人教A版选修22 第二章推理与证明 教案1.doc

教学设计第二章推理与证明复习课教学目标1知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识2过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力3情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明1本章的知识结构图：2本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：归纳推理的概念：根据一类事物的_对象具有某种性质，推出该类事物的_对象都具有这种性质的推理，或有_事实概括出_的推理，称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由_到_，由_到_的推理类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有_和其中一类对象的某些_，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由_到_的推理合情推理的定义：根据已有的事实，经过_、_、_、_，再进行_、_，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理演绎推理的定义：从_出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由_到_的推理“三段论”是演绎推理的一般模式；包括()大前提_；()小前提_；()结论_.(2)直接证明与间接证明：综合法定义：一般地，利用_等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法分析法定义：一般地，从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法反证法定义：假设_不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这样的证明方法叫做反证法数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题p(n)，可按下列步骤进行：()(归纳奠基)证明当_时命题成立；()(归纳递推)假设_命题成立，证明当_也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法提出问题：1.请同学们独立完成知识填空2在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：部分全部个别一般结论部分整体个别一般某些类似特征已知特征特殊特殊观察分析比较联想归纳类比一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：已知条件和某些数学定义、公理、定理要证明的结论充分条件原命题假设错误原命题正确()n取第一个值n0(n0n*)()nk(kn0，kn*)时当nk1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法 类型一：归纳推理例1观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)解：设f(n)为n个点可连的弦的条数，则f(2)1，f(3)3，f(4)6，猜想：f(n).点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题巩固练习1下列推理是归纳推理的是()aa、b为定点，若动点p满足papb2aab，则点p的轨迹是椭圆b由a11，an13an1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的通项an和sn的表达式c由圆x2y21的面积sr2，猜想出椭圆的面积sabd科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？()a白色 b黑色c白色可能性大 d黑色可能性大答案：1.b2.a类型二：类比推理例2在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nn*)成立类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想解：在等差数列an中，若a100，则a1a19a2a18ana20n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1a1a2a19n.相似地，在等比数列bn中，若b91，则有等式b1b2bnb1b2b17n(n17，nn*)成立点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列an满足的一般结论，而得到等比数列bn所满足的一般结论巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件充要条件_.充要条件_.答案：底面是平行四边形两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱ab，bc的中点证明：平面mnb1平面bdd1b1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面mnb1与平面bdd1b1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键证明：在正方体abcda1b1c1d1中，bb1平面abcd，mn平面abcd，bb1mn.mnac，acbd，mnbd.又bdbb1b，mn平面bdd1b1.mn平面mnb1，平面mnb1平面bdd1b1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论巩固练习如果函数f(x1)是偶函数，那么函数yf(2x)的图象的一条对称轴是直线()ax1 bx1 cx dx答案：d类型四：直接证明例4已知a，b，c为正实数，abc1.求证：a2b2c2.思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法证明：(法一)：a2b2c2(3a23b23c21)3a23b23c2(abc)2(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)(ab)2(bc)2(ac)20，a2b2c2.(法二)：(abc)2a2b2c22ab2ac2bca2b2c2a2b2b2c2c2a2，3(a2b2c2)(abc)21.a2b2c2.(法三)：设a，b，c.abc1，0.a2b2c2()2()2()2()222222.a2b2c2.点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键巩固练习已知数列an的前n项和snan()n12(n为正整数)，令bn2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式解：(1)由snan()n12得a1a11a1，并且an1sn1snan1()n2an()n12anan1()n，得到an1an.于是bn12n1an12nan1bn1.数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列bnb1(n1)d，bnn.又bn2nan，an.类型五：间接证明例5已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法解：假设三式同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.又(1a)a()2，同理，(1b)b，(1c)c.所以(1a)a(1b)b(1c)c，与式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题，也常用反证法巩固练习已知：ac2(bd)求证：方程x2axb0与方程x2cxd0中至少有一个方程有实数根证明：假设两方程都没有实数根，则1a24b0与2c24d0，有a2c22ac，即ac0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)，证明对任意的nn*，不等式成立解：(1)因为对任意的nn*，点(n，sn)均在函数ybxr的图象上，所以得snbnr.当n1时，a1s1br；当n2时，ansnsn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1.又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)证明：当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立当n1时，左边，右边，因为，所以不等式成立假设当nk时不等式成立，即成立则当nk1时，左边.所以当nk1时，不等式也成立由、可得不等式对任意的nn*都成立巩固练习1用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设nk(k2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()ank1时等式成立 bnk2时等式成立cn2k2时等式成立 dn2(k2)时等式成立2设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()a若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立c若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)1)(1)证明函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)0没有负数根思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f(x)0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可证明：(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x10，ax2x11，且ax10，所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)设存在x00(x01)，满足f(x0)0，则ax0，又0ax01，所以01，即x02与x0abbcca.证明过程如下：a，b，cr，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又a，b，c不全相等，以上三式至少有一个“”不成立，将以上三式相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，a2b2c2abbcca.此证法是()a分析法 b综合法 c分析法与综合法并用 d反证法3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是()a(k1)22k2 b(k1)2k2c(k1)2 d.(k1)2(k1)21答案：1.b2.b3.b1知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法2方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题3思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯本章复习参考题a组第5题、第7题基础练习1如果数列an是等差数列，则()aa1a8a4a5 da1a8a4a52设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，则f2 007(x)等于()asinx bsinx ccosx dcosx3设a，b，c大于0，则3个数：a，b，c的值()a都大于2 b至少有一个不大于2c都小于2 d至少有一个不小于24已知f(x1)，f(1)1(xn*)，猜想f(x)的表达式为()af(x) bf(x)cf(x) df(x)答案：1.b2.d3.d4.b拓展练习5已知数列an满足snan2n1，(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论解：(1)a1，a2，a3，猜测an2.(2)由(1)已得当n1时，命题成立；假设nk时，命题成立，即ak2，当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak，2k1ak2ak12(k1)12k3.2ak122，ak12，即当nk1时，命题成立根据得nn*，an2成立设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理例1：若a、b、c均为实数，且ax22x，by22y，cz22z，求证：a、b、c中至少有一个大于0.思路分析：直接证明较难入手，运用反证法进行证明证明：设a、b、c都不大于0，a0，b0，c0，abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.点评：反证法是一种间接证明命题的基本方法在证明一个数学命题时，如果运用直接证明比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明反证法的基本思想是：通过证明命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题例2：数列an的前n项和记为sn，已知a11，an1sn(n