苏教版选修21 3.2.3　空间的角的计算 学案1.doc

3.2.3空间的角的计算学习目标重点、难点1能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题2能运用向量法求各种距离3体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.重点：1向量法求空间角的大小；2向量法求点到面的距离难点：1空间角与向量的应用；2转化思想在各种距离求法中的应用.1两条异面直线所成的角(1)范围：两异面直线所成的角的取值范围是_(2)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则有cos |cosa，b|_.预习交流1(1)两条异面直线所成的角就是它们的方向向量的夹角吗？(2)已知直线l1的一个方向向量为a(1，2,1)，直线l2的一个方向向量为b(2，2,0)，则两直线所夹角的余弦值为_2直线与平面所成的角(1)范围：直线和平面所成角的取值范围是_(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin _.预习交流2直线与平面所成的角和直线方向向量与平面法向量的夹角有什么关系？3二面角(1)二面角的取值范围是_(2)二面角的向量求法：若ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面角的大小就是_(如图甲)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的_的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙丙)预习交流3二面角l的平面角为，平面，的法向量分别为n1，n2，如何去掉|cos |中的绝对值号？4利用空间向量求空间距离(1)利用可以求空间中有向线段的长度(2)点面距离的求法已知ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离为|=|cos，n|=_.预习交流4已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点a(1，3,0)在内，则p(2,1,4)到的距离为_在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求异面直线所成的角如图所示，已知abca1b1c1是直三棱柱，acb=90，点d1，f1分别是a1b1，a1c1的中点，bc=ca=cc1，求bd1与af1所成的角的余弦值思路分析：建立空间直角坐标系，求与的夹角已知a(0,1,1)，b(2，1,0)，c(3,5,7)，d(1,2,4)，则直线ab和直线cd所成角的余弦值为_利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角的取值范围是，两向量的夹角的取值范围是0，所以要注意二者的联系与区别，应有cos |cos |.二、求直线与平面所成的角棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e是棱a1b1的中点，求aa1与平面ad1e所成角的正弦值思路分析：建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用平面ad1e的法向量求线面角在棱长为a的正方体abcdabcd中，e，f分别是bc，ad的中点(1)求证四边形bedf为菱形；(2)求直线ad与平面bedf所成的角的正弦值利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)设线面角为，则sin .三、求二面角的平面角如图所示，在正方体abefdcef中，m，n分别为ac，bf的中点，求平面mna与平面mnb所成锐二面角的余弦值思路分析：解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解已知pa平面abc，acbc，paac1，bc，求二面角apbc的余弦值(1)利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)(2)利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角四、求点到平面的距离如图所示，已知abcd是边长为4的正方形，e，f分别是ad，ab的中点，gc垂直于abcd所在的平面且gc=2，求点b到面efg的距离思路分析：求点到平面的距离，一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足，把点到面的距离转化为解三角形求解，需要作辅助线，然后通过逻辑推理论证及计算，这样比较麻烦，而用向量法则较为简便已知空间四点a(2,3,1)，b(4,1,2)，c(6,3,7)，d(5，4，8)，则点d到平面abc的距离是_(1)求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解(2)求点到平面距离时也可将上述方法改变为：求出平面的单位法向量n0；任取一条过法向量与平面交点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；求出n0与n1的数量积的绝对值，即得点到平面的距离d|n0n1|，其中单位法向量由法向量除以它的模得到，斜线段可以任取，但必须经过法向量与平面的交点(3)求点到平面的距离还可以利用等体积法进行求解1平面的一个法向量n1(1,0,1)，平面的一个法向量n2(3,1,3)，则与所成的角是_2如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m和n分别是a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值为_3若一个二面角的两个面的法向量分别为m(0,0,3)，n(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为_4直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120，则直线l与平面所成的角等于_5正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则点a到平面b1d1db的距离为_用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记知识精华技能要领答案：课前预习导学1(1)(2)预习交流1：(1)提示：不是，两条异面直线所成的角只能是锐角或直角而它们的方向向量的夹角可能是锐角或直角，也可能是钝角当两方向向量的夹角是钝角时，其补角才是两异面直线所成的角(2)提示：|cosa，b|.2(1)(2)|cos |或cos sin 预习交流2：提示：直线方向向量与平面法向量所夹的锐角和直线与平面所成的角互为余角，即.因此sin cos .3(1)0，(2)向量与的夹角夹角(或其补角)预习交流3：提示：当n1，n2所在的角与相等时，|cos |cosn1，n2；当n1，n2所成角与互补时，|cos |cosn1，n24(2)预习交流4：提示：(1,2，4)，所以点p到的距离为d.课堂合作探究活动与探究1：解：如图所示，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设cb=ca=cc1=1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，d1，f1，.，.bd1与af1所成的角的余弦值为.迁移与应用：解析：=(2，2，1)，=(2，3，3)，而，故直线ab和cd所成角的余弦值为.活动与探究2：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(2,0,0)，a1(2,0,2)，d1(0,0,2)，e(2,1,2)，(0,0,2)，(2,0,2)，(0,1,2)设平面ad1e的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，令x1，则y2，z1.故n(1，2,1)，设n与向量的夹角为，则cos .直线aa1与平面ad1e所成角的正弦值为.迁移与应用：(1)证明：如图所示，以a为原点，ab，ad，aa所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则d(0，a,0)，e，b(a,0，a)，f，.，四边形bedf为平行四边形，|a.又|a.|，平行四边形bedf为菱形(2)解：设平面bedf的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y2，z1，n(1,2,1)cosn，.ad与平面bedf所成的角的正弦值为sin |cosn，|.活动与探究3：解：设正方体棱长为1.以b为坐标原点，ba，be，bc所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系bxyz，则m，n，a(1,0,0)，b(0,0,0)(方法一)取mn的中点g，连结bg，ag，则g.amn，bmn为等腰三角形，agmn，bgmn.agb为二面角的平面角或其补角由于，cos，故所求锐二面角的余弦值为.(方法二)设平面amn的法向量为n1(x，y，z)由于，.即令x1，则得y1，z1，n1(1,1,1)同理可求得平面bmn的一个法向量n2(1，1，1)cosn1，n2.故所求锐二面角的余弦值为.迁移与应用：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,1)，=(0,0,1)，=(,1,0)，=(,0,0)，=(0，1,1)设平面pab的法向量m=(x，y，z)，则即即令x=1，则m=(1，,0)设平面pbc的法向量为n=(x，y，z)，则即即令y=1，则n=(0，1，1)cosm，n=.二面角apbc的余弦值为.活动与探究4：解：如图所示，以c为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则g(0,0,2)，b(0,4,0)，a(4,4,0)，d(4,0,0)，e(4,2,0)，f(2,4,0)，=(4,2，2)，=(2,4，2)设n0=(x，y，z)是平面efg的单位法向量，则有取z0，得x=y=，n0=(1,1,3)又=(0,4，2)，d=|n0|=|10+1432|=.迁移与应用：解析：由题意知，=(2，2,1)，=(4,0,6)设平面abc的一个法向量n=(x，y，z)，则有令x=3，则z=2，y=2，故n=(3,2，2)，=(7,7，7)，故.当堂检测190解析：由于n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以n1n2，故，与所成的