苏教版必修4 2.3 第1课时　平面向量基本定理 学案.doc

第1课时平面向量基本定理问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以问题2：如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？提示：不确定问题3：如图，已知向量e1、e2、a，仍以a为平行四边形一条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2，这样的平行四边形唯一吗？你能作出来吗？提示：唯一，作法为：将a，e1，e2均平移到同一个起点o，且令e1，e2，然后过c点分别作与的平行线，交，的延长线于n，m点，则omcn为所作平行四边形问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a?提示：因1e1，2e2，则a1e12e2，1、2是常数1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底3正交分解一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量的分解当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解1定理中，要求作为基底的两个向量e1，e2不共线，即作为基底的向量一定是非零向量因此，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底2平面向量基本定理中，实数1，2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的 例1若向量a，b不共线，且c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底思路点拨要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底精解详析设存在实数使得cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.由于a，b不共线，从而23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底一点通基底具备两个主要特征：(1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不唯一的1e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是_e1e2，e1e23e12e2,4e26e1e12e2，e22e1e2，e1e22e1e2，e1e2解析：由题意，知e1，e2不共线，易知中，4e26e12(3e12e2)，即3e12e2与4e26e1共线，不能作基底中，2e1e22，2e1e2与e1e2共线不能作基底答案：2如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，则下列说法正确的有_若，满足e1e20，则0；对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对；线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量；当，取不同的值时，向量e1e2可能表示同一向量解析：正确若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0.不正确由平面向量基本定理可知，唯一确定正确平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立；不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当e1和e2确定后，其和向量e1e2才唯一确定答案：例2如图，在平行四边形abcd中，m、n分别为dc、bc的中点，已知c，d，试用c，d表示和.思路点拨本题要求用c，d表示和，所以可以将c，d看做基底，也就变成了用基底表示和两个向量精解详析设a，b，则由m、n分别为dc、bc的中点，得bnb，a.在abn和adm中，解得即dc，cd.一点通(1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系(2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后再寻找所求向量与基底的关系3已知abcdef是正六边形，且a，b，则_.解析：ba，又2，(ab)答案：(ab)4.如图所示，abc中，若d、e、f依次是ab的四等分点，则以e1，e2为基底时，_.解析：e1，e2，e1e2.，(e1e2)e2(e1e2)e1e2.答案：e1e25.如图所示，在oab中，a，b，m，n分别是边oa，ob上的点，且a，b，设与交于点p，用向量a，b表示.解：，设m，n，则mm()(1m)m(1m)ambnn()(1n)n(1n)bn a.a与b不共线，ab.例3如图，abc中，d为bc的中点，g为ad的中点，过点g任作一直线mn分别交ab、ac于m、n两点，若x，y，试问：是否为定值？思路点拨(1)选取基向量a，b；(2)利用平面向量基本定理表示、；(3)利用、共线可得结论精解详析设a，b，则xa，yb，()(ab)(ab)xaab，ybxaxayb.与共线，存在实数，使.ab(xayb)xayb.a与b不共线，消去，得4，为定值一点通利用平面向量基本定理和共线向量定理，引入参数解决问题是常考的热点题型，要注意合理地选择基底及构造向量共线，从而结合方程思想解决问题6在abc中，已知d是ab边上一点，若2，则_.解析：2，().又，.答案：7已知向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，r)，试求，的值解：将ae1e2与b3e12e2代入cab得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因为c2e13e2，且向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组解得1理解平面向量基本定理应注意以下几点(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；(2)基底的选取不唯一；(3)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表