苏教版必修2 2.1.1　直线的斜率(2) 教案.doc

2.1.1直线的斜率(2)从容说课本节课是第一节的第二课时，是对前一节课的巩固和提高.由于没有学习三角函数，在建立直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系时,需要分几种情形讨论.教学时,有条件的学校,可以通过信息技术工具演示或者让学生亲自操作，让学生自己获得直线的倾斜角与斜率k的关系，没有信息技术工具演示的情况下，也可以借助科学计算器，让学生计算一些倾斜角的正切值，观察计算结果，得到结论.教学重点斜率与倾斜角的关系.教学难点斜率与倾斜角的关系的推导及范围.教具准备多媒体、三角板.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系.2.正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率.二、过程与方法1.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想.2.培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达的能力，数学交流与评价能力.三、情感态度与价值观培养学生树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学过程导入新课师上一节课我们学习了刻画直线方向的两个量，是什么量？生倾斜角、斜率.师什么是倾斜角？生就是直线与x轴间的夹角.师他说得对吗？生是直线向上的量与x轴间的夹角.师应该说是直线向上的方向与x轴正方向形成的角.(同时板书图示)那么倾斜角的范围是什么？生0度到180度，包括0度不包括180度.(板书:0180)师对！什么时候是0度?生与x轴平行的时候.师还有与x轴重合的时候(图示)，什么是直线的斜率?生直线的倾斜程度.师斜率是刻画直线的倾斜程度的一个量.我们上一节课学习时是用一个量来反映的，当给出直线上两点p(x1,y1)、q(x2,y2)时，如果x1x2，那么直线pq的斜率公式为k=(x1x2).如果x1=x2，那么直线pq的斜率不存在.对于与x轴不垂直的直线pq，它的斜率也可以看成是k.师直线都存在倾斜角对吗？生对！师对！那么任何直线都存在斜率对吗？生不对，当倾斜角为90度时，不存在.师直线的斜率都是正的吗？生不是，当倾斜角为钝角时就是负的.师斜率的范围是什么？生师直线的倾斜角与斜率都是刻画直线方向的，那么这两者之间有何种联系？这就是今天我们重点研究的内容.(板书课题:直线的斜率(二)推进新课师我们可以把直线都平移到原点，当倾斜角是锐角的时候，随着倾斜角的增大，斜率作何变化？让学生思考后讲解.(同时画图)对照图形说明:由k=,我们可以使得x2-x1都相等，则对于变化着的直线，随着倾斜角的增大，斜率也在增大，而且可以无限大.当然如果取x1=0,y1=0，那么我们更容易看出斜率与倾斜角的关系.更容易看出当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率为正且随着倾斜角的增大而增大.那么当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率的取值范围是什么？生负值.师对，但随着倾斜角的增大，斜率是否也会增大?大家能否像刚才那样画图分析一下？(学生思考分析，老师同时板图)生随着倾斜角越来越大，我看是越来越小，因为由k=，x2-x1都相等，但y2-y1对应的线段长度越来越小.师y2-y1对应着线段的长度是对的，但x2-x1却是线段长度的相反数，所以斜率仍然是随着倾斜角的增大而增大，而且是向负无穷大方向增大.直线斜率的范围是什么？生甲所有正数和负数.生乙不对，一切实数，因为倾斜角为0度时，斜率为0.师说得对，直线斜率的取值范围是r(板书).那么直线的斜率和倾斜角之间有何种等量关系？当直线的倾斜角是锐角的时候，我们可以得到图形(板演)，这个时候直线ab的斜率用图中的量表示出来是什么？生师对！我们可以写成kab，这样倾斜角，斜率kab都看得出来，那么这两者之间的联系是什么呢？生kabtan.师由此我们可以得到kabtan.当倾斜角是钝角时，是否也有这种关系呢？(板图并同时板演)k=tantan(180-)，我们规定tan(180-)tan.由此我们得到ktan.规律总结:注意:当倾斜角为90时，斜率不存在.0-k=0;090-k0且随的增大而增大;90-k不存在;90180-k0且随的增大而增大.【例1】已知直线l的倾斜角分别为0、30、45、60、120、150，求其斜率.解:斜率分别为tan00，tan30，tan451，tan60，tan120tan(180120)tan60，tan150tan(180150)tan30.【例2】求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角:(1)c(18，8)、d(6,-4);(2)p(0,0)、q(-1,).解:(1)kcd=1,直线cd的倾斜角是45,是锐角.(2)kpq=-0,直线pq的倾斜角是钝角.【例3】设直线l的倾斜角等于a(4,2)、b(1,)两点所确定的直线的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.分析:求出a、b所在直线的倾斜角，即可得直线l的倾斜角，从而可得直线l的倾斜角.解:设ab所在直线的倾斜角为，则斜率tan=，=30，直线l的倾斜角为60，直线l的斜率为tan60=.【例4】过两点(-,1)、(0,b)的直线l的倾斜角介于30与60之间，求实数b的取值范围.解:设直线l的倾斜角为，则tan30tantan60，tan，1b-13，2b4.点评:本题主要考查直线倾斜角与斜率之间的关系，由倾斜角的范围得到直线斜率的取值范围，然后解不等式得b的范围.【例5】如右图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()a.k1k2k3b.k3k1k2c.k3k2k1d.k1k3k2分析:直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以k2k30，因此有k2k3k1，故选d.课堂小结今天我们研究了直线倾斜角与斜率之间的关系.倾斜角为锐角时斜率随着倾斜角的增大而增大，且为正值.当倾斜角为钝角时斜率也是随着倾斜角的增大而增大，但为负值.通过学习，可以发现学会观察分析问题、总结规律是我们这节课的又一收获.布置作业课本第72页练习3、4.板书设计2.1.1直线的斜率(2)倾斜角:图示及范围斜率:公式及范围例1斜率与倾斜角之间的变化规律例2ktan例3延展拓宽及作业例4活动与探究魔术师的地毯一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽、2.1米长的矩形.敬师傅对秋先生说:“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米、长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做.”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说:“你先照这张图(图1.2)的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图(图1.3)的样子把这四块拼在一起缝好就行了.魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米、长2.1米.魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿:这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？图1.1图1.2图1.3图1.4图1.5图1.6过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小(约0.01平方米)的窟窿.秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米.敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到.秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好.敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了.魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗？你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例(例如101)缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方.这种做模型(或做实验)的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法.这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密.例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法数学计算，即通过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处.现在我们先来分析第一个魔术.比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为，(图1.6)，而将图1.3中相应的四块分别记为,(图1.7).现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的为直角三角形edb，如果de=5时，点e是否恰好落在矩形abco的对角线ob上？同样，如果fg=5时，点g是否恰好落在ob上？让我们通过计算来回答这个问题.图1.7图1.8如图1.8建立直角坐标系，以oc所在直线为x轴，oa所在直线为y轴，单位长度表示0.1米，于是有o(0，0)、a(0，21)、b(8，21)、c(8，0)、f(0，13)、g(5，13)、e(3，8)、d(8，8).如何判断e和g是否恰好落在直线ob上呢？一种办法是将e、g的坐标代入直线ob的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算oe、ob、og的斜率，比较它们是否相等.下面用后一种方法进行讨论.设线段oe的斜率为koe，则有koe=,kob=,kog=,比较之，由得koekobkog,即oe的倾斜角大于ob的倾斜角，ob的倾斜角又大于og的倾斜角，可见e和g都不在对角线ob上，它们分别落在ob的两侧(图1.8).又由keb=,kgb=,得keb=kog,kgb=koe,即ebog,gboe,可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形ogbe(图1.8).正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的ogbe的面积.记e(3，8)到对角线ob(y=x)的距离为d，d=米，ob=米.sogbe=2seob=2obd=0.01米2.把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为米(约2.247米)的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大师正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”.备课资料一、如何处理过定点的直线与已知线段有公共点的问题作出草图，结合图形考虑，为使直线l与已知线段ab有公共点，则l的倾斜角应介于直线pb与直线pa的倾斜角之间，但由于l的倾斜角可能越过90，所以需特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkpb；当l的倾斜角大于90时，则有kkpa.(其中k为直线l的斜率)师请同学认真观察下列图形，对照理解上面一段话的意义，不要偷懒哦_.有交点的范围kpbkkpa.有交点的范围kkpb或kkpa.【例题】已知点a(2,3)、b(-3,-2)，若直线l过点p(1,1)，且与线段ab相交，求直线l的斜率k的取值范围.分析:如下图，kpa=2，kpb=，要使直线l与线段ab有公共点，则有k2或k.二、与斜率、倾斜角有关的高考题直线的斜率的表示方法以及与三角函数之间的关系是高考命题的热点.【例题】已知两点a(1,2)、b(3,0)，直线l过点p(0,-2)且与线段ab相交，求直线l的斜率k的取值范围.分析:由图象可知，直线l的倾斜角介于直线pb、pa的倾斜角之间.根据倾斜角与斜率之间的关系,可得直线l的斜率的取值范围.解:由图象可知，直线l的倾斜角介于直线pb、pa的倾斜角之间，设pb、pa的倾斜角分别为1、2，则直线l的倾斜角的范围为12,且01290,此时越大，直线l的斜率也越大，直线l的斜率也介于直线pb、pa的斜率之间，直线l的斜率k的取值范围为，即k4.三、备选习题1.已知直线经过点a(-2,0)、b(-5,3)，则该直线的倾斜角为()a.150b.135c.75d.452.已知直线l1的倾斜角为，将直线l1绕着它与x轴的交点，逆时针旋转45得直线l2，则直线l2的倾斜角为()a.+45b.-45c.-135d.+45或-1353.已知点m(-2,4)、n(-3,3+4