人教A版选修45 4.2 用数学归纳法证明不等式举例 课件（23张).ppt

二用数学归纳法证明不等式举例 与正整数n有关的几个不等式 1 当n n n 5时 n2 1 x 0 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 1 nx 当 是实数 并且满足 1或者 1 当 是实数 并且满足0 1 4 如果n n为正整数 个正数a1 a2 an的乘积a1a2 an 1 那么它们的和a1 a2 an n 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 若n n 且n2 1 x 0 则 1 x 4 1 4x 探究一 探究二 规范解答 利用数学归纳法证明不等式分析 找准n0 看左边是多少项 从n k到n k 1时添了什么项 少了什么项 根据n k时的假设 从而证明当n k 1时不等式成立 探究一 探究二 规范解答 当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知 对一切的n 2 且n n 不等式都成立 探究一 探究二 规范解答 反思感悟数学归纳法证明不等式的技巧1 证明不等式时 由n k到n k 1时的推证过程与证明等式有所不同 由于不等式中的不等关系 需要我们在证明时 对原式进行 放大 或者 缩小 才能使用到n k时的假设 因此需要认真分析 适当放缩 才能使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一 2 数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起 如比较法 放缩法 配凑法 分析法和综合法等 才能完成证明过程 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 利用数学归纳法证明数列中的不等式问题 分析 证明当n k 1时不等式成立的关键是利用好n k成立时的假设 以及当n k 1时不等式的恰当变形 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 反思感悟利用数学归纳法证明数列中的不等式问题的基本策略1 首先掌握好数学归纳法证明问题的基本步骤以及数列的有关知识 这是解决这类问题的基础 2 这类题型通常与数列的递推公式 通项公式有关 有时要证明的式子是直接给出 有时是根据条件从前几项入手 通过观察 猜想 归纳出一个式子 然后再用数学归纳法证明 证明过程中 注意递推关系式的利用以及正整数n的性质 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 不等式中的归纳 猜想 证明问题典例设f n nn 1 g n n 1 n n n 1 当n 1 2 3 4时 比较f n 与g n 的大小 2 根据 1 的结果猜测一个一般性结论 并加以证明 审题策略 对于 1 可逐一计算进行比较 对于 2 可在 1 的基础上进行归纳猜想 然后利用数学归纳法证明猜想 规范展示 解 1 当n 1时 nn 1 1 n 1 n 2 所以f 1 g 3 当n 4时 nn 1 1024 n 1 n 625 所以f 4 g 4 探究一 探究二 规范解答 2 由 1 可猜测 当n 3时f n g n 以下用数学归纳法证明该猜测 当n 3时 nn 1 81 n 1 n 64 所以f 3 g 3 所以猜测成立 假设当n k k 3 时猜测成立 即f n g n 即 k 1 k 2 k 2 k 1成立 亦即f n 1 g n 1 成立 因此当n k 1时猜测成立 由 知 当n 3时f n g n 成立 探究一 探究二 规范解答 答题模板 第1步 代入计算 逐一进行比较 得出具体结论 第2步 进行归纳猜想 得到一般性结论 第3步 证明初始值成立 第4步 假设当n k k 3 时 结论成立得到归纳假设 并变形 第5步 证明n k 1时结论成立 第6步 证得结论 探究一 探究二 规范解答 失误警示通过阅卷统计分析 发现造成失分的原因主要如下 1 第一问数据计算失误 得不出正确结果 2 第二问中不能正确地利用归纳并猜想得出一般性结论 3 用数学归纳法证明时 步骤不完整 4 证明当n k 1时结论成立时 不能正确地进行放缩 从而无法利用归纳假设致误 探究一 探究二 规范解答 12345 答案 c 12345 答案 c 12345 答案 8 12345 因此当n k 1时不等式成立 故原不等式对一切n 2 n n 均成立 12345 5 对于一切正整数n 先猜出使tn n2成立的最小自然数t 然后用数学归纳法证明 并证明不等式n n 1 lg 1 2 3 n 解 猜想当t 3时 对一切正整数n 使3n n2成立 证明 当n 1时 31 3 1 12 不等式成立 假设当n k k 1 时 3k k2成立 即3k k2 1 当n k 1时 3k 1 3 3k 3k 2 3k k2 2 k