苏教版选修21 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量.docx

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量教学目标1知识与技能(1)掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念；(2)掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题2过程与方法(1)通过直线方向向量及平面的法向量的求解过程，学会求直线方向向量及平面的法向量的方法，体会待定系数法的解题功能(2)通过例题的讲解，体会用向量方法解决立体几何问题的思路步骤3情感、态度与价值观通过教学，使学生体会对比的数学思想，体验用向量的方法解决立体几何中的长度、角度等问题教学重点：平面的法向量教学难点：待定系数法求平面的法向量直线的方向向量我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时，我们把向量n叫做平面的法向量.例题解析例1：在正方体中，求证：是平面的法向量.证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系，则a(1,0,0),c(0,1,0),d1(0,0,1),b1(1,1,1) ， ，所以,同理又因为所以平面,从而是平面的一个法向量.变式1：如图，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为2，g、e、f分别为棱aa1、ab、bc的中点(1)求平面bb1d1d的一个法向量；(2)求平面gef的一个法向量解(1)以d为原点，da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则a(2,0,0)，c(0,2,0)(2,2,0)，acdd1，acbd，ac平面bb1d1d，(2,2,0)是平面bb1d1d的一个法向量(2)设平面gef的一个法向量为n(x，y,1)，g(2,0,1)，e(2,1,0)，f(1,2,0)(0,1，1)，(1,2，1)n，n，n(1,1,1)例2、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式.解：由题意得.因为是平面的法向量，所以从而即得到.所以满足题意得关系式为.变式2：已知a(2,1,1)，b(2,3，3)，c(4,5,9)，d是bc的中点(1)写出直线ad的一个方向向量；(2)设平面经过点d，且是平面的法向量，m(x，y，z)是平面内的任意一点，求x，y，z满足的关系式解(1)a(2,1,1)，b(2,3，3)，c(4,5,9)，bc的中点d的坐标为(1,4,3)(1,4,3)(2,1,1)(1,3,2)此即为直线ad的一个方向向量(2)(4,2，4)，(2,4,8)，(2,6,4)，(x1，y4，z3)是平面的法向量，)，从而()0，即(2,6,4)(x1，y4，z3)0，2(x1)6(y4)4(z3)0.整理，得满足题设的关系式为x3y2z170.课堂检测1已知直线l过点a(1,2,3)，b(2,5,8)，且a(2，m，n)是直线l的方向向量，则mn_.【解析】(1,3,5)，由题知a.m6，n10，mn16.【答案】162若直线l，且l的方向向量为(m,2,4)，平面的法向量为(，1,2)，则m为_【解析】(m,2,4)(，1,2)，m1.【答案】13已知直线l的一个方向向量为u(4,1，2)，平面的一个法向量为v(1,0,2)，则l与的位置关系是_【解析】uv4110(2)20，uv，l或l.【答案】平行或在平面内4已知abc的三个顶点的坐标分别为a(1,2,3)，b(2,0，1)，c(3，2,0)，试求出平面abc的一个法向量解设平面abc的法向量为n(x，y，z)，a(1,2,3)，b(2,0，1)，c(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)由题设得：即解得不妨取y1，则x2，故平面abc的一个法向量为n(2,1,0).5. 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o为四边形abcd的中心(1)求平面oa1d1的一个法向量；(2)求证：是平面a1c1b的一个法向量解(1)以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz.则o(1,1,0)，a1(0,0,2)，d1(0，2,2)，设平面oa1d1的法向量为n(x，y，z)，由于(1，1,2)，(1,1,2)，则n0，n0，即解得取z1，得平面oa1d1的一个法向量为n(2,0,1)(2)证明：由a1(0,0,2)，b(2,0,0)，c1(2,2,2)，b1(2,0,2)，d(0,2,0)，得(2,0，2)，(0,2,2)，(2,2，2)，(2,0，2)(2,2，2)0，(0,2,2)(2,2，2)0，.又a1bbc1b，平面a1c1b，即是平面a1c1b的一个法向量课堂小结1直线的方向向量表明了直线的方向，其方向向量有无数个，一般取法是在直线上取相异两点a，b，则或即为该直线的一方向向量2平面的法向量即平面法线的方向向