苏教版必修2 2.1.4　两条直线的交点 学案1.doc

2.1.4两条直线的交点学习目标重点难点1了解方程组解的个数与两直线之间的位置关系2会用解方程组的方法求两直线相交时直线的交点坐标.重点：知道方程组解的个数与两直线位置关系的对应难点：会解两直线的交点坐标.1两直线的位置关系与二元一次方程组解的关系设两条直线的方程分别是l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点据此，我们有方程组的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点个数一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行预习交流1若两个二元一次方程组成的方程组有解，则一定能说明这两条直线相交吗？答案：不一定若该方程组有且只有一个解，可说明两直线相交，若该方程组至少有两个解，则说明两直线重合2两直线的位置关系与方程系数的关系设两条直线的方程分别是l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.若a2，b2，c2不为0，则l1，l2相交，l1l2，l1与l2重合.预习交流2求直线l1：xy20与直线l2：x2y0的斜率，并分析直线l1与l2的位置关系答案：直线l1的斜率k11，直线l2的斜率k2，k1k2，直线l1与l2相交3经过两条直线交点的直线系方程经过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为m(a1xb1yc1)n(a2xb2yc2)0(其中m，n为参数，m，n不同时为0)当m1，n0时，方程即为l1的方程；当m0，n1时，方程即为l2的方程上面的直线系方程可写成(a1xb1yc1)(a2xb2yc2)0(其中为参数)，但此方程不包括直线l2.预习交流3(1)求直线l1：2xy30和l2：xy20的交点坐标解：由题意得解得所以交点坐标为.(2)如果两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，试求k的值解：方法一：在2x3yk0中，令x0，得y，则应满足方程xky120.即120，k236，k6.方法二：由题意，得解得x.令其为0，得k6.一、两条直线的交点问题判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30；(3)l1：2x3y50，l2：4x6y100.思路分析：题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数解：(1)解方程组得xy1，方程组只有一组解，所以两条直线相交，交点坐标为(1，1)；(2)由于方程组无解，所以两条直线没有公共点，即两条直线平行；(3)由于两直线的方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线所以两条直线重合1两条直线ykx2k1和x2y40的交点在第四象限，则k的取值范围是_解析：解方程组得交点为，此点在第四象限，即k.答案：2已知直线l过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点，且与直线l3：4x3y20平行，求直线l的方程解：由方程组解得所以直线l1与l2的交点坐标为(2,2)由ll3，可设l的方程为4x3yb0，将(2,2)代入上式，解得b2，所以直线l的方程为4x3y20.两条直线相交的判定方法：方法判断方式(1)斜率法在两直线的斜率都存在的条件下，若斜率不等，则两直线相交(2)方程组法解由两直线的方程组成的方程组，若只有一组解，则两直线相交若只判断两直线是否相交采用方法(1)较方便，若要求交点坐标则采用方法(2)二、过交点的直线系已知直线l1：3xy10，l2：xy30，求：(1)直线l1与l2的交点p的坐标；(2)过点p且与l1垂直的直线方程思路分析：由于本题l1，l2的方程已知，可利用解方程组的方法求出交点p，进而再求出所求的直线方程解：(1)解方程组得所以直线l1与l2的交点p的坐标为(1,2)(2)直线l1的斜率为3，故过点p且与l1垂直的直线方程为y2(x1)，即为x3y70.求经过直线l1：x2y20与l2：2xy20的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过原点的直线；(2)与直线l1垂直的直线；(3)在两坐标轴上的截距相等的直线解：(1)解方程组得l1与l2的交点是(2,2)设经过原点的直线方程为ykx，把点(2,2)代入，得k1，所求的直线方程为yx.(2)由(1)可知l1与l2的交点是(2,2)所求直线与直线l1垂直，直线的方程可设为2xym0，把(2,2)代入直线方程可得m6，故直线的方程为2xy60.(3)直线l1与l2的交点是(2,2)，直线在两坐标轴上的截距相等，设直线的方程为xym(m0)，把(2,2)代入直线的方程可得m4.当直线过原点时，直线方程为ykx，把点(2,2)代入，得k1，直线的方程为xy40或yx.1与直线axbyc0垂直的直线的方程可设为bxaym0，其中m待定2与直线axbyc0平行的直线的方程可设为axbym0，其中m待定，且mc.方程yy0k(xx0)，由点斜式知，它恒过定点(x0，y0)，也可以化为(yy0)k(xx0)0，过定点即(x0，y0)三、有关直线的对称问题求直线l1：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线l2的方程思路分析：直线关于直线的对称问题是轴对称问题，关键是把直线关于直线的对称转化为点关于直线的对称问题解决解：在l1上任取一点a(2,0)，并设a点关于直线l的对称点为a(x0，y0)，则解得即a.由得即l1与l的交点b的坐标为(3，2)l2过点a，b，由两点式得l2的方程为2x11y160.1已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为_解析：方法一：解方程组得交点(1,1)，在直线l1上取一点(0,3)，它关于yx的对称点为(x0，y0)，则解得直线l2的斜率.方法二：设p(x，y)为l2上任一点，则点p关于直线yx的对称点为p(y，x)必在直线l1上，x2(y)3，即x2y3为l2的方程，斜率为.答案：2在abc中，点a(5,4)，ahbc于h，h(6,2)，ac边上的中线bm所在直线的方程为3x2y10，求三角形三边所在的直线方程解：在abc中，由a(5,4)，h(6,2)，得kah2，又bcah，kbc.bc的方程为y2(x6)，即x2y20.又bm的方程为3x2y10，联立得b，ab边所在直线方程为21x22y170.设c为(x0，y0)，则ac的中点m在bm上，3210.又c(x0，y0)在bc上，x02y020.由，得c.ac边所在直线方程为27x34y10.综上所述，bc边所在的直线方程是x2y20，ab边所在的直线方程是21x22y170，ac边所在的直线方程是27x34y10.直线关于直线的对称问题通常在直线上取点，转化为点关于直线的对称问题关键是利用对称的特点：两点的中点在对称轴上，两点的连线与对称轴垂直，点p(x0，y0)关于直线xym0的对称点为(y0m，x0m)，关于直线xyn0的对称点为(y0n，x0n)这是一种特殊的对称，在解题时应用很方便1直线l1：mx4y20与l2：2x5yn0垂直，且垂足为(1，p)，则mpn的值为_解析：由已知得，即m10.将(1，p)代入两直线方程得p2，n12.所以mpn0.答案：02过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为_解析：设过l1，l2交点的直线方程为(x3y4)(2xy5)0.又所求直线过原点，450，即所求直线方程为x3y4(2xy5)0，整理得3x19y0.答案：3x19y03若直线l1：xa2y60和直线l2：(a2)x3ay2a0没有公共点，则a的值是_解析：当a0时，由条件得，解得a1；当a0时，l1：x60，l2：2x0，即x0，满足条件所以a的值为0或1.答案：0或14已知直线ykx3k2与直线yx1的交点在x轴上，则k的值为_解析：直线yx1交x轴于点(4,0)，直线ykx3k2与直线yx1的交点在x轴上，直线ykx3k2过点(4,0)04k3k2，k.答案：5某糖果公司的一条流水线不论生产与否，每天都要支付3 000元的固定费用