苏教版必修4 2.3 第2课时　平面向量的坐标运算 学案.doc

第2课时平面向量的坐标运算问题1：在平面向量基本定理中，若e1e2，定理还适用吗？提示：适用问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理，我们知道a表示为xiyj，试想数对(x，y)唯一吗？能理解为点坐标吗？提示：唯一，能问题3：已知一点a的坐标(x，y)，则向量确定吗？提示：唯一确定，即xiyj.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y).已知a(x1，y1)，b(x2，y2)问题1：试用单位向量i和j表示a和b.提示：ax1iy1j，bx2iy2j.问题2：试求ab.提示：ab(x1x2)i(y1y2)j.问题3：向量ab的坐标是什么？提示：(x1x2，y1y2)平面向量的坐标运算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)；ab(x1x2，y1y2)；a(x1，y1)(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标1在直角坐标平面内，以原点为起点的向量a，点a的位置被向量a唯一确定，此时点a的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)2符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)3平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等例1在直角坐标系xoy中，向量a，b的位置如右图，|a|4，|b|3，且aox45，oab105，分别求向量a，b的坐标思路点拨利用任意角的三角函数定义，若a(a1，a2)，a的方向相对于x轴正向的转角为，则有精解详析设a(a1，a2)，b(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45，所以a1|a|cos 4542，a2|a|sin 4542.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120.所以b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203.故a(2，2)，b.一点通求任意一个向量的坐标，需要求出这个向量在x轴，y轴上的坐标，即将向量沿x轴，y轴作正交分解，在求解相应点的坐标时，可能会用到三角函数的定义1如图所示，在正方形abcd中，o为中心，且(1，1)，试求、的坐标解：(1，1)，a(1，1)b(1，1)，c(1,1)，d(1,1)(1，1)，(1,1)，(1,1)2已知边长为2的正三角形abc，顶点a在坐标原点，ab边在x轴上，c在第一象限，d为ac的中点，分别求向量，的坐标解：如图，正三角形abc的边长为2，则顶点a(0,0)，b(2,0)，c(2cos 60，2sin 60)，c(1，)，d，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，. 例2(1)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab,3a4b的坐标(2)已知a(1,2)，b(2,8)，求点c，d和向量的坐标思路点拨(1)直接利用向量的坐标运算求解；(2)可设出c、d坐标，由题设条件列出方程，可通过方程(组)的思想求出坐标精解详析(1)ab(1,2)(3,4)(2,6)；ab(1,2)(3,4)(4，2)；3a4b3(1,2)4(3,4)(15，10)(2)设c，d的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，又，(x11，y12)(3,6)，(1x2,2y2)(3，6)，即(x11，y12)(1,2)，(1x2,2y2)(1,2)点c，d和向量的坐标分别为(0,4)，(2,0)和(2，4)一点通向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，条件中如果知道的是起始点的坐标，那么向量的坐标就等于终点的坐标减去起点的坐标3若向量a(3,2)，b(0，1)，则向量2ba的坐标为_解析：2ba2(0，1)(3,2)(0，2)(3,2)(3，4)答案：(3，4)4已知a，b点坐标为(1,0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点a的坐标解：b(3,4)，c(1,1)，3b2c3(3,4)2(1,1)(9,12)(2,2)(7,10)，即a(7,10)，又b(1,0)，设a点坐标为(x，y)，则(1x,0y)(7,10)，即a点坐标为(8，10)5已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)，且3，2，求m，n的坐标和的坐标解：因为a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)，所以(1,8)，(6,3)设m(x，y)，则(x3，y4)由3(x3，y4)3(1,8)，即解得即m(0,20)同理可得n(9,2)所以(9，18). 例3已知点o(0,0)，a(1,2)，b(4,5)及t，试问：(1)当t为何值时，p在x轴上？p在y轴上？p在第三象限？(2)四边形oabp是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值若不能，说明理由思路点拨(1)由已知点的坐标表示出向量，的坐标，从而知道的坐标，即点p的坐标，然后分类讨论即可(2)若四边形oabp为平行四边形，则.精解详析(1)(3,3)，t(13t，23t)，则p(13t,23t)若p在x轴上，则23t0，所以t；若p在y轴上，则13t0，所以t；若p在第三象限，则所以t.(2)因为(1,2)，(33t,33t)，若oabp是平行四边形，则，所以此方程组无解；故四边形oabp不可能是平行四边形一点通对于探究存在性问题的求解策略：一般先假设存在满足题意的参数，然后根据条件建立方程或方程组，若方程或方程组有解，说明这样的参数存在，若方程或方程组无解，说明不存在6已知a(3，2)，b(2,1)，c(7，4)且cxayb，则x_，y_.解析：由已知得(7，4)x(3，2)y(2,1)(3x2y，y2x)，解之得答案：127已知pa|a(1,0)m(0,1)，mr，qb|b(1,1)n(1,1)，nr是两个向量集合，则pq等于_解析：因为a(1，m)，b(1n,1n)，若ab，则得pq(1,1)答案：(1,1)8已知点a(2,3)，b(5,4)，c(7,10)，若(r)，试求当点p在第三象限内时，满足的条件解：设点p的坐标为(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)，(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)因为，所以(x2，y3)(35，17)所以解得即p(55，47)当点p在第三象限时，有解得1.故当点p在第三象限内时，满足的条件为1.1平面向量与实数对的一一对应关系在直角坐标平面内，以原点o为起点作a，则点a的位置由a唯一确定，设axiyj，则向量的坐标(x，y)就是点a的坐标；反过来，点a的坐标(x，y)也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示；相等的向量其坐标相同，同样，坐标相同的向量是相等的向量，这就是向量坐标表示的实质，向量(x，y) 向量 点a(x，y)2平面