人教A版选修45 1.2.2 绝对值不等式的解法 课件（35张）.ppt

2 绝对值不等式的解法 1 2 3 1 2 3 做一做1 若集合m x x 2 n x x2 3x 0 则m n a 3 b 0 c 0 2 d 0 3 解析 m x 2 x 2 n 0 3 m n 0 答案 b 1 2 3 2 ax b c c 0 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c c 0 型不等式的解法是 先化为不等式组 c ax b c 再利用不等式的性质求出原不等式的解集 2 ax b c c 0 型不等式的解法是 先化为ax b c或ax b c 再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集 1 2 3 解析 由p x 1 4 得 4 x 1 4 即 5 x 3 又q 23或x 5 q为x 3或x 2 p q 而 q p p是 q的充分不必要条件 答案 b 1 2 3 做一做2 2 2x 1 5 x 的解集是 1 2 3 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法有三种不同的解法 解法一是利用绝对值不等式的几何意义 解法二是利用分类讨论的思想 以绝对值的 零点 为分界点 将数轴分成几个区间 然后确定各个绝对值中的多项式的符号 进而去掉绝对值符号 解法三是通过构造函数 利用函数的图象得到不等式的解集 名师点拨 x a x b c或 x a x b c型不等式的三种解法可简述为 1 几何意义法 2 根分区间法 3 构造函数法 1 2 3 做一做3 不等式 x 1 x 2 2的解集是 几个特殊的含绝对值的不等式的区别剖析 1 若 x 4 x 3 a有解 则a的取值范围是 2 若 x 4 x 3 a的解集为r 则a的取值范围是 3 若 x 4 x 3 a的解集为r 则a的取值范围是 处理以上问题 我们可以与函数y x 4 x 3 y x 4 x 3 的最值或值域联系起来 第一个函数的值域为 1 1 而第二个函数的最小值为1 即 x 4 x 3 1 所以 x 4 x 3 a有解 只需aa的解集是r 则说明是恒成立问题 所以aa的解集为r 说明a x 4 x 3 min 1 以上这几种不等式问题 实质是与两种函数的最值或值域相联系的问题 当然也可以借助函数的图象 通过数形结合来求得a的取值范围 理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 解不等式3 x 2 4 由 得x 2 3或x 2 3 x 1或x 5 由 得 4 x 2 4 2 x 6 原不等式的解集为 x 2 x 1或5 x 6 解法二 3 x 2 4 3 x 2 4或 4 x 2 3 5 x 6或 2 x 1 故原不等式的解集为 x 2 x 1或5 x 6 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 不等式 5x x2 3 b x 1 x 2或3 x 6 c x 1 x 6 d x 2 x 3 解析 可以利用 x 0 的结论进行转化 然后解一元二次不等式 取交集可得结果 本题还可以用数形结合法求结果 方法一 5x x2 6 x2 5x 6 6 x2 5x 6 1 x 2或3 x 6 原不等式的解集为 x 1 x 2或3 x 6 题型一 题型二 题型三 题型四 方法二 作函数y x2 5x的图象 如图所示 x2 5x 6表示函数图象中直线y 6和直线y 6之间相应部分的自变量的集合 解方程x2 5x 6 得x1 1 x2 6 解方程x2 5x 6 得x1 2 x2 3 故原不等式的解集是 x 1 x 2或3 x 6 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 反思形如 f x a a r 型不等式的简单解法 1 当a 0时 f x a f x a或f x a f x 0 3 当aa f x 有意义 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 解不等式 x 1 4 2 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 解不等式 x x2 2 x2 3x 4 分析 解题时首先考虑x2 x 2的符号 直接去掉绝对值号求解即可 x x2 2 x2 x 2 x2 x 2 故原不等式等价于x2 x 2 x2 3x 4 x 3 原不等式的解集为 x x 3 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题形如 f x g x 我们可以借助形如 ax b c的解法转化为f x g x 当然 f x g x g x f x g x 如果f x 的正负能确定的话 也可以直接去掉绝对值号再解不等式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例4 解不等式 x 1 x 1 3 分析 本题可以用分段讨论法或数形结合法求解 对于形如y x a x b 的函数 可以认为是分段函数 解法一 如图 设数轴上与 1 1对应的点分别为a b 则a b两点间的距离为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在点a左侧有一点a1到a b两点的距离和为3 点a1对应数轴上的x1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 已知不等式 x 4 3 x a 1 若解集为空集 求a的取值范围 2 若不等式有解 求a的取值范围 解 1 方法一 令f x x 4 3 x x 4 x 3 在直角坐标系中画出函数图象 图略 由图可知函数f x 有最小值1 因此 当a 1时 原不等式解集为空集 方法二 a x 4 3 x x 4 3 x 1 当a 1时 x 4 3 x a有解 从而当a 1时 原不等式解集为空集 题型一 题型二 题型三 题型四 方法三 x 4 3 x 的几何意义是实数x在数轴上对应的点a到实数3 4对应的点b c的距离之和 当点a在线段bc上时 x 4 3 x bc 1 当点a在线段bc延长线 两侧 上时 有 x 4 3 x 1 因此 x 4 3 x 1 故原不等式解集为空集时 a的取值范围为 1 2 由 1 可知 不等式有解时 a的取值范围为 1 题型一 题型二 题型三 题型四 例5 已知函数f x x a 1 若不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 求实数a的值 2 在 1 的条件下 若f x f x 5 m对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 分析 1 直接由f x 3去绝对值号解出不等式的解集再求字母a的值 2 把不等式的解集问题转化为恒成立问题 即转化为求解f x f x 5 的最小值问题 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 由f x 3 得 x a 3 解得a 3 x a 3 又已知不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 所以实数a的值为2 2 当a 2时 f x x 2 设g x f x f x 5 题型一 题型二 题型三 题型四 所以当x5 当 3 x 2时 g x 5 当x 2时 g x 5 综上可得 g x 的最小值为5 从而 若f x f x 5 m 即g x m对一切实数x恒成立 则实数m的取值范围为 5 反思含有参数的不等式的求解问题分两类 一类要对参数进行讨论 另一类如本例 对参数a并没有进行讨论 而是去绝对值时对变量进行讨论 得到两个不等式组 最后把两不等式组的解集合并 即得该不等式的解集 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练5 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 当x 2时 由f x 3 得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时