北师大版必修一 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件（21张）.pptx

6指数函数 幂函数 对数函数增长的比较 1 巩固幂函数 指数函数 对数函数的图像和性质 2 通过比较幂函数 指数函数 对数函数的增长快慢 了解这三种函数增速的差别 3 体会数形结合思想在研究函数中的应用 三种增长函数模型的比较在区间 0 上 尽管y ax a 1 y xn x 0 n 1 和y logax a 1 都是增函数 但它们增长的速度不同 而且不在一个 档次 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度会越来越快 会超过并远远大于y xn x 0 n 1 和y logax a 1 的增长速度 由于指数函数值增长非常快 人们常称这种现象为 指数爆炸 做一做1 当x x 0 增大时 下列函数中 增长速度最快的是 a y 2xb y x10c y lgxd y 10 x2答案 a 做一做2 当x 0 n 1时 幂函数y xn是函数 并且当x 1时 n越大其函数值的增长就 答案 增越快 题型一 题型二 题型三 题型一指数函数 对数函数 幂函数的图像 例1 函数f x 2x和g x x3的图像如图 设两函数的图像交于点a x1 y1 b x2 y2 且x1 x2 1 请指出图中曲线c1 c2分别对应的函数 2 结合函数图像 判断f 8 g 8 f 2016 g 2016 的大小 分析 1 根据函数图像特征判断 2 根据函数值和单调性比较 题型一 题型二 题型三 解 1 曲线c1对应的函数为g x x3 曲线c2对应的函数为f x 2x 2 因为g 1 1 f 1 2 g 2 8 f 2 4 f 9 512 g 9 729 f 10 1024 g 10 1000 所以f 1 g 1 f 2 g 10 因此1x2时 f x g x 且g x 在 0 上是增加的 故f 2016 g 2016 g 8 f 8 反思根据函数图像写解析式 可利用列表 描点 连线的程序完成 也可以通过图像变换画出图像 若点在同一函数图像上 则根据单调性来判断 若点分别在两个函数图像上 则根据图像的上下位置关系判断 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知f1 x ax f2 x xa f3 x logax a 0且a 1 在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像 正确的是 解析 由于f1 x ax 所以f1 0 1 由于f3 x logax 故f3 1 0 由于f2 x xa 所以f2 1 1 且f2 0 0 从而a c d均不正确 b正确 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型二比较函数增长的差异 例2 分析指数函数y 2x与对数函数y log2x在区间 1 上的增长情况 解 指数函数y 2x 当x由x1 1增加到x2 3时 x2 x1 2 y2 y1 23 21 6 对数函数y log2x 当x由x1 1增加到x2 3时 x2 x1 2 而y2 y1 log23 log21 1 585 由此可知 在区间 1 上 指数函数y 2x随着x的增长函数值的增长速度快 而对数函数y log2x的增长速度缓慢 题型一 题型二 题型三 反思在同一平面直角坐标系内作出函数y 2x和y log2x的图像 从图像上可观察出函数的增减变化情况 如图 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知a b c d四个物体沿同一方向同时开始运动 假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1 x x2 f3 x log2x f4 x 2x 如果运动时间足够长 那么运动在最前面的物体一定是 a ab bc cd d解析 根据四种函数的变化特点 指数函数是变化最快的函数 当运动时间足够长时 最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的物体 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型三函数的增长差异在实际中的应用 例3 某公司为了实现1000万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案 在销售利润达到10万元时 按销售利润进行奖励 且奖金y 单位 万元 随销售利润x 单位 万元 的增加而增加 但奖金总数不超过5万元 同时奖金不超过利润的25 现有三个奖励模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型符合该公司要求 解 借助计算器或计算机作出函数y 5 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x在第一象限的图像 如图 题型一 题型二 题型三 观察图像发现 在区间 10 1000 上 模型y 0 25x y 1 002x的图像都有一部分在y 5的上方 这说明只有按模型y log7x 1进行奖励才符合公司要求 下面通过计算确认上述判断 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元 对于模型y 0 25x 它在区间 10 1000 上是增加的 当x 20 1000 时 y 5 因此该模型不符合要求 对于模型y 1 002x 利用计算器 可知1 002806 5 005 由于y 1 002x在 上是增函数 故当x 806 1000 时 y 5 因此 也不符合题意 对于模型y log7x 1 它在区间 10 1000 上是增加的 且当x 1000时 y log71000 1 4 55 5 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 题型一 题型二 题型三 再计算按模型y log7x 1奖励时 奖金是否超过利润x的25 即当x 10 1000 时 利用计算器或计算机作出f x log7x 1 0 25x的图像 图略 由图像可知f x 在 10 1000 上是减少的 因此f x f 10 0 3167 0 即log7x 1 0 25x 所以当x 10 1000 时 y 0 25x 这说明 按模型y log7x 1进行奖励 奖金不超过利润的25 综上所述 模型y log7x 1符合公司要求 反思从这个例题可以看到 底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多 而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快 从而我们可以体会到对数增长 直线上升 指数爆炸等不同函数类型增长的含义 题型一 题型二 题型三 变式训练3 某服装厂某年1月份 2月份 3月份分别生产某名牌衣服1万件 1 2万件 1 3万件 为了估测当年每个月的产量 以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模型模拟该产品的月产量y与月份x的关系 模拟函数可选用y p qx r 其中p q r为常数 或二次函数 又已知当年4月份该产品的产量为1 36万件 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由 解 若模拟函数为y ax2 bx c 题型一 题型二 题型三 则有y 0 05x2 0 35x 0 7 因此 当x 4时 y 1 3 若模拟函数为y p qx r 则有y 0 8 0 5x 1 4 因此 当x 4时 y 1 35 因为1 35比1 3更接近1 36 所以应将y 0 8 0 5x 1 4作为模拟函数 1 2 3 4 5 6 1当a 1时 有下列结论 指数函数y ax 当a越大时 其函数值的增长越快 指数函数y ax 当a越小时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越大时 其函数值的增长越快 对数函数y logax 当a越小时 其函数值的增长越快 其中正确的结论是 a b c d 答案 b 1 2 3 4 5 6 2下列所给函数 增长速度最快的是 a y 5xb y x5c y log5xd y 5x答案 d 1 2 3 4 5 6 3当2x2 log2xb x2 2x log2xc 2x log2x x2d x2 log2x 2x解析 方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2x y x2 y 2x 在区间 2 4 上从上往下依次是y x2 y 2x y log2x的图像 所以当22x log2x 方法二 比较三个函数值的大小 作为选择题 可以采用特殊值代入法 可取x 3 经检验知选b 答案 b 1 2 3 4 5 6 4现有一组实验数据如下 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律 其中最接近的是 答案 c 1 2 3 4 5 6 5为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 单位 mg 与时间t 单位 h 成正比 药物释放完毕后 y与t的函数关系为 a为常数 其图像如图 根据图中提供的信息 回答问题 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 单位 mg 与时间t 单位 h 之间的关系式为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降到0 25mg以下时 学生才可进入教室 那么从药物释放开始至少经过后 学生才能回到教室 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6汽车在行驶中 由于惯性作用 刹车制动后 还要继续向前