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3 3幂函数 第3章指数函数 对数函数和幂函数 学习导航 第3章指数函数 对数函数和幂函数 1 幂函数的定义一般地 我们把形如y x 的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常数 2 幂函数的性质 1 函数的图象都过点 2 在第一象限内 当 0时 函数的图象随x的增大而 函数在区间 0 上是单调 函数 当 0时 函数的图象随x的增大而 函数在区间 0 上是单调 函数 1 1 上升 增 下降 减 1 2 下列命题中正确的是 填序号 幂函数的图象都经过点 1 1 和点 0 0 幂函数的图象不可能在第四象限 当n 0时 函数y xn的图象是一条直线 当n 0时 幂函数y xn是增函数 当n 0时 幂函数y xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小 解析 根据幂函数的定义 图象以及定义域 值域 单调性 奇偶性等来判定 二 四 幂函数的概念 已知函数f x k2 k xk2 2k 1 当k 时成正比例函数 当k 时成反比例函数 当k 时为幂函数 2 8 幂函数y xa y xb y xc y xd在第一象限的图象如图所示 则a b c d的大小关系是 链接教材p90练习t4 解析 因为在第一象限内直线x 1的右侧时 幂函数y x 指数越大 y值越大 函数图象越高 所以b c d a 幂函数的图象问题 b c d a 方法归纳通过幂函数的图象比较指数的大小时 可作直线x m m 1 依据直线x m m 1 与图象的交点的高低判断 其规律为 按交点自上而下 幂指数逐渐减小 幂值的大小比较问题 方法归纳当两个值的底数是同一个正数时 用指数函数模型比较两个值的大小 当两个值的指数是同一个实数时 用幂函数模型比较两个值的大小 特别地 当底数是负数时 先利用幂函数的性质 将底数是负数的幂化为底数是正数的幂 再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小 感悟提高 1 幂函数有如下性质 所有的幂函数在 0 上都有意义 并且图象都经过点 1 1 幂函数图象不过第四象限 当 0时 幂函数的图象都通过点 0 0 1 1 并且在 0 上都是增函数 当 0时 幂函数的图象都通过点 1 1 在 0 上都是减函数 利用这些性质可解决一些求取值范围的问题 2 在应用函数单调性解决问题时 一定要注意其单调区间 必要时要分情况讨论 1 3 错因与防范 1 y x 1易忽视定义域的限制 其定义域应为 x x 0 2 在幂函数的有关问题中 要理解幂函数的概念 掌握好五种幂函数的图象和性质 只有 为正奇数时幂函数的定义域才能为r且为奇函数 解决此类问题 要特别注意 的取值范围 在同一坐标系中分别作出它们的图象 如图 由图象可知 当x 0 1 时 f x
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