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【精品】振动学总结 机械振动学总结论文第一章机械振动学基础第一节引言我们用一下方法研究机械振动1激励物理模型。 2建立数学模型。 3方程求解。 4结果阐述。 第二节机械振动的运动学概念什么是机械振动？答机械振动是种特殊形式的运动。 在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。 从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t变化的规律。 用函数关系式)(xtx=来描述其运动。 如果运动的函数值，对于相差常数T的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数()x t()1,2,3.x tnTn=+=来表示，则这一个运动时周期运动。 其中T的最小值叫做振动的周期，Tf1=定义为振动的频率。 简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。 一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为2cos(=T式中A为振幅，T为周期，?和称为初相角。 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即)2Tsin()+?=tAtAx)sin()cos(2+A+t?=x?atAx?v可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。 因此在物体运动前加速度是最早出现的量。 从xx2?=?可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。 这是简谐振动的重要特征。 在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。 旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率若用复数来表示，则有()cos()sin()j wtzAeAwtjAwt?+?+?+=+可以将上式改写成tjtjjeAeAez=它包含振动的振幅和相角俩个信息，在振动分析时，由于它会给计算带来许多方便而常常得到应用。 二周期振动任何周期函数满足以下条件 （1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。 则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有=n+=10)sincos (2)(nntnbtnaatx=n+=10)sin (2)(nNtnAatx式中2n2nnbaA+=nnnba=tan三简谐振动的合成（一）同方向振动的合成1俩个同频率的简谐振动)sin(222+t=Ax，)sin(2222+=tAx它们的合成运动也是该频率的简谐振动)sin(+t=Ax2俩个不同频率振动的合成tAx111sin=tAx222sin=若21，则合成运动为tAtAxxxx221121sinsin+=+=若21，对于AAA=21,则有ttAxtAtAxxxx)2sin()2cos(2sinsin2121221121+?=+=+=上式可表示为ttA2sinsin2（二）俩垂直方向振动的合成1同频率振动的合成如果沿x方向的运动为tAxsin=沿y方向的运动为)sin(?+t=By则合成运动将位于边长为2A和2B的矩形中，合成运动的轨迹可用椭圆方程0sincos222222=?+?ABxyByAx2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动)sin(sin21+=tBytAx它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。 第三节构成机械振动系统的基本元素构成系统的的基本元素有1惯性2恢复性3阻尼第四节自由度与广义坐标1什么是自由度？答物体运动时候，收到各种条件的约束，这些称为约束条件，物体在这些约束条件下运动，用于确定其独立位置所需要的独立坐标系。 这样的坐标系称之为自由度。 2什么是广义坐标系？答单系统受到约束，其自由度数为系统无约束的时候的自由度数与约束条件之差，rkzyxzyxfnnnk,2,1=0),(111?=为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标Njzyxzyxqqnnnjj,2,1=),(111?=来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。 第二章单自由度系统第一节概述1什么是线性系统？从物理的角度，一个系统受到一个外接输入)(1tF的时候，可以测得其相应)(2tx，受到一个外接输入)(2tF的时候，可以测得其相应)(2tx，如果可以叠加)1 (2)()1(1x)(21xtFtF那么就是线性系统。 第二节无阻尼振动机械振动重视要受到阻尼的，有些情况下，阻尼很小，对系统运动的影响甚微，略去阻尼，使c=0，系统就成为一个无阻尼单自由度系统，当F0，即未受到外作用时，系统就成为一个自由振动系统。 质量为m的质量块和弹簧常数为k的弹簧是组成振动系统最基本的元件，是不可缺少的，为单自由度无阻尼系统自由振动的理论模型。 为了对系统进行研究，就要建立坐标。 为方便起见，我们取系统静平衡位置作为空间坐标的原点，以x表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，假定向下为正。 在某一时刻t，系统的位移为x(t)。 由牛顿定律得+kxxm?0=这就是单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。 如果令mkwn/2=，系统的运动方程可表示为02n=+xwx?函数x(t)必须具有这样的性质在微分过程中不改变其形式。 我们知道，指数函数满足这一要求。 因而假定方程的解为tBetx=)(的形式是合理的。 式中B和是待定常数，代入方程中0)(2nBe=+tw方程决定于02n2=+w方程叫做系统的特征方程或频率方程，它有一对共轭虚根nj=1，nj?=2，叫做系统的特征值或固有值，方程的俩个独立的特接分别为tjneBtx11)(=tjneBtx?=22)(式中1B和2B是任意常数。 方程的通解为tDtDtxtBBjtBBtxeBeBtxnnnntjtjnnsincos)(sin)(cos)()()(21212121+=?+=+=?方程的通解从物理意义上说，表达了系统可能发生的一切自由振动，它是频率为n的简谐振动。 对于自由振动这种物理现象，1D和2D只能由t=0时施加系统的初始条件0)0(xx=0)0(x?x?=来确定。 根据初始条件可以确定nx?DxD0201,=对于确定的初始条件，系统发生某种确定的运动为tx?txtxnnnsincos)(00+=它是由俩个相同频率的简谐运动所组成。 再将这俩个相同频率的简谐运动合成为)sin()(+n=tAtx式中002020tan,)(x?xx?xAnn=+=A为振幅，为初相角。 线性系统自由振动振幅的大小只决定于施加给系统的初始条件和系统本身的固有频率，而与其他因素无关。 线性系统自由振动的频率mkn/=只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率或无阻尼固有频率。 第三节能量法一个无阻尼的系统，做自由运动没有能量损失，这系统的能量保持守恒。 在振动的每一个时刻机械能保持不变则有T+U=E T:动能U势能系统能量是动能和势能彼此进行交换，当动能最大的时候，势能最小，当势能最大的时候，动能最小。 第四节有阻尼的自由振动在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小，这种自由振动叫做有阻尼自由振动。 一粘性阻尼什么是粘性阻尼？粘性阻尼中有一个粘性阻尼器。 粘性阻尼器的阻尼力与速度成正比，方向与速度相反。 这样的阻尼就是粘性阻尼。 二粘性阻尼自由振动具有粘性阻尼的单自由度系统的理论模型，粘性阻尼力与相对速度成正比，应用牛顿定律，可列出系统的运动方程+xm?0=+kxx c?其中无阻尼固有频率和阻尼比分别是kmcmkn2,=动力学方程02?2n=+xxx?n系统的特征方程或频率方程02=+kcm方程的特征值的表达式可写成n?)1?1(22,1=当1，这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为俩个实数，即n?)1?(22,1=三结构阻尼弹性材料，特别是是金属材料的一些结构阻尼的性质，其原因是由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼，其特征是应力和应变曲线存在滞回曲线，加载和卸载沿不同曲线。 内摩擦所消耗的能量等于滞回环所围面积2cAE=?其中k是等效弹簧常数A是振幅。 等效粘性阻尼系数是hkce=其中是无量纲的结构阻尼常数四库伦阻尼当物体在没有润滑的表面上滑动的时候，会产生干摩擦力，干摩擦力的大小正比于接触表面的法向力，方向与运动方向相反。 第五节简谐激励作用下的强迫振动一简谐激励力作用下的强迫振动单自由度系统在简谐激励力作用下的强迫振动的理论模型系统的运动方程为wtFkxx cxmsin=+?式中F为激励力振幅，w为激励频率。 方程是一个非齐次方程，在一般情况下，还受到初始条00)0(x?)0(xxx=，的作用，实部和虚部分别与wtF cos0和wtF sin0相对应受力分析振动微分方程为jwtFekxx c+?xm=+?X为复数变量，分别与wtF cos0和wtF sin0相对应，对于此方程的通解等于齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，即暂态响应和稳态响应假定方程的特解为jwtSeXtx=)(式中X为复振幅，代入方程中，有?jXejwcmwkFX?=+?=2式中X为振幅，是复振幅X的模，继而得到方程的相角?，是复振幅X的幅角，有mwkwcXArg21tan?=?因此，方程的特解为)()(?=wtjSXetx对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为)sin()(+?=twAetxdtwhn因此，对于弱阻尼系统，方程的通解为hSxxtx+=)(定义强迫振动的振幅X与Xo的比为放大因子，用M表示，则有2220)2(+)1(1rrXXM?=式中Xo=F/k,r=w/所以一当r0是，M1，而与阻尼无关，这意味着，当激励频率接近于零时，振幅与静nw,Xo叫做等效静位移，r叫做频率比。 位移相近。 二当r时，M0，也与阻尼大小无关，在激励频率很高时，振幅趋于零，质量不能跟上力的快速变化，将停留在平衡位置不动。 三当r=1时，=0，在理论上M,将产生共振现象。 强迫振动和激励力之间有相位差?，方程可改写成212112tantanrrmwkwc?=?=?二旋转不平衡质量引起的强迫振动在许多旋转机械中，转动部分总存在着质量不平衡，先对于以下描述系统列方程一台机器，总质量为M，安装在两个弹簧和一个阻尼器，中的弹簧的参数为k，阻尼系数为c，机器工作的时候，旋转中心为O，角速度为w，不平衡发质量大小为m，片子呢距离为e，可列以下方程wtmewkxx c+?xMsin2=+?系统的放大因子可表示为2222)2(+)1(rrrmeMX?=第六节简谐激励强迫振动理论的应用一隔振用来消除对机器、仪器和设备的工作性能产生有害影响振动的措施叫做隔振，隔振分为俩种，积极隔振和消极隔振。 什么是积极隔振？答积极隔振把震源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的措施叫做积极隔振。 合理设计的隔振装置应选择适当的弹簧常数k和阻尼系数c，使力传递系数fT达到要求的指标。 为此，就需要讨论fT与和r的关系。 什么是消极隔振？答消极隔振为了减少外界震动对设备的影响而采取的隔振措施叫做消极隔振。 为了隔振，最好的方法似乎是用一个无阻尼的弹簧，使频率2r，在实际工作时，机器有个启动的过程，将通过共振区，因而，小量的阻尼是人们期望的。 不过，零阻尼情况只是理想情况，实际上小阻尼总是存在的。 二振动测试仪器（一）位移传感器如果测试的频率w比仪器的固有频率nw要高得多，即频率比r很高，则仪器质量块与机座之间的相对位移接近于机座的位移，但相位差o180，而质量块的绝对位移接近于零，保持稳定，这就提供了一个进行位移测试的基准系统，仪器记录的事被测对象运动的位移。 （二）加速度传感器加速度传感器是一种应用广泛的振动测试仪器，当测试的频率w要比仪器的固有频率nw小得多，则测得相对位移将接近于测试对象运动的加速度成正比，这种仪器就叫做加速度传感器，它是一种固有频率很高的传感器，作为一条规则，加速度传感器的固有频率至少要比测试的最高频率高俩倍（三）速度传感器如果测试的频率w等于仪器的固有频率nw，输出的相对位移将正比于测试对象运动的速度，仪器就是速度传感器。 为了限制相对运动的振幅，仪器的阻尼应当大些。 第七节非简谐激励作用下的系统响应一奏起激励作用下的强迫振动一个有阻尼弹簧_质量系统，受到了周期激励力F(t)的作用，其运动方程为)(tFkxx c+?xm=+?且)()(tFTtF=+式中，T为周期。 对于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响应的计算为=n+=+10)sincos(2nnnwtbnwtaakxx cxm?系统的稳态响应为=n=n+?+?+?+=112222220)2()1()cos()2()1 (2)(nnnrrbnwtrrkaatx?系统的稳态响应也是一个无穷级数。 当方程右边的某个谐波的频率与系统固有频率相等时就会发生共振，对应项的振幅就会很大，因此，周期激励有着比简谐激励发生共振的更大可能性。 二非周期激励作用下的系统响应当系统受到单位脉冲的激励作用下的系统响应为?=?0,00,sin1)(tttwemwthdtwdn第三章两自由度系统第一节无阻尼自由振动一固有模态振动凡需要用俩个独立坐标来描述其运动的系统都是两自由度系统。 建立坐标，坐标1x和2x是俩个独立的坐标，它们完全描述了系统在任何时刻的运动。 根据牛顿定律得?=?+=?+)()()()(212222121111tFxkxkkxmtFxkxkkxm?这是一个常系统、二阶常系统微分方程组，可写成矩阵的形式，系统的运动方程为?=?+?k?+k+?)()(002121212121tFtFxxkkkkxxmm?也可表示为xM+?)(tFxK=常数矩阵M和K分别叫做质量矩阵和刚度矩阵刚度矩阵K中的元素ij k是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力，质量矩阵M,中的元素ijm是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。 ij k和ijm又分别称为质量影响系数和刚度影响系数，根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。 二、广义坐标和坐标耦合建立汽车的某种理想化模型，车身是为一刚性杆，质量为m，质心在其中一点，当系统发生振动时，有两个方向的运动，质心C在一点，车身对质心的转动惯量jc，支撑系统简化为1k和2k的两个弹簧，单她真的时候。 垂直方向的运动)(1tx，车身绕质心转动垂直方向的力平衡方程为0)(1a111=+xkxm?而力矩平衡方程为0)()(11121111=?+bbxkaaxkJc?得?=?+?+?0000121221112111211211xbkakbkakbkakkkx?JmC在矩阵方程中，俩个方程不能单独求解，这种情况叫做坐标耦合。 坐标耦合是与坐标的选取有关，而不是系统的基本性质。 三、主坐标什么是主坐标？答每一个方程是一个独立的微分方程，相当于一个单自由度系统，可以单独求解，这种能使系统运动方程不存在耦合，称为单独方程坐标，叫做主坐标。 第二节无阻尼强迫振动对于两自由度系统，无阻尼强迫振动运动方程的一般形式可表示为?=?+?)()(2121221221112122211211tFtFxxkkkkxxmmmm?把强迫振动方程写成简明的形式xM+?wttFxKsin)(=用jwteF代替wtF sin方程的解为?=?)2 (2) (111)()(wtjwtjjwteXeXewXtx由于现在讨论的事物阻尼系统，1X和2X表达中各元素都是实数，因此，与单自由度系统无阻尼强迫振动相同，对于不同的激励频率，相角1?和2?值分别为0或，这些曲线分别叫做幅频特性曲线和相频特性曲线。 第三节无阻尼吸振器假定由质量为m和弹簧组成的系统，该系统叫做主系统，是一个单自由度系统，在激励力wtFsin的作用下，个系统发生了强迫振动，为了减小其振动强度，不能采用改变主系统参数m和k的方法，而应设计安装一个由质量和弹簧都不同的辅助系统吸振器。 形成的两自由度系统，运动方程为?=?k?+k+?00021222212121Fxxkkkxxmm?解方程，得?+=?+?m=222211221222222112212221)()()()()(kmwkmwkkFkwXkmwkwkkFmwkwX式中，111/mkw=为主系统的固有频率，222/mkw=为吸振器的固有频率，10/kFX=为主系统的等效静位移。 21/mmu=吸振器质量与主系统质量的比。 在任何时刻，吸振器施加于主系统的力精确地与作用于主系统的激励力wtF sin平衡。 虽然，无阻尼吸振器是针对某个给定的工作频率设计的，不过在w近旁的某个小范围内也能满足要求。 这时，主系统质量的运动虽不是零，但振幅很小。 安装吸振器的缺点是使一单自由度系统成为一两自由度系统，有两个共振频率，增加了系统共振的可能性。 第四节有阻尼振动有阻尼振动分别有自由振动、强迫振动组成。 与有阻尼单自由度系统相同，由初始条件引起的自由自由振动系统的运动，将随时间不短减小。 这表明系统的运动将是振幅按指数函数衰减的简谐运动。 两自由度有阻尼系统强迫振动运动对于线性系统，叠加原理在这里也成立，对于系统的稳态响应，用复指数法求解。 第五节有阻尼吸振器针对于有些设备的工作速度是在一个比较大的范围内变动，有阻尼吸振器就可以消除其振动。 它是由质量块，弹簧和粘性阻尼器组成的，由主系统和吸振器组成了一个新的两自由度系统。 在相当宽的频率范围内，在系统有着小于允许振幅的振动，这就达到了减小了主系统振动的目的。 第六节位移方程一柔度影响系数定义弹簧常数为k的弹簧的柔度系数为d=1/k则对于前面讨论的系统的运动方程表示为?+=?212111121FFdddddxx或x=FD其中D叫做柔度矩阵，其元2,1=,jidij，叫做柔度影响系统，定义为jiijFxd=2,1=,ji即，值在j点作用已单位力时，在i点引起的位移的大小。 利用柔度影响系数的定义，就可以确定系统的柔度矩阵。 对于系统的刚度矩阵，其元素ij k，也叫做刚度影响系数，定义为jiijxFk=2,1=,ji它表明只在j点产生一单位位移时，在i点需要施加的力的大小。 利用这一定义可以确定系统的刚度矩阵。 K?k?+k=22221kkk对于有阻尼系统，阻尼矩阵的元素阻尼影响系数也可按其定义以类似的方法确定。 二位移方程的求解对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。 对于允许刚体运动产生的系统，柔度矩阵不存在，因为在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移，即位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 第四章多自由度系统第一节Lagrange方程对于许多复杂的机械系统，利用Lagrange方程去建立系统的运动方程常常是非常有效的。 Lagrange方程的一般形式可表示为iFqUq?DqTq?Tdtdiiii=?+?+?）（i=1,2,.,n式中iq是广义坐标，对于n自由度系统有n个广义坐标。 iF沿广义坐标iq方向作用的广义力。 T是系统的动能函数，U是系统的势能函数，D是系统的散逸函数。 列出系统的势能、动能和散逸函数后，由Lagrange方程可得到n自由度系统的运动方程qCqM+?)(tFqK=+第二节无阻尼自由振动和特征值问题n个自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为0+KqM?=q方程表明，时间函数和空间函数是可以分离的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间无关，因此，其比值一定是一个常数。 )(tf是时间的实函数，比值一定是一个实数，假定为，有=j=?njijijumk10)(把它写成矩阵的形式，为K0uM=?u式中Tn uuuu?21=也可表示为K0)uM(=?解上面两个方程的问题叫做矩阵M和K的特征值问题。 第三节特征向量的正交性和主坐标什么是特征向量？答对于一个n自由度系统，其第r阶特征值2nrrw=对应的特征向量为ru，其第s阶特征值2nrrw=对应的特征向量为su，它们都满足前面的方程，因而有KMrunrrwu2=KMSunSSwu2=由于rsnsww，只有MusrurTs=,0同理可以得到KusrurTs=,0上两个方程表示了系统特征向量的正交关系，是对质量矩阵M，刚度矩阵K加权正交。 必须强调，正交性关系仅当刚度和质量矩阵为对称矩阵时才成立。 由于特征向量ru（r=1,2,.,n)的绝对值不是唯一的，振型矩阵也不是唯一的，所以描述系统运动的主坐标也不是唯一的，实际上，可能有无限多组主坐标。 这就是特征向量。 第四节对初始条件的响应和初值问题N自由度无阻尼系统的自由振动表达式为uu=r+=+=nnrnrrrtwAtwAtq1)sin()sin()(?待定常数r A和r?，由施加于系统的初始条件决定。 若施加于系统的初始条件=0)0(qq，=0)0(q?q?则有twEtwDtwtwnrrnrrrnrrnrsincos)sin()sin(+=+?即01101,q?uwEquDn?=第五节半确定系统什么是办确定系统？答如果有一个系统，它的运动方程为0+KqM?=q变换，用主坐标描述系统的运动，运动的方程成为nrpkp?mrrrr,2,1=,0?=+且有rrnrmkw/2=，可得01=p?因而有tEDp111+=1D和1E为任意常数。 方程表示，整个系统沿主坐标的运动是一个刚体运动，没有发生弹性变形，它也是系统的一个固有模态运动。 当有一个或几个固有频率等于零的系统叫做半确定系统。 并且具有半正定刚度矩阵的系统是一个半确定系统。 第六节具有等固有频率的系统机械系统由于结构的对称性或其他原因，系统可能具有重特征值，也就是有相等的固有频率。 例如运动限于xy平面内，两个弹簧直交并相等。 在微幅振动时，系统的运动方程为02022211=+=+kqq?mkqq?m它们有两个相等的固有频率，是一个退化的系统。 线性代数表明，无论系统是否具有重特征值，系统的所有特征向量有正交关系。 对于重特征值s，有下列关系0)()()1?(=stsFf式中)()1?(stF为矩阵)(sf伴随矩阵的（l-1）阶导数。 因而，对于重特征值的l列特征向量与)()1?(stF的l列非零列成正比。 可以利用)()1?(stF来确定重特征值s的特征向量。 对于其余非重特征值，仍保持