运用分类讨论解决数学问题.doc

运用分类讨论，解决数学问题 江苏省南通市通州区五接中学 刘冬燕分类讨论是思考问题的重要方法，能够让解决问题体现全面性，从而把一个复杂的问题简单化。数学课程标准特别强调问题解决，并且把问题解决作为数学教学的重要内容之一。在初中数学教学中，教师要善于指导学生利用分类讨论的方法解决数学问题，这样，就能够有效培养他们解决问题的全面性、条理性、逻辑性与简化性，从而促进思维能力的提高。在初中数学课程中，对于数学问题，按照不同的分类会有不同的结果，如果按照问题的性质分，可以分为概念型问题、性质型问题和图形型问题这三大类，那么，对于这三大类数学问题如何引导学生利用分类讨论的思想去解决呢？一、分类讨论解决概念型数学问题数学概念是数学知识体系中最小的单位，初中生如果对数学概念掌握不好，那么是不可能学好数学知识的。在初中数学教材中，有很多概念型的数学问题，对于这一些概念型的数学问题，教师如果引导学生运用分类讨论的思想去解决，就能够促进学生对数学概念内涵和外延的深刻理解。例如，“有理数”这一数学概念，在教材中分别根据性质和符号进行了分类，如果按照有理数的性质分，可以分为整数和分数两类，如果按照有理数的符号来分，可以分为正有理数、0、负有理数三类。在练习部分设计了这样的题目：数扩展为有理数之后，下面结论还成立吗?请说明理由（如果认为结论不成立，请举例说明）若两个数的和是0，则这两个数都是0；任何两个数相加，“和”不小于任何一个加数。对于这样的问题，教师往往会让学生通过举反例进行论证，尽管学生能轻而易举地举许多例子，但并没有达到此题所要求的真正教学目的。这个问题的教学目的是按两个加数的符号进行分类讨论有理数和的情况，因此，教师在问题讲解中，通过举例运算，仔细观察例子中的等式，运用分类的思想归纳出以下情况：两个异号的有理数相加，其结果可以分为三类：第一类，两个数的绝对值相等，这两个数的和为“0”；第二类，正数的绝对值大于负数的绝对值，两个数相加的和为正数；第三类，正数的绝对值小于负数的绝对值，两个数相加的和为负数。这样，通过分类讨论，不仅使问题得到解决，更为重要的是学生对有理数的概念有了更加深入的认识与理解。二、分类讨论解决性质型数学问题在初中数学教材中，对于一数学公式、数学定理、数学法则、数学性质等一般都是根据不同的情况分别进行分类描述的。对于性质型的数学问题，指导学生根据分类讨论的思想进行解决，能够促使学生高效地利用数学公式、数学定理、数学法则、数学性质等解决数学问题，从而促进数学思维能力的提高。例如，在“一次函数”一课中有这样一条数学性质：对于一次函数y=kx+b（k、x为常数，且k0）当k0时，y随着x的增大而增大；当k0时，由1x5得“kbkx+b5k+b，而得10x10，比较可得： kb =105k+b=10，解得k=10/3，b=一20/3；当k0，k0，k0两类进行讨论。这样，学生就能够在分类讨论的过程中，对于一次函数的性质有了深刻的理解，并且培养了数学思维的深刻性与严密性。三、分类讨论解决图形型数学问题培养初中生的空间观念是数学课程标准倡导的数学教学的重要目标之一。初中生空间观念的形成不是一朝一夕的，在指导学生解决图形型数学问题时，利用分类讨论的思想能够有效培养学生的空间观念，提升数学素养。例如：等腰三角形的两角之差为600，求该三角形的各内角的度数。对于这一题，可以这样引导学生进行分类讨论：设较小内角为x，则较大内角为x+60当较小角为底角时，x+x+( x+60)=180，解得x=40。当较小角为顶角时，则：x+ (x+60)+( x+60) =180，解得x=20、x+60=80。综上，等腰三角形的各内角为40、40、100或20、80、80。又如：若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个?这一道题，可以引导学生根据三角形的边长进行分类讨论：设三角形的三边长a，b，c，且a、b、c为正整数，abc，a+b+c=17；则ab+c。a8尝试取值，当a=6时，有1种情况，当a=7时有3种情况，当a=8时有4种情况。故满足条件的三角形共有8个。通过分类讨论，就能够使复杂的问题简单化了，这样，学生就有了解题的突破口，从而使数学问题迎刃而解。总之，我国正在实施新一轮课程与教学改革，要想使课程改革与教学改革