苏教版选修44 4.4.4 平摆线与圆的渐开线 学案.doc

44.4平摆线与圆的渐开线对应学生用书p26 1平摆线(1)半径为r的圆所产生的摆线的参数方程：(为参数)由上述参数方程所确定的曲线称为平摆线(或称旋轮线)(2)平摆线的几何特性：由无数个呈周期性排列的拱组成；每个拱的高为2r；拱的底为2r，即在x轴上每隔2r拱将重复一次2圆的渐开线(1)半径为r的圆的渐开线的参数方程(为参数)(2)渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆对应学生用书p27平摆线例1已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时刻平摆线的参数方程思路点拨将点(2,0)代入平摆线的参数方程中求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程精解详析令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2 ( )代入xr(sin )，得xr(2 sin 2 )又因为x2，所以r(2 sin 2 )2，即得r( )又r0，所以r( n*)易知，当 1时，r取最大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(为参数)由圆的平摆线的参数方程的形式可知，只要确定了平摆线生成圆的半径，就能确定平摆线的参数方程要确定圆的半径，通常的做法有：根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；利用待定系数法，将平摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径1已知圆c：(为参数)和直线l：xy60.(1)如果把圆心平移到原点o，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平摆线和x轴的交点解：(1)圆c平移后圆心为o(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是(为参数)(3)令y0，得66cos 0cos 1.所以2 ( )代入x66sin ，得x12 ( )，即圆的平摆线和x轴的交点为(12 ，0)( )2已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的平摆线方程中，求参数对应的点a与点b之间的距离解：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(为参数)把 代入参数方程中可得即a，ab .圆的渐开线例2当，时，求圆的渐开线上的对应点a，b，并求出a，b的距离思路点拨把，分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离精解详析把，分别代入参数方程得和即a，b两点的坐标分别为，ab.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点m相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程3渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标解：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1.它表示焦点在x轴上的椭圆，其中c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)4有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程解：因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(为参数)对应学生用书p281给出直径为6的圆，写出此圆的渐开线的参数方程解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系因为的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(为参数)2求平摆线(0t2)与直线y2的交点的直角坐标解：当y2时，有2(1cos t)2，t或t.当t时，x2；当t时，x32.平摆线与直线y2的交点为(2,2)，(32,2)3已知一个圆的平摆线方程是(为参数)，求该圆的面积解：由平摆线方程(为参数)知圆的半径为4，故圆的面积为16.4已知圆的半径为1，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点a，b的参数值分别为和，求a与b两点的距离解：圆的渐开线参数方程为(为参数)当时，得x，y；当时，得x，y1，所以a，b，故ab .5已知平摆线的参数方程为(为参数)，求平摆线一个拱的宽度与高度解：法一：由平摆线参数方程可知，产生平摆线的圆的半径r2，又由平摆线的产生过程可知，平摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2r4，平摆线的拱高等于圆的直径为4.法二：由于平摆线的一个拱的宽度等于平摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y0，即1cos 0，解得2 ( )，不妨分别取 0,1，得10，22，代入参数方程，得x10，x24，所以平摆线与x轴两个相邻交点的距离为4，即平摆线一个拱的宽度等于4；又因为平摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时，所以平摆线一个拱的高度为|y|2(1cos )4.6已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把当成参数(t0)，它表示半径为t的圆(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t)，求出圆对应的平摆线的参数方程解：(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y2tan (x2)，即yxtan 2tan 2，如果把看成参数且t0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x2)2(y2)2t2.(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的平摆线的参数方程为(为参数)7有一个直径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点m，与轮子中心的距离是a，求点m与轮子中点连线的中点p的轨迹方程解：以m落在轨道上的某一位置为原点，轨道所在直线为x轴，建立直角坐标系，则xma(sin )，yma(1cos )设轮子中心为c，则xca，yca.而p是cm中点，则p的轨迹方程是(为参数)8.如图，若点q在半径ap上(或在半径ap的延长线上)，当车轮滚动时，点q的轨迹称为变幅平平摆线，取aq或aq，请推出q的轨迹的参数方程解：设q(x，y)、p(x0，y0)，若a(r，r)，则当aq时，有代入点q的轨迹的参数方程为(为参数)当aq时，有代入.点q的轨迹方程为(为参数)对应学生用书p29考情分析从考试内容上来看，极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化是考查的重点，着重考查直线与圆的极坐标方程或参数方程的应用，难度中等真题体验1(江西高考)设曲线c的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为_解析：消去曲线c中的参数t得yx2，将xcos ，ysin 代入yx2中，得2cos2sin ，即cos2sin 0.答案：cos2sin 02(重庆高考)在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则ab_.解析：cos 4化为直角坐标方程为x4化为普通方程为y2x3联立得a(4,8)，b(4，8)，故ab16.答案：163(广东高考)已知曲线c的参数方程为(t为参数)，c在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_解析：曲线c是圆x2y22，点(1,1)处的切线l为xy2，其极坐标方程为cos sin 2，化简得sin.答案：sin4(湖南高考)在极坐标系中，曲线c1：(cos sin )1与曲线c2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.解析：曲线c1的直角坐标方程为xy1，曲线c2的直角坐标方程为x2y2a2，c1与x轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线c2上，代入解得a.答案：5(湖北高考)在直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程为(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆o的极坐标方程分别为sinm(m为非零数)与b.若直线l经过椭圆c的焦点，且与圆 o相切，则椭圆c的离心率为_解析：椭圆的方程1，设焦点坐标为(c,0)由sinm，可得sin cos m，即直线l的普通方程为xym0，经过焦点(c,0)，mc，圆o的方程为x2y2b2，直线与圆相切，b，m22b2，c22a22c2，e.答案：6(上海高考)如图，在极坐标系中，过点m(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_.解析：在直线l上任取点p(，)，在opm中，由正弦定理得，即，化简得，故f().答案：7(辽宁高考)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.(1)写出c的参数方程；(2)设直线l：2xy20与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为c上点(x，y)，依题意，得由xy1得x221，即曲线c的方程为x21.故c的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设p1(1,0)，p2(0,2)，则线段p1p2的中点坐标为，所求直线斜率为 ，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.5(湖北高考)在直角坐标系xoy中，椭圆c的参数方程为(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆o的极坐标方程分别为sinm(m为非零数)与b.若直线l经过椭圆c的焦点，且与圆 o相切，则椭圆c的离心率为_解析：椭圆的方程1，设焦点坐标为(c,0)由sinm，可得sin cos m，即直线l的普通方程为xym0，经过焦点(c,0)，mc，圆o的方程为x2y2b2，直线与圆相切，b，m22b2，c22a22c2，e.答案：8(福建高考)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点a的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点a在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆c的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆c的位置关系解：(1)由点a在直线cosa上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆c的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆心为(1,0)，半径r1，以为圆心到直线的距离d(etet)2.方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆(2)( )，平方后相减得4，即1.方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线.直线参数方程的应用过定点(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)，其中|t|表示直线上任意一点到定点的距离，其应用十分广泛，解决问题要注意判断直线的参数式是否符合标准形式，否则t无几何意义例5(湖南高考改编)在直角坐标系xoy中，已知曲线c1：(t为参数)与曲线c2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，求a的值解曲线c1的普通方程为2xy3，曲线c2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a.例6(江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线c的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线c的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1，得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线c的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.参数方程与极坐标方程的综合应用会利用参数方程与极坐标方程分别与普通方程、直角坐标方程的互化，研究直线与圆的位置关系，这是综合应用考查的重点解决此类问题时要注意数形结合思想的运用例7(辽宁高考)在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆c1，直线c2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求c1与c2交点的极坐标；(2)设p为c1的圆心，q为c1与c2交点连线的中点，已知直线pq的参数方程为(tr为参数)求a，b的值解(1)圆c1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线c2的直角坐标方程为xy40.解得所以c1与c2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，p点与q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线pq的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1.所以解得a1，b2.例8(新课标全国卷)已知曲线c1的参数方程是(为参数)，以坐