2014年高考数学总复习教案第五章 数列第2课时 等差数列.doc

一折网第五章数列第2课时等 差 数 列(对应学生用书(文)、(理)7273页)考情分析考点新知理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中用等差数列的有关知识解决相应的问题 理解等差数列的概念. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 了解等差数列与一次函数的关系.1. (必修5P58习题2改编)在等差数列an中，a12，d3，则a6_答案：17解析：a6a1(61)d17.2. (必修5P44习题6改编)在等差数列an中(1) 已知a4a142，则S17_；(2) 已知a1110，则S21_；(3) 已知S1155，则a6_；(4) 已知S8100，S16392，则S24_答案：(1) 17(2) 210(3) 5(4) 876解析：(1) S1717.(2) S21210.(3) S1155， a65.(4) S8，S16S8，S24S16成等差数列， 100S243922(392100)， S24876.3. (必修5P44习题7改编)在等差数列an中，S12354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为3227，则公差d_答案：5解析： S奇162，S偶192， 6d30，d5.4. (必修5P44习题10改编)已知数列an为等差数列，若a13，11a55a8，则使前n项和Sn取最小值的n_答案：2解析： a13，11a55a8， d2， Snn24n(n2)24， 当n2时，Sn最小1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列(2) 符号语言：an1and(nN)2. 等差数列的通项公式若等差数列an的首项为a1，公差为d，则其通项公式为ana1(n1)d推广：anam(nm)d.3. 等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫a和b的等差中项，且有A4. 等差数列的前n项和公式(1) Snna1d(2) Sn5. 等差数列的性质(1) 等差数列an中，对任意的m、n、p、qN*，若mnpq，则amanapaq特殊的，若mn2p，则aman2ap(2) 等差数列an的通项公式可以写成anam(nm)d(n、mN*)(3) 等差数列an中依次每m项的和仍成等差数列，即Sm、S2mSm、S3mS2m、仍成等差数列备课札记题型1数列中的基本量的计算例1设等差数列an的前n项和为Sn，已知a35，S39.(1) 求首项a1和公差d的值；(2) 若Sn100，求n的值解：(1) 由已知得解得a11，d2.(2) 由Snna1d100，得n2100，解得n10或10(舍)，所以n10.设等差数列an的前n项和为Sn，且S462，S6 75，求：(1) an的通项公式an 及其前n项和Sn ；(2) |a1|a2|a3|a14|.解：(1) 设等差数列首项为a1，公差为d，依题意得解得a120，d3.ana1(n1)d3n23，Snn2n.(2) a120，d3， an的项随着n的增大而增大设ak0且ak10得3k230，且3(k1)230， k(kZ)，故k7.即当n7时，an0. |a1|a2|a3|a14|(a1a2a7)(a8a9a14)S142S7147.题型2判断或证明一个数列是否是等差数列例2已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足a2a345, a1a414.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设由bn(c0)构成的新数列为bn，求证：当且仅当c时，数列bn是等差数列(1) 解： 等差数列an中，公差d0， d4an4n3.(2) 证明：Snn(2n1)，bn.由2b2b1b3，得，化简得2c2c0，c0， c.反之，令c，即得bn2n，显然数列bn为等差数列， 当且仅当c时，数列bn为等差数列已知数列an的前n项和为Sn，且满足SnSn12SnSn10(n2)，a1.(1) 求证：是等差数列；(2) 求an的表达式(1) 证明：等式两边同除以SnSn1，得20，即2(n2) 是以2为首项，以2为公差的等差数列(2) 解：由(1)知(n1)d2(n1)22n， Sn，当n2时，an2SnSn1.又a1，不适合上式，故an题型3等差数列的性质例3(1) 已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332.若am8，则m_(2) 设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_答案：(1) 8(2) 45解析：(1) 由等差数列性质，知a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832， a88. m8.(2) 由等差数列的性质，知S3，S6S3，S9S6成等差数列， 2(S6S3)S3(S9S6)， a7a8a9S9S62(S6S3)S345.(1) 等差数列an中，Sn是an前n项和，已知S62，S95，则S15_；(2) 给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a555，则表中所有数之和为_a11a12a19a21a22a29a91a92a99答案：(1) 15(2) 405解析：(1) 解法1：由等差数列的求和公式及知S1515a1d15.解法2：由等差数列性质，知成等差数列，设其公差为D，则3D，D，6D61，S1515.(2) S(a11a19)(a91a99)9(a15a25a95)99a55405.题型4等差数列中的最值问题例4已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，且满足a2a414，S770.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若bn，则数列bn的最小项是第几项，并求该项的值解：(1) 设公差为d，则有解得 an3n2.(2) Sn1(3n2)，bn3n12123，当且仅当3n，即n4时取等号 bn最小项是第4项，该项的值为23.已知在等差数列an中，a131，Sn是它的前n项和，S10S22.(1) 求Sn；(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值解：(1) S10a1a2a10，S22a1a2a22，S10S22， a11a12a220，0，即a11a222a131d0.又a131， d2， Snna1d31nn(n1)32nn2.(2) 解法1：由(1)知Sn32nn2， 当n16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.解法2：由Sn32nn2n(32n)，欲使Sn有最大值，应有1n32，从而Sn256，当且仅当n32n，即n16时，Sn有最大值256.1. (2013重庆)若2、a、b、c、9成等差数列，则ca_答案：解析：由924d得d，则ca2d.2. (2013广东)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_答案：20解析：3a5a72a52a62(a3a8)20.3. (2013安徽)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9_答案：6解析：由条件得解得故a9108(2)6.4. (2013新课标)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m_答案：5解析：amSmSm12，am1Sm1Sm3，则d1，由am2及Sm0得解得m5.1. 已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1) 求a及k的值；(2) 设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解：(1) 设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2) 由(1) Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.2. 已知数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，求使得Sn0的n的最小值解：由题意知d0，a100，a110，a10a110，由得9.Snna1dn2n，由Sn0得n0或n1. 19120， Sn0的解集为，故使得Sn0的n的最小值为20.3. 已知数列an中，a18，a42，且满足an2an2an1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设Sn是数列|an|的前n项和，求Sn.解：(1) 由2an1an2an可得an是等差数列，且公差d2. ana1(n1)d2n10.(2) 令an0，得n5.即当n5时，an0；n6时，an0. 当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2ann29n；当n6时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)(a1a2an)2(a1a2a5)(n29n)2(5245)n29n40， Sn4. (2013大纲卷)等差数列an中，a74，a192a9.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1) 设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.因为所以 解得a11，d. 所以an的通项公式为an. (2) bn， 所以Sn(). 1. 等差数列问题，首先应抓住a1和d，通过列方