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b等于()A.10 B.9 C.8 D.55.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b2ac，则B的取值范围是()A.(0， B.，) C.(0， D.，)6.若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.84 B.1 C. D.7.在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中点，AM4，则BC等于()A. B. C. D.8.如图，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，DC2BD，则等于()A. B.C. D.二、填空题9.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，则cos A的值是 .10.ABC为钝角三角形，a3，b4，cx，则x的取值范围是 .11.在ABC中，C3B，则的范围是 .三、解答题12.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2ac且cos B.(1)求的值；(2)设，求ac的值.13.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：当堂检测答案1.答案B解析由题ba，整理得a2b2，ab.2.答案C解析由正弦定理得a2c2b2bc，结合余弦定理得cos A，又A(0，)，A120.3.答案D解析由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos A得7252AC225AC()，AC3或8(舍).4.答案B解析只需让3和a所对的边均为锐角即可.故，解得2a.5.答案1解析由余弦定理得c2a2b22abcos C，a21a3，即a2a20，解得a1或a2(舍).6.答案钝角解析4所对的角的余弦为4，则x所对的角为钝角，0且x347，5x7.若x4，则4对的角为钝角，4，1x.x的取值范围是(1，)(5,7).11.答案(1,3)解析由正弦定理可得cos 2B2cos2B4cos2B1.ABC180，C3B，0B45，cos B1，14cos2B13，13.三、解答题12.解(1)由cos B，B(0，)，得sin B ，由