苏教版 选修22 1.3.2 极大值与极小值 作业.docx

1.3.2极大值与极小值一、单选题1当函数yx2x取极小值时，x()a1ln2 b1ln2cln 2 dln 2【答案】b【解析】【分析】对函数求导，由y=2x+x2xln2=（1+xln2）2x=0，即可得出结论【详解】y=2x+x2xln2=（1+xln2）2x=0，即1+xln2=0，x=1ln2函数在-，1ln2上单调递减，在1ln2，+上单调递增，函数的极小值点为1ln2故选：b【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题2若函数f(x)x3ax22x在0，2上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为()a(6，0) b(6，6) c-72,0 d-72,-6【答案】b【解析】【分析】函数f(x)x3ax22x在0，2上既有极大值也有极小值，f(x)0在(0，2)上有两个不同的实数根, f0=20f(2)=14+4a00-a32f(-a3)0f(2)=14+4a00-a32f(-a3)0解得72a6.实数a的取值范围是72a6.故答案为：b.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。3函数y=ln2xx的极小值为（）a4e2 b0 c2e d1【答案】b【解析】【分析】先求导函数，确定函数的单调性，进而可求函数的极小值【详解】设f（x）=ln2xx，则f(x)=2lnx-ln2xx2令f（x）=0，2lnxln2x=0lnx=0或lnx=2x=1或x=e2当f（x）0时，解得0x1或xe2，当f（x）0时，解得1xe2，x=1时，函数取得极小值f（1）=0故选：b【点睛】本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，解题的关键是确定函数的极值点4函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f(x0)=0,q:x=x0是f(x)的极值点，则（ ）ap是q的充分必要条件 bp是q的充分不必要条件cp是q的必要不充分条件 dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】c【解析】【分析】根据函数极值的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】函数fx=x3是单调递增函数，fx=3x2，x0=0满足fx0=0，但x0=0不是fx的极值点，即充分性不成立，由极值点的定义知若x=x0是fx的极值点，则必须有fx0=0，即必要性成立，则p是q必要不充分条件，故选c.【点睛】本题通过极值的定义主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试pq,qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：-2是函数的极值点；1是函数的极值点；的图象在处切线的斜率小于零；函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是（ ）a b c d【答案】d【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选d点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号6已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是a bc d【答案】b【解析】，当时， ， 无极值；当时，易得在处取得极大值，则有，即，于是， .当时， ， 在上不存在极小值.当时，易知在处取得极小值，依题意有，解得.故选b.点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解.二、填空题7已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是_【答案】【解析】，令函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根， ，当时， ，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，当时，令，解得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减， 当时，函数取得极大值，当近于与近于时， ，要使在区间有两个实数根，则，解得实数的取值范围是，故答案为.8已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_.【答案】【解析】由题意知f (x)3x22axb，f (1)0，f (1)10，即解得或经检验满足题意，故.填。【点睛】用f (1)0是用必要条件做题，所以需要检验。即在区间d上的可导函数f(x), 是函数f(x)在取极值的必要条件。9已知函数f(x)= x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是_.【答案】a1【解析】，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实数根，所以，解得或.10已知函数f(x)4ln xax26xb(a，b为常数)，且x2为f (x)的一个极值点，则a的值为_.【答案】1【解析】由题意知，函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)2ax6，f (2)24a60，即a1，经验证符合题意.填1。三、解答题11已知函数f(x)ax1ln x(ar)(1)若曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为3xyb0，求a，b；(2)求函数f(x)的极值【答案】(1) a2, b2. (2) 当a0时， f(x)无极值当a0时，f(x)极大f(-1a)2ln(a)【解析】【分析】由题意已知切线方程，求导后，由导数几何意义算出结果(2)求导后分类讨论a0和a0两种情况，然后求出极值【详解】解：f(x)ax1ln x(x0)，f(x)a1x.(1)f(1)a13，a2，f(1)1，把(1,1)代入3xyb0得b2.(2)当a0时，x0，f(x)a1x0，f(x)无极值当a0时，令f(x)a1xax+1x0，x1a，在x0,-1a上，f(x)0，f(x)递增，在x-1a,+上，f(x)0，f(x)递减x1a时，f(x)极大f(-1a)2ln(a)【点睛】本题考查了导数的几何意义及极值问题，只要求导后计算即可求出结果，较为基础。12已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【答案】（1）6（2）c6【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数的图象关于直线x=2对称，可知-2b6=2，从而可求b的值；（2）函数f(x)无极值，即导函数为0的方程至多有一解，从而可求c的取值范围.【详解】解:(1)f(x)=3x2-2bx+2c,f(x)的图像关于直线x=2对称,=2,解得b=6.(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-120,即c6时,f(x)0,此时函数f(x)无极值.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的极值问题，注意没有极值的等价条件，从而求得结果.13已知函数f(x)ex2(x23)(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数yf(x)的极值【答案】（1）切线方程为3e2xy3e20；（2）极大值为f(3)6e，极小值为f(1)2e3.【解析】【分析】（1）由函数fx，求得fx，得到f0的值，得到直线的斜率，进而求解切线的方程；（2）令fx=0，求得x=1和x=-3，列出表格，即可得到函数的极值【详解】解：(1)函数f(x)ex2(x23)，则f(x)ex2(x22x3)ex2(x3)(x1)，故f(0)3e2，又f(0)3e2，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y3e23e2(x0)，即3e2xy3e20.(2)令f(x)0，可得x1或x3，如下表：x(，3)3(3，1)1(1