数值分析第二章课件.pdf

1 2 1 机械求积机械求积 2 2 Newton Cotes公式公式 2 3 Romberg算法算法 2 4 Gauss求积法求积法 2 5 数值微分数值微分 第二章数值积分 2 本章要点 公式 近似值的几个基本求积计算定积分 从而导出代替被积函数本章将用插值多项式 b a dxxf xfxP 1 等距节点下的 Newton Cotes公式和Romberg公式 2 数值微分公式 3 本章应用题 为了计算瑞士国土的面积 首先对地图作了如下测量 以西 向东方向为x轴 由南向北方向为y轴 选择方便的原点 并将 从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干 段 在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标 数据如表 单位mm x 7 0 10 5 13 0 17 5 34 0 40 5 44 5 48 0 56 0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61 0 68 5 76 5 80 5 91 0 96 0 101 0 104 0 106 5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111 5 118 0 123 5 136 5 142 0 146 0 150 0 157 0 158 0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 4 020406080100120140160 20 40 60 80 100 120 140 瑞士地图的外形如图 比例尺18mm 40km 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积 并与其精确值 41288平方公里比较 5 2 1 机械求积机械求积 b a dxxffI 对于积分 公式有则由的原函数如果知道LeibnizNewtonxFxf b a dxxf aFbFxF b a 但是在工程技术和科学研究中 常会见到以下现象 的一些数值只给出了的解析式根本不存在 1 xfxf 不是初等函数如求不出来的原函数 2 xFxFxf 求原函数较困难的表达式结构复杂 3 xf 6 一 数值积分的基本思想 根据积分中值定理 若 则在内 存在一点 使下式成立 baCxf ba b a fabdxxf 从上式可以看出 以为底 以为高的 矩形面积恰好等于所求的曲边梯形的面积 称为区间上的平均高度 显然 只要提供计算的一种数值方法 就会 获得一种相应的数值求积方法 fI ab f f ba f 7 由此可得 左矩形公式 b a afabdxxf 右矩形公式 b a bfabdxxf b a ba fabdxxf 2 中矩形公式 Simpson公式 b a bf ba faf ab dxxf 2 4 6 一般地 在内取若干节点 通过加权平均求得 平均高度的近似值 从而有 ba f 0 x f A dxxf k b a n k k 称为求积节点 称为求积系数 权 xkAk 机械求积公式机械求积公式 8 最常用的一种方法是利用插值多项式来 构造数值求积公式 具体步骤如下 上取一组节点在积分区间 ba bxxxa n 10 次插值多项式的作nxf n k kkn xlxfxL 0 为插值基函数 1 0 nkxlk 不同的 插值方法 有不同的 基函数 二 插值型求积公式 9 有的近似作为被积函数用 xfxLn b a dxxf b a n dxxL b a n k kk dxxlxf 0 n k b a kk dxxlxf 0 则 若记 b a kk dxxlA b a dxxffI n k kk xfA 0 这就是插值型求积公式 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义 就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立 fI n 10 定义1 若求积公式 b a dxxf n k kk xfA 0 即都准确成立次的代数多项式对任意次数不超过 mixPm i 即只要立次多项式却不能准确成但对 1 m b a i dxxP n k kik xPA 0 mi 1 0 b a m dxx 1 n k m kk xA 0 1 则称该求积公式具有m次的代数精度 代数精度也称 代数精确度 三 代数精度的概念 11 例1 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高 2 2 0 0 0 2 Ihffahhff h dxxfI h h dxxI 0 0 解 2 2 2 h I 20 2 2 3 2 hah h I 0 xxf 对于 hI 2 h h dxxI 0 11 xxf 对于 2 2 h h dxxI 0 2 2 xxf 对于 3 3 h 3 2 2 1 ha 2 II 令 12 1 a 12 30 2 22 4 2 hah h I h dxxI 0 3 3 xxf 对于 4 4 h 4 4 h 40 2 32 5 2 hah h I h dxxI 0 4 4 xxf 对于 5 5 h 6 5 h 3 2 1 0 2 jxIxI jj 4 2 4 xIxI 因此 所以该积分公式具有3次代数精确度 13 一 Newton Cotes公式 Newton Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 baCxf 设函数 为插值多项式及余项分别的Lagrangexf 等份分割为将积分区间nba nkkhaxk 1 0 为步长其中 n ab h 各节点为 2 2 Newton Cotes公式 14 n k kkn xlxfxL 0 1 1 1 x n f xR n n n ba n i in xxx 0 1 其中 kj njjk j k xx xx xl 0 而 xRxLxf nn 因此对于定积分 b a dxxffI b a nn dxxRxL 有 b a dxxffI 15 b a n k kk dxxlxf 0 b a n dxxR n k kk xfA 0 b a n dxxR 令 n k kkn xfAfI 0 b a nn dxxRIR b a dxxfI nn IRfIfI 即有 b a kk dxxlA 其中dx xx xxb a kj njjk j 0 n阶Newton Cotes求积公式 Newton Cotes公式的余项 误差 fIfI n 16 b a kk dxxlA dx xx xxb a kj njjk j 0 的计算 k A注意是等距节点 thax 假设 bax 由 0 nt 可知 k A dx xx xxb a kj njjk j 0 dth hjk hjt n kj nj 0 0 dtjt knk h n kj nj kn 0 0 1 17 dtjt knkn ab n kj nj kn 0 0 1 n kk CabA n k kkn xfAfI 0 n k k n k xfCab 0 所以Newton Cotes公式化为 系数称为CotesC n k 思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton Cotes 公式至少具有n次代数精度 并且n为偶数时至 少具有n 1次代数精度 试以n 1 2 4为例说明 该结果 18 二 低阶Newton Cotes公式及其余项 在Newton Cotes公式中 n 1 2 4时的公式是最常用也 最重要三个公式 称为低阶公式 1 梯形公式及其余项 abhbxaxn 1 10 则取 dtt 1 0 1 1 0 C Cotes系数为 2 1 dtt 1 0 1 1 C 2 1 求积公式为 19 1 fI 1 0 1 k kk xfCab 2 10 xfxf ab 2 bfaf ab 1 fI即 上式称为梯形求积公式 也称两点公式 记为 0 500 511 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 2 bfaf ab 1 fIT 梯形公式的余项为 1 IRTR b a dxxR 1 20 dxbxax f TR b a 2 dxbxax f b a 2 ba 第二积分 中值定理 6 2 3 abf 1 1 1 x n f xR n n n 12 3 f ab 2 3 12 M ab TR max 2 xfM bax 梯形公式具有1次代数精度 故 21 2 Simpson公式及其余项 2 2 2 210 ab hbx ab xaxn 则取 Cotes系数为 dtttC 2 0 2 0 2 1 4 1 6 1 dtttC 2 0 2 1 2 2 1 6 4 dtttC 2 0 2 2 1 4 1 6 1 求积公式为 2 I 2 0 2 k kk xfCab 22 6 1 6 4 6 1 210 xfxfxfab 2 4 6 bf ba faf ab 2 fI 0 500 511 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 上式称为Simpson求积公式 也称三点公式或抛物线公式 记为 2 fIS Simpson公式的余项为 SIIRSR 2 b a dxxR 2 Simpson公式具有3次代数精度 23 dxbx ba xax f SR b a 2 3 2 ba c c c f H cfcH bfbHafaH 故不能用中值定理 上不保号 在区间由于积分核 2 babx ba xax 由于由于 simpson公式具有公式具有3次代数精度次代数精度 所以对于满足条件所以对于满足条件 的三次查值多项式的三次查值多项式H x 能准确成立能准确成立 故有故有 4 6 bHcHaH ab dxxH b a 24 b a SsimpsondxxH 公式求得的积分值实际上等于按 值利用插值条件知 积分 4 6 4 6 bfcfaf ab bHcHaH ab dxxH b a b a xHxfSISR 即即 从而有从而有 再利用再利用Hermite插值的余项公式可得插值的余项公式可得 dxbxcxax f SR b a 4 2 4 25 可得 上保号 利用中值定理在取间 由于这里积分核 2 ba bxcxax a b f abb a dxbxcxax f SR b a 2 180 4 4 4 2 4 26 3 Cotes公式及其余项 4 4 1 0 4 ab hkkhaxn k 则取 Cotes系数为dtttttC 4 3 2 1 44 1 4 0 4 0 90 7 dtttttC 4 3 2 34 1 4 0 4 1 90 32 dtttttC 4 3 1 2 24 1 4 0 4 2 90 12 dtttttC 4 2 1 34 1 4 0 4 3 90 32 dtttttC 3 2 1 44 1 4 0 4 4 90 7 27 求积公式为 4 fI 4 0 4 k kk xfCab 90 7 90 32 90 12 90 32 90 7 43210 xfxfxfxfxfab 7 32 12 32 7 90 43210 xfxfxfxfxf ab 上式称为Cotes求积公式 也称五点公式记为 4 fIC Cotes公式的余项为 4 IRCR b a dxxR 4 4 945 2 6 6 f abab Cotes公式具有5次代数精度 28 三 Newton Cotes公式的稳定性 舍入误差 dtjt knkn C n kj nj kn n k 0 0 1 考察Cotes系数 无关与函数的划分有关的节点只与积分区间 xfxba j 因此用Newton Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 的计算引起函数值 k xf 其值可以精确给定 29 响的舍入误差对公式的影只需讨论 k xf 计算值的近似值作为而以为精确值假设 kkk xfxfxf 为误差 kkk xfxf n I n k k n k xfCab 0 记 计算值的近似值为 n I 而理论值为 n I n k k n k xfCab 0 的误差为与 nn II nn II n k kk n k xfxfCab 0 30 nn II n k k n k Cab 0 n k k n k Cab 0 nn II n k n k Cab 0 max k 有若 0 n k Cnk nn II n k n k Cab 0 n k n k Cab 0 1 n k k n k xgCab 0 1 xg b a dxxg b a dx ab 1 0 n k n k C性