第十三讲向量的概念及向量的线性运算.doc

第十三讲 向量的概念及向量的线性运算课前预习BACDO第3题图ABPQC第1题图第5题图 1如图，设P，Q是ABC的BC边上的三等分点，若b，c，则 ； 2 设e1， e2是两个不共线的向量，则向量be1+l e2（lR）与向量a2e1e2共线的充要条件是l= 3 已知在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC上的高，O为AD的中点，若， 则l+3m 4 已知和点M满足.若存在实使得成立，则= 5如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|，若l+（l，mR），则l+m的值为 典例精析【例1】已知，不共线，设（l，mR），求证：A，B，M三点共线的充要条件是l+m1练习：1. 若平面内共线的A，B，C三点满足条件：，其中an为等差数列，则a1005 2. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O 外的点D，若，则的取值范围是 .ABCODM例2图【例2】如图，在ABC 中，OAOB， AD与BC交于点M，设a， b，试以 a，b 为基底表示CMBA例3图【例3】若点M是ABC所在平面内的一点，且满足，求ABM与ABC的面积之比ABCDEF课内练习1如右图，在三角形中，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数 ，实数 .2 若O是平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，且满足（），则P点轨迹一定过ABC的 （填外心、内心、重心、垂心之一）3. 如图，已知OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值4 已知O是ABC内的一点，则AOB与AOC的面积的比值为 5. 在ABC中，O为外心，AB=2，AC=3，其中x+2y=1，则cosBAC= 第十三讲 向量的概念及向量的线性运算课前预习 1如图，设P，Q是ABC的BC边上的三等分点，若b，c，则 ； BACDO第3题图ABPQC第1题图第5题图答案：b+c；b+c提示：+()+b+c；同理可得2 设e1， e2是两个不共线的向量，则向量be1+l e2（lR）与向量a2e1e2共线的充要条件是l= 答案： 提示： b与a共线，当且仅当存在实数m ，使得e1+l e2m(2e1e2)，又e1， e2是两个不共线的向量， m，从而充要条件是l3 已知在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC上的高，O为AD的中点，若， 则l+3m 答案：1提示：O为AD的中点，又AB2，BC3，ABC60，AD为BC上的高，BD1， ，2l1，且2m l，m4 已知和点M满足.若存在实使得成立，则= 答案：3. 提示：由题目条件可知，M是的重心，而，所以5如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|，若l+（l，mR），则l+m的值为 答案：6提示：根据向量加法的平行四边形法则，将分解成与，共线的两向量，的和，即+，由条件COA为Rt， COB为Rt易求|4，|2|1，l4，2，l+m6典例精析【例1】已知，不共线，设（l，mR），求证：A，B，M三点共线的充要条件是l+m1解：充分性：l+m1，即，与共线，又与有公共点B，A，B，M三点共线必要性：A，B，M三点共线，与共线，存在实数m，使得，即lm，m1m，l+m1练习：1. 若平面内共线的A，B，C三点满足条件：，其中an为等差数列，则a1005 提示：由题意，a2+ a20081，2a1005a2+ a20081，a10052. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O 外的点D，若，则的取值范围是 .解：，而且点在圆外，由得，又因为三点共线，.【例2】如图，在ABC 中，OAOB， AD与BC交于点M，设a， b，试以 a，b 为基底表示ABCODM例2图解：由A、M、D 三点共线可设，由B、M、C 三点共线可设 a+l (a+b)(1l) a +l b，又 b+m (b+a)m a +(1m)b，且a，b 不共线，解得 ，a+b CMBA例3图【例3】若点M是ABC所在平面内的一点，且满足，求ABM与ABC的面积之比解：+，CMBGEHAF例3图+()， M恰好在BC边上，过M分别作MEAC，MFAB，与AB，AC分别交于E， F，过M作MGAB于G，过C作CHAB于H，则有，由于，而， ABCDEF 课内练习1如右图，在三角形中，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数 ，实数 .答案：2，1 提示： +2 若O是平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，且满足（），则P点轨迹一定过ABC的 （填外心、内心、重心、垂心之一）答案：重心提示： +（D为AB边的中点）P点的轨迹一定过ABC的重心3. 如图，已知OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值解析： (1)由题意，A是BC的中点，且，由平行四边形法则，2.22ab，(2ab)b2ab. (2)如题图，. 又(2ab)a(2)ab，2ab，.4 已知O是ABC内的一点，则AOB与AOC的面积的比值为 提示：， SAOC SAOE ， AOB与AOE等高， 5. 在ABC中，O为外心，AB=2，AC=3，其中x+2y=1，则cosBAC= 提示：因为x+2y=1，所以联想到向量共线定理，即解： 设，则因为x+2y=1，故O，B，D共线因为O为外心，故OD为AC的垂直平分线，所以BD垂直平分AC，从而在ABD中,，于是cosBAC=变式：已知点在所在平面内，若，则与的面积的比值为 .14若点M是ABC所在平面内的一点，且满足，求ABM与ABC的面积之比变式：9 变式1： 变式2： 3如图，在中，是上的一点，若，CABNP则实数的值为 8过ABC的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若 ,(),则的值为 418如图，设G为OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知=h,=k,OAB与OPQ的面积分别为S和T。求证：（1）+=3；（2）TS。.证明 （1）连结OG并延长交AB于M，则M为AB的中点，=（+），=+。 设G分PQ所成比为t：(1t)，则=(1t) +t,而=h,=k,=（1t）h+tk。比较，得(1t)h=,tk=，即=3(1t), =3t,+=3。（2）POQ=AOB，=hk。由题（1）知k=0，3h10,=。又=，=，且依题意0h1,0k1, 1k=1=0,，。因此，STS成立。2若O是ABC内一点，则xyz=,则SOAB ：SOBC ：SOCA = 小试牛刀：1若O是ABC内一点，则23=，则SOAB ：SOBC ：SOCA = 2若O是ABC内一点，则235=，则SOAB ：SOBC ：SOCA = 如图，在同一平面内，AOB150，AOC120，|2， |3，|4（1）试用和表示；第19题图AOBCD（2）是否存在实数l，使得，0同时成立？若存在，求出l的值；若不存在，请说明理由19 由题意，0，第19题图AOBCD设m+ n，则m+ n，32cos1509m，m，又 m+ n，42cos12016n， n， （2）假设存在实数l，+，又 +(l1) +(l)，-(l1)1+ (l)，0，(l1)1+(l)0，即(l1)1 9+(l)160，解得l，故存在实数l满足条件4 设两个非零向量a，b 不共线（1）若a+ b ，2a+8b，3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；（2）试确定实数k的值，使两向量ka+b与