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数学（必修） 第一章 集合与函数概念 宁夏银川市第九中学 田彦武 2020-3-9规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。例1判断下列集合的关系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0， B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3， B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1， B=x|x2-1=0;（8）A=x|x是两条边相等的三角形 B=x|x是等腰三角形。 问题3：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？集合A与集合B的元素完全相同，从而有：2.集合相等 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即AB），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即BA），则称集合A等于集合B，记作A=B。如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。 问题4：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是） （2）除去与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）3.真子集： 由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：(1)AA (任何集合都是其自身的子集)；(2)若AB，而且AB（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A B。（空集是任何非空集合的真子集）(3)对于集合A，B，C，若AB，BC，即可得出AC；对A B，B C，同样有A C, 即：包含关系具有“传递性”。4.证明集合相等的方法：（1） 证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）（2） 分别证明AB和BA即可。（抽象情况）对于集合A，B，若AB而且BA，则A=B。（III） 例题分析： 例2判断下列两组集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1与B=y|y=x+1; (2)A=自然数与B=正整数例3(教材P8例3)写出a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例4解不等式x-32，并把结果用集合表示。结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。(IV) 课堂练习1. 课本P8，练习1、2、3;2. 设A=0，1，B=x|xA，问A与B什么关系？3. 判断下列说法是否正确？（1）NZQR； （2）AA；（3）圆内接梯形等腰梯形； （4）NZ；（5）； （6）4.有三个元素的集合A，B，已知A=2，x，y，B=2x，2，2y，且A=B，求x，y的值。（V）课时小结1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素）。2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；3 注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；4. 注意区别“”与“”的不同涵义。 （与的关系）（VI）课后作业1. 书面作业(1)课本P13，习题1.1A组题第5、6题。(2)用图示法表示 （1）AB （2）AB（I） 复习回顾问题1: (1)分别说明A与A=B的意义；(2)说出集合1,2,3的子集、真子集个数及表示；（II）讲授新课问题2：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系?图15（1）给出了两个集合A、B；图（2）阴影部分是A与B公共部分；图（3）阴影部分是由A、B组成；图（4）集合A是集合B的真子集；图（5）集合B是集合A的真子集；指出：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有： 1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作AB（读作“A并B”），即AB=x|xA或xB。如上述图（3）中的阴影部分。2.交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作AB（读作“A交B”），即AB=x|xA且xB。如上述图（2）中的阴影部分。3.一些特殊结论 由图15（4）有: 若A,则AB=A；由图15（5）有: 若B,则AB=A；特别地，若A，B两集合中，B=，,则A=, A=A。4.例题解析 (师生共同活动)例1设A=x|x-2，B=x|x-2x|x3=x|-2x3。例2设A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求AB。此题运用文氏图，其公共部分即为AB.(图1-7) 解：AB=x|x是等腰三角形x|x是直角三角形=x|x是等腰直角三角形。例3设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AB。 运用文氏图解答该题(图1-8) 解：A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，则AB=4，5，6，83，5，7，8=3，4，5，6，7，8。例4设A=x|x是锐角三角形，B=x|x是钝角三角形，求AB。解：AB=x|x是锐角三角形x|x是钝角三角形=x|x是斜三角形。例5设A=x|-1x2,B=x|1x3,求AB。利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求(图19) 解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x3.例6教材P11例7。问题3: 请看下例A=班上所有参加足球队同学B=班上没有参加足球队同学S=全班同学那么S、A、B三集合关系如何.分析：(借助于文氏图)集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合，则有5.全集如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（uniwerse set），记作U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合。6.补集(余集)一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即AS），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作CUA，即CUA=x|xU，且xA图13阴影部分即表示A在U中补集CUA。7.举例说明例7、例8见教材P12例8、例9。补充例题：解答下列各题：（1）若S=2，3，4，A=4，3，则CSA=2 ；(2)若S=三角形，B=锐角三角形，则CSB=直角三角形或钝角三角形 ；（3）若S=1，2，4，8，A=，则CSA= S ；（4）若U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，则a=-1 ；(5)已知A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求B=1，4；(6)设全集U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，求m的值；（m= - 4或m=2）（7）已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求CUA、m；（答案：CUA=2，3，m=4；CUA=1，4，m=6）(8).已知全集U=R,集合A=x|00)； y=1与y=x0 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x0,而不是。（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。(V)区间的概念设a、b是两个实数，且ab，规定：（投影1）（1）满足不等式的实数的x集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的x集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为；（4）满足不等式的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为；说明： 对于，都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度； 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3xa, xb, x0时，求的值。分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）例2求下列函数的定义域。（1）；(2)；(3)分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。例3下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？（书P21例2） (1) y=()2 ; (2) y= ; (3) y=; (4)y=.分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）课堂练习：课本P22练习1、2、3。课时小结：本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。2、预习作业：（1） 预习内容：课本P22P23；（2） 预习提纲：a.函数的表示方法分别有哪几种?c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；教学后记 1.2.2 函数的表示方法（第一课时）教学时间：2004年9月4日星期六教学班级：高一(11、12)班教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（）引入问题1.回忆函数的两种定义；2.函数的三要素分别是什么？3设函数，则 ，若，则= 。（II）讲授新课函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如等。优点：（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）： 如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。（III）例题分析： 例1（书P22）.某种笔记本的单价是5元，买x（个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数。解：这个函数的定义域是数集，用解析法可以将函数表示为，。用列表法可以将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025图象法略。说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。例2下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。（IV）课堂练习：课本P27练习1、2。（V）课时小结：本节课我们学习了函数的表示方法。（VI）课后作业1、书面作业：课本P28习题1.2第5、6、7、8、9题。2、预习作业：（1）预习内容：课本P24-P25；（3） 预习提纲：a.什么叫分段函数?分段函数是否为一个函数？b.如何画分段函数的图象？教学后记 1.2.2 函数的表示方法（第二课时）教学时间：2004年9月6日星期一教学班级：高一(11、12)班教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握分段函数及其简单应用。教学重点：分段函数的理解教学难点：分段函数的图象及简单应用教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（）引入问题1函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？2如何作出函数的图象？（II）讲授新课例1作出函数的图象和的图象，并分别求出函数的值域。注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。例2国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资160分；依次类推，每封xg()的信函付邮资为： , 画出这个函数的图象。说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。例3（教材例6）例4作出下列各函数的图象：（1）； （2）对第（2）小题的函数，试根据的取值讨论方程的根的个数问题。练习：1在函数中，若，则的值为 。2已知，则= 。作业：课本P28习题1.2第10、11、12、13题。1.2.2 函数的表示方法（第三课时）教学时间：2004年9月7日星期二教学班级：高一(11、12)班教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；2.使学生了解象、原象的概念；3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。教学重点：映射、一一映射的概念教学难点：映射、一一映射的概念教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1：前面学习的元素与集合的关系“”、“”，集合与集合的关系“”、“ ”“”；2：在初中学过一些对应的例子（投影1）；（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应；（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。（II）讲授新课1. 映射的概念a.观察下列对应（投影2）：（为简明起见，这里的A、B都是有限集合）（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）问题1：这四个对应的共同特点是什么？对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则，在集合B中都有确定的元素和它对应。问题2：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么共同特点？这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。b.映射的定义一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：AB由此定义：（2），（3），（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。（2）f: x; (3)f: xx2; (4)f: x2xc.象，原象的概念 给定一个集合A到集合B的映射，且aA，bB。如果在对应法则f的作用下，元素a和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：AB”表示A到B的映射，符号“f：BA”表示B到A的映射，两者是不同的；（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象（如图（3）；例：“A=0,1,2,B=0,1,1/2,f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象（4）集合B中的元素在A中可以没有原象（如图（4），即使有也可以不唯一（如图（3）；（5）A=原象，B象。d.例题分析： 例：判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射,并说明理由（投影3）。（1）设A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9。f:;（2）设A=N*，B=0，1，f:；（3）设A=1，2，3，4，B=1，f:；（4）设A=，B=0,1,2，f:(;2.一 一映射的概念问题3：观察图（2）、（3）、（4），想一想这三个对应有什么不同特点？分析：（3）是多对一（即多个元素有同一个象）；（4）是一对一（但B中有的元素在A中没有原象）；（2）是一对一（且B中所有元素在A中都有原象）；再观察下图：(投影4)由此有：“一一映射”的定义：一般地，一个映射f：AB，若满足：a. 对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象;(单射)b. 集合B中每一个元素都有原象；（满射）那么这个映射叫做A到B上的一一映射。例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合A到集合B的一一映射？为什么？注意：（1）一一映射是一种特殊的映射（A到B是映射，B到A也是映射，或从一一映射定义解释）；（2）若在映射f：AB中，象的集合CB ，则映射不是一一映射，即C=B是一一映射的必要条件。 （想一想为什么不充分？）（因为映射f：AB未指出对于集合A中的不同元素的集合B中有不同的象。即f：AB可能是多对一的情形。）（III）课堂练习：课本P27练习4。（IV）课时小结：本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。（V）课后作业：1、书面作业：课本P29，习题1.2A组题第14题及第二教材相关题目。2、预习作业：（1） 预习内容：课本P32P35；（2） 预习提纲：a.函数单调性的定义是什么?b.怎样证明函数的单调性？教学后记 13函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时）教学时间：2004年9月9日星期四教学班级：高一(11、12)班教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明教学方法：讲授法教学过程：（I）复习回顾1.函数有哪几个要素？2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？4.区间的表示方法.前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。（II）讲授新课1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着x的增加，y值在增加。问题2：怎样用数学语言表示呢？设x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1x2时，f(x1) f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。结论：这时，说y1= x2在0，+上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有：2.定义：（投影2）一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1) f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。（III）例题分析例1.下图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。问题3：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：设任意x1、x2R，且x1x2.则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由x1x2得x1-x20.f(x1)- f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)=3x+2 在R上是增函数。分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1、x2给定区间，且x10）既是奇函数又是偶函数。 从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次f(-x)