苏教版选修23 2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差 学案.doc

25.2离散型随机变量的方差和标准差a，b两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：a机床次品数x10123p0.70.20.060.04b机床次品数x20123p0.80.060.040.10问题1：试求e(x1)，e(x2)提示：e(x1)00.710.220.0630.040.44.e(x2)00.810.0620.0430.100.44.问题2：由e(x1)和e(x2)的值说明了什么？提示：e(x1)e(x2)问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差1离散型随机变量的方差和标准差(1)离散型随机变量的方差定义：设离散型随机变量x的均值为， 其概率分布为xx1x2xnpp1p2pn则(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(其中pi0，i1,2，n，p1p2pn1)称为离散型随机变量x的方差，也称为x的概率分布的方差，记为v(x)或2.变形公式：v(x)pi2.意义：方差刻画了随机变量x与其均值的平均偏离程度(2)离散型随机变量的标准差x的方差v(x)的算术平方根称为x的标准差，即.2两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1)若x01分布，则v(x)p(1p)；(2)若xh(n，m，n)，则v(x)；(3)若xb(n，p)，则v(x)np(1p)1随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量x取值的稳定性和波动、集中与离散程度v(x)越小，稳定性越高，波动越小2随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差方差和标准差的计算例1已知随机变量x的概率分布为x01xpp若e(x)，求v(x)思路点拨解答本题可先根据i1求出p值，然后借助e(x)，求出x的取值，最后代入公式求方差精解详析由p1，得p.又e(x)01x，x2.v(x)222.一点通求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求得数学期望，进而求得方差或标准差1已知x的概率分布为x1234p0.30.20.20.3则v(x)_.解析：e(x)10.320.230.240.30.30.40.61.22.5.v(x)0.3(12.5)20.2(22.5)20.2(32.5)20.3(42.5)21.45.答案：1.452有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若x表示取到次品的次数，则v(x)_.解析：由题意知取到次品的概率为，xb，v(x)3.答案：.数学期望和方差的实际应用例2某投资公司在2014年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由思路点拨分别计算项目一、二中获利的期望与方差后，作出判断精解详析若按“项目一”投资，设获利x1万元，则x1的分布列为x1300150pe(x1)300(150)200(万元)若按“项目二”投资，设获利x2万元，则x2的分布列为x25003000pe(x2)500(300)0200(万元)v(x1)(300200)2(150200)235 000，v(x2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000，e(x1)e(x2)，v(x1)v(x2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资一点通离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定3甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局谁的技术比较稳定？解：用x表示10局中甲赢的局数，则xb (10,0.51)，故e(x)100.515.1，即甲平均赢5.1局用y表示10局中乙赢的局数，则yb(10,0.49)故e(y)100.494.9，于是乙平均赢4.9局又v(x)100.510.492.499，v(y)100.490.512.499.所以他们技术的稳定性一样.数学期望、方差、概率分布的综合应用例3在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数x的数学期望和方差思路点拨精解详析x可能取的值为1,2,3,4,5.p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4)，p(x5)1.x的概率分布为x12345p0.20.20.20.20.2由定义知，e(x)0.2(12345)3，v(x)0.2(2212021222)2.一点通求离散型随机变量x的均值与方差的基本步骤：(1)理解x的意义，写出x可能取的全部值；(2)求x取每个值的概率；(3)写出x的概率分布；(4)由均值的定义求e(x)；(5)由方差的定义求v(x)4把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数y的数学期望和方差”解：由题意知yb(5，)，e(y)51，v(y)5(1).5甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数x的数学期望和方差解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为a，b.设甲独立解出此题的概率为p1，乙为p2，则p(a)p10.6，p(b)p2，p(ab)1p()1(1p1)(1p2)p1p2p1p20.92，0.6p20.6p20.92.则0.4p20.32即p20.8.(2)p(x0)p()p()0.40.20.08，p(x1)p(a)p()p()p(b)0.60.20.40.80.44，p(x2)p(a)p(b)0.60.80.48.x的概率分布为x012p0.080.440.48e(x)00.0810.4420.480.440.961.4，v(x)(01.4)20.08(11.4)20.44(21.4)20.480.156 80.070 40.172 80.4.1已知随机变量的概率分布，求它的数学期