人教A版选修45 2.1 比较法 课件（25张）.ppt

第二讲证明不等式的基本方法 一比较法 1 2 3 1 比较法的种类比较法一般分为两种 作差比较法和作商比较法 1 2 3 2 作差比较法 1 作差比较法的证明依据 ab a b 0 2 基本步骤 作差 变形 判断符号 下结论 归纳总结用作差比较法证明不等式时 要判断不等式两边差的符号 对不等式两边求差后 要通过配方 因式分解 通分等 对所得代数式进行变形 得到一个能够明显看得出其符号的代数式 进而得出证明 1 2 3 做一做1 1 当a b 0时 下列关系式中成立的是 解析 方法一 取特殊值a 4 b 1 则知选项a c d不正确 选项b正确 故选b 方法二 ab2 而函数y lgx x 0 为增函数 lgb2 lga2 b项正确 答案 b 1 2 3 a p q rb p r qc q p rd q r p 1 2 3 2 基本步骤 作商 变形 判断与 1 的大小 下结论 1 2 3 1 2 1 作差比较法证明不等式的一般步骤剖析 1 作差 将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差 2 变形 将差式进行变形 变形为一个常数 或变形为若干个因式的积 或变形为一个或几个平方和等 3 判断符号 根据已知条件与上述变形结果 判断差的正负号 4 结论 根据差的正负号下结论 知识拓展若差式的符号不能确定 一般是与某些字母的取值有关时 则需对这些字母进行讨论 1 2 名师点拨使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值 若均为负值时 可先同乘 1 转化后再进行证明 题型一 题型二 题型三 分析 因不等式的两边进行分子有理化相减后 可判断差的符号 故可用作差比较法进行证明 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 分析 将商的对数化成对数的差 就是 化整为零 有利于符号的确定 题型一 题型二 题型三 分析 因为a b均为正数 所以不等式左边和右边都是正数 故可以用作商比较法进行比较 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例3 已知数列 an 的首项a1 5 前n项和为sn 且sn 1 2sn n 5 n n 1 证明 数列 an 1 是等比数列 2 令f x a1x a2x2 anxn 求函数f x 在点x 1处的导数f 1 并比较2f 1 与23n2 13n的大小 分析 在比较大小时 作差法的差式与 n 的取值有关 且大小关系随 n 的变化而变化 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 2 解 由 1 可知an 3 2n 1 f x a1x a2x2 anxn f x a1 2a2x nanxn 1 从而f 1 a1 2a2 nan 3 2 1 2 3 22 1 n 3 2n 1 3 2 2 22 n 2n 1 2 3 n 题型一 题型二 题型三 则2f 1 23n2 13n 12 n 1 2n 12 2n2 n 1 12 n 1 2n 12 n 1 2n 1 12 n 1 2n 2n 1 当n 1时 式 0 2f 1 23n2 13n 当n 2时 式 120 令f n 2n 2n 1 则f n 2nln2 2 此时f n 0 又f 3 0 当n 3时 2n 2n 1 n 1 2n 2n 1 0 即 式 0 从而2f 1 23n2 13n 题型一 题型二 题型三 反思此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题 在数列中 大小问题可能会随 n 的变化而变化 往往n 1 2 前几个自然数对应的值与后面n n0的值大小不一样 这就要求在解答这样的题时 要时刻有 大小关系不一定唯一 的念头 即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论 题型一 题型二 题型三 1 解 由已知得an 1 an 1 即an 1 an 1 又a1 1 所以数列 an 是以1为首项 公差为1的等差数列 故