苏教版选修21 曲线的交点 学案.doc

2.6.3曲线的交点1掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数(重点)2领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题(难点)3直线与圆锥曲线公共点个数的讨论(易错点)基础初探教材整理两条曲线的交点与相交弦长阅读教材p65的部分，完成下列问题1两条曲线的交点对于曲线c1：f1(x，y)0和曲线c2：f2(x，y)0，(1)p0(x0，y0)是c1与c2的公共点(2)求两条曲线的交点，就是求方程组的实数解2弦长公式设直线l的方程为ykxb，l与圆锥曲线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则弦长公式为ab|x1x2|y1y2|.3代点法设直线l与圆锥曲线c：f(x，y)0交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则可将a，b两点坐标代入方程f(x，y)0，得两式作差，变形，即可得到弦ab的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)过椭圆上一点p的直线与该椭圆必有两个公共点()(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条()(3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切()(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长()【答案】(1)(2)(3)(4)2直线ymx1与椭圆x24y21有且只有一个交点，则m2_.【解析】由得(14m2)x28mx30.由题意得64m212(14m2)0，解得m2.【答案】3曲线x22xyy220与x轴的交点坐标为_【解析】在曲线方程中，令y0，得x220，解得x，则曲线与x轴的交点坐标为(，0)【答案】(，0)4直线yx1与曲线x22y交于a，b两点，则ab_. 【导学号：09390061】【解析】由得x22x20，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22，x1x22，由弦长公式得ab2.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型曲线公共点的个数问题已知直线l：kxy20，双曲线c：x24y24，当k为何值时：(1)l与c无公共点；(2)l与c有唯一公共点；(3)l与c有两个不同的公共点【精彩点拨】直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值【自主解答】将直线与双曲线方程联立消去y，得(14k2)x216kx200.当14k20时，有(16k)24(14k2)(20)16(54k2)(1)当14k20且0，即k时，l与c无公共点(2)当14k20，即k时，显然方程只有一解当14k20，0，即k时，方程只有一解故当k或k时，l与c有唯一公共点(3)当14k20，且0时，即k0，即1k且k0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当0，即k时，直线l与抛物线相离，没有公共点综上，当k1或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当1k且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k时，直线l与抛物线没有公共点.直线被圆锥曲线截得的弦长问题已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点f1，与椭圆相交于a，b两点，求弦ab的长【精彩点拨】先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查a，b坐标间的联系，进行整体运算【自主解答】直线l过椭圆1的右焦点f1(1,0)，又直线的斜率为2.直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.法一：由方程组得交点a(0，2)，b.则ab.法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b的坐标为方程组的公共解对方程组消去y，得3x25x0，则x1x2，x1x20，ab.法三：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立消去y，得3x25x0，则x1，x2是方程3x25x0的两根x1x2.由圆锥曲线的统一定义，得af1(5x1)，f1b(5x2)，则abaf1f1b10(x1x2).弦长的求法1求弦长要分一般弦还是焦点弦，若是一般弦，利用一般弦长公式求解，若是焦点弦，可利用圆锥曲线的统一定义求解2弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法较为简捷再练一题2如图266，椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，一条直线l经过f1与椭圆交于a，b两点，若直线l的倾斜角为45，求abf2的面积图266【解】由椭圆的方程1知，a4，b3，c.由c知f1(，0)，f2(，0)，又直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为xy0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由法一：消去y，整理得25x232x320，x1x2，x1x2，ab.又点f2到直线l的距离d，sabf2abd.法二：消去x，整理得25y218y810，y1y2，y1y2.|y1y2|，sabf2f1f2|y1y2|2.直线与圆锥曲线的综合问题(2016济宁高二检测)已知椭圆1(ab0)，过点a(a,0)，b(0，b)的直线倾斜角为，焦距为2.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线过d(1,0)与椭圆交于e，f两点，若2，求直线ef的方程；(3)是否存在实数k，直线ykx2交椭圆于p，q两点，以pq为直径的圆过d(1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【精彩点拨】(1)根据直线的倾斜角求得a，b的关系式，又2c2，结合a2b2c2可得a2和b2，即得方程；(2)设出直线方程，利用2及韦达定理可求ef的方程；(3)假设存在，利用pdqd建立方程推导【自主解答】(1)由，a2b2c22，得a，b1，所以椭圆方程为y21.(2)设ef：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20，设e(x1，y1)，f(x2，y2)，由2，得y12y2.由y1y2y2， y1y22y，得2，m1或m1.直线ef的方程为xy10或xy10.(3)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90.(*)记p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，pq为直径的圆过d(1,0)，则pdqd，即(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y20，又y1kx12，y2kx22，得(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50，解得k，此时(*)方程0，存在k满足题设条件存在性问题的一般方法对于存在性问题，一般是假设存在，利用已知条件进行推导，如本例中的以pq为直径的圆过点d，转化为pdqd，若存在，则利用构建的方程可解出未知数；若不存在，则推出矛盾再练一题3设双曲线c：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同点a，b.(1)求双曲线c的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为p，若，求a的值. 【导学号：09390062】【解】(1)将yx1代入双曲线y21(a0)中得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a，且e.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(0,1)，因为，所以(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的两根，且1a20，所以x2，x，消去x2，得.由a0，解得a.探究共研型直线与圆锥曲线的相交弦问题探究解决直线与圆锥曲线的相交弦问题要注意什么？【提示】(1)“设而不求”的方法，若直线l与圆锥曲线c有两个交点a和b，一般地，首先设出交点坐标a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用根与系数关系等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式ab|x1x2|y1y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率已知椭圆1，过点p(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程【精彩点拨】设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y，得关于x的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解【自主解答】法一：设所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是上面的方程的两个根，所以x1x2，因为p为弦ab的中点，所以2，解得k，所以所求直线的方程为x2y40.法二：设直线与椭圆交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为p为弦ab的中点，所以x1x24，y1y22，又因为a，b在椭圆上，所以x4y16，x4y16，两式相减，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即kab.所以所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40.再练一题4过点p(1,1)的直线与椭圆1交于a，b两点，若线段ab的中点恰为点p，求ab所在的直线方程及弦长ab.【解】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由a，b两点在椭圆上得两式相减得(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0.显然x1x2，故由得kab.因为点p是ab的中点，所以有x1x22，y1y22.把代入得kab，故ab的直线方程是y1(x1)，即x2y30.由消去y得3x26x10，x1x22，x1x2，ab.构建体系1过点(0,1)且与抛物线y2x只有一个公共点的直线有_条【解析】点(0,1)在抛物线y2x的外部，过点(0,1)与抛物线相切的直线有两条过点(0,1)平行于对称轴的直线有一条，因此，只有一个公共点的直线共有3条【答案】32已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a等于_【解析】由题意知a0.由消去y得ax2x10，该方程的判别式(1)24a114a，令0，即14a0，解得a.【答案】3直线ykxk1与椭圆1的交点个数为_【解析】由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交，故有2个交点【答案】24若直线y2xb被曲线y24x截得的弦ab的长为3，则实数b等于_. 【导学号：09390063】【解析】联立方程得4x2(4b4)xb20，(*)设两个交点的坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由根与系数的关系，得故ab|x1x2|3.化简得3，于是b4，当b4时，方程(*)的判别式为(4b4)216b232b1632(4)161440.故直线与曲线有两个交点，于是所求的b的值为4.【答案】45对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系【解】由消去y得(xm)21，整理得5x28mx4m240，(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，b0)，f(，0)为其右焦点，过f垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆c的方程为_. 【导学号：09390064】【解析】由题意，得解得所以椭圆c的方程为1.【答案】15过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于a，b两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有_条【解析】设该抛物线焦点为f，则abaffbxaxbxaxb132p2.所以符合条件的直线有且仅有两条【答案】26曲线yx2x2和yxm有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是_【解析】由消去y ，得x22x2m0.若有两个不同的公共点，则44(2m)0，m1.【答案】(1，)7直线4kx4yk0与抛物线y2x交于a，b两点，若ab4，则弦ab的中点到直线x0的距离等于_【解析】直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x24，故x1x2，则弦ab的中点的横坐标是，弦ab的中点到直线x0的距离是.【答案】8已知直线y2xb与曲线xy2相交于a，b两点，若ab5，则实数b等于_. 【导学号：09390065】【解析】设a(x1，y1)，b(x2，y2)联立方程组消去y，整理得2x2bx20.x1，x2是关于x的方程的两根，x1x2，x1x21.又ab，其中k2，代入则有ab5，b24，则b2.故所求b的值为2.【答案】2二、解答题9如图267, 斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于a，b两点，求弦ab的长图267【解】设a，b两点的坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以f(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，化简整理，得5x28x80，所以x1x2，x1x2.所以ab|x1x2|.10直线l：yax1与双曲线3x2y21有两个不同的交点，(1)求a的取值范围；(2)设交点为a，b，是否存在直线l使以ab为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线l的方程；若不存在，则说明理由【解】(1)由方程组可得(3a2)x22ax20，由方程有两实数根，则解得a且a，故所求a的取值范围是(，)(，)(，)(2)设交点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，由(1)知，x1x2，x1x2，由题意可得， oaob(o是坐标原点), 则有x1x2y1y20，而y1y2(ax11)(ax21)a2x1x2a(x1x2)1， (a21)x1x2a(x1x2)10，于是可得(a21)a10，解得a1，且满足(1)的条件，所以存在直线l使以ab为直径的圆恰过原点，直线l的方程为yx1或yx1. 能力提升1过点p(4,1)的直线l与椭圆1有且只有一个公共点，则直线l的方程为_【解析】若直线l不存在斜率，则方程为x4；把x4带入轨迹方程可得y1，即直线l和椭圆有两个公共点，不合题意设直线l的斜率为k，则方程为ykx4k1，带入轨迹方程并整理得(12k2)x24k(14k)x16(2k2k1)0.直线l与椭圆只有一个公共点，16k2(14k)264(12k2)(2k2k1)0，解得k2，直线l的方程为y2x9.【答案】y2x92双曲线x24y2(0)截直线xy30所得弦长为，则双曲线方程为_【解析】联立方程消去y得3x224x(36)0，设直线被双曲线截得的弦为ab，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么所以ab，解