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第一讲 数与代数一、 数的认识（一）整数1、整数分2类：自然数（非负整数）：0、1、2、3、4负整数：-3，-2，-1。2、整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数。自然数是整数的一部分，自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。“1”是自然数最基本的单位。3、每相邻的两个计算单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。从右边起，每四个数位一级，数级分别是个级、万级、亿级。第一位是个位，第五位是万位，第九位是亿位;（10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万，10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿）（二）小数：分母是10、100、1000的分数可以用小数表示。小数点的左边是整数部分，小数点的右边是小数部分。（小数的个数比整数的个数多得多。）1、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一.分别写作0.1、0.01、0.001.2、小数部分第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位(10个千分之一是百分之一，10个百分之一是十分之一，10个十分之一是一)3、小数按小数部分的位数是否有限分为有限小数和无限小数。无限小数分为无限不循环小数和无限循环小数。4、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个小数的循环节。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各记一个圆点。（三）分数：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。一个整体可以用自然数“1”来表示，通常把它叫做单位“1”。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一1、分数分为真分数（1,分子小于分母）和假分数（1，分子大于或等于分母）。带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。如2（整数部分和真分数）。2、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。3、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分（分子和分母除以公因数）如： 4、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分（把分母都化成最小公倍数）（四）百分数：一个数是另一个数的百分之几叫做百分数，也叫做百分比或百分率。注意：分数既可表示一个数，也可以表示两个数比的关系，分数可以带单位；百分数只表示一个数是另一个数的百分比（一种关系），所以不能表示具体数。百分数不带单位，口算的结果不能是百分数,只能是最简分数、整数或小数。二、 数的读写、改写和比较（一）数的读写1、整数部分读法（1）分级（2）先读亿级，再读万级，最后读个级。（3）亿级和万级的数按照个极的方法读。读完亿级加个“亿”，读完万级加个“万”。（4）每级末尾不管有几个0都不读，每级中间不管有几个0都只读一个“零”。2、整数部分写法（1）分级，圈“万”和“亿”（2）先写亿级，再写万级，最后写个级。（3）哪个数位上一个都没有用“0”占位。3、小数部分：依次去读写。（二）数的改写1、把多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数（准确数，用“=”）（1）以“万”作单位。在万位后面点上小数点，把小数末尾的0去掉，添上“万”字。如45000=4.5万（2）以“亿”作单位。在亿位后面点上小数点，把小数末尾的0去掉，添上“亿”字。如45000 0000=4.5亿2、求近似数（用约等号“”）保留（或精确）到哪一位，就看到它的下一位。其余的数字无关。方法：“四舍五入法”。是“舍”还是“入”要看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5。0、1、2、3、4、（舍去）;5、6、7、8、9、（在前一位入1）。3、小数、分数、百分数互化（1）小数化分数：写成分母是10、100、1000的分数约分成为最简分数。如0.48=（2）分数化小数：一般情况:分子分母（如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。）如：=45=0.8特殊方法：分母通分为10、100、1000的数（如25=10 205=100 245=100 502=100 1258=1000 2005=1000 ）再化小数。如：=0.8（3）小数化百分数：小数点右移两位，添百分号。如：0.374=37.4%（4）百分数化小数：小数点左移两位，去百分号。如：196%=1.96（5）分数化百分数：把分数先变成小数（除不尽就要保留3位小数，算到小数第四位。），再化百分数。如=0.8=80% （6）百分数化分数：把百分数写成分母是100的分数，再约成最简分数。如： 37%=4、数的大小比较（1）整数和小数比较先比较整数部分的数位，数位多的，数就大。如果数位相同，先比较最高位，最高位相同再看下一位（2）分数比较分母相同，分子大分数大分子相同，分母小，分数大。根据需要把分数进行通分和约分，再比较。三、倍数和因数（倍数和因数是相互间的关系，所以2是12的因数，12是2的倍数，不能说成2是因数，12是倍数）1、一个数最小的因数是1，最大的因数是本身。因数的个数是有限的;一个数最小的倍数是本身，没有最大的倍数。倍数的个数是无限的。2、2、5、3的倍数特征（1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。（3）一个数个位上的数的和是3的倍数，这个数是3的倍数。3、按因数个数分，非0自然数分为质数、合数和1三类。只有1和本身两个因数（20以内有2、3、5、7、11、13、17、19共8个）叫做质数；除了1和本身还有别的因数叫做合数；1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。4、公因数只有1的两个数，叫做互质数。相邻的两个数一定是互质数（如：9、10）;两个都是质数的一定是互质数（如：5、13）5、求最大公因数和最小公倍数都可以用不完全列举法，最好的方法是短除法。（每次都用最小的质数去除） (1)36分解质因数：36=22233(2)48分解质因数：48=22234（3）36和48的最大公因数：223=12（4）36和48的最小公倍数：22334=144互质数（相邻的或两个都是质数）：最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。 倍数关系：最大公因数是小数。最小公倍数是大数。四、性质与规律1、除法、分数和比的关系（除数、分母和后项都不能为0）（1）商不变性质：被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘（或除以）相同的数（0除外），分数的大小不变。（3）小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不 变。 注意：0.3=0.30=0.300也就是（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘（或除以）相同的数（0除外），比值不变。2、比例的基本基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。3、积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几。4、小数点的移动引起小数的大小变化。（1）小数点向右移，小数扩大。小数点右移一位，小数就扩大到原数的10倍。小数点右移两位，小数就扩大到原数的100倍。小数点右移三位，小数就扩大到原数的1000倍。（2）小数点向左移，小数缩小。小数点左移一位，小数就缩小到原数的。小数点向左移动两位，小数就缩小到原数的。小数点向左移动三位，小数就缩小到原数的。5、乘法：（1）一个数乘大于1的数，积比原来的数大。（2）一个数乘小于1的数，积比原来的数小。（3）一个数乘等于1的数，积等于原来的数。除法：（1）一个数除以大于1的数，商比被除数小。（2）一个数除以小于1的数，商比被除数大。（3）一个数除以等于1的数，商等于被除数。五、 四则运算的意义和计算方法1、四则运算：加法、减法、乘法和除法2、计算方法（1）整数和小数的加减法：相同数位对齐，从低位算起，满十进一（或退一当十）, 小数部分的数位不够，要补0再算.（2）整数与小数的乘法：2个因数的末位对齐（因数末位是0的除外，利用积的变化规律，在最后计算结果添0），用第二个因数每位上的数分别乘第一个因数，所得的积的末位对齐那位上的数，再把它们相加。最后根据需要添“0”或小数点的移动。（3）整数与小数的除法；根据小数点移动的规律，把除数和被除数同时扩大，使到除数变成整数。然后根据除数是整数的方法做。注意商的最高位在哪里每次余下的数必须比除数小哪一位不够商1，用0占位商的小数点和被除数的小数点对齐被除数和除数同时扩大后，商不变，余数要缩小。（4）分数加减法：分数通分为相同分母，分母不变，分子相加减，再化简为最简分数。（5）分数乘除法：除以一个非0的数也就是乘它的倒数。分数乘除法都可以写成分数乘法，然后先约分，再分子乘分子，分母乘分母。 乘积是1的两个数互为倒数。分子和分母交换位置。整数的倒数分母是整数，分子是1。0没有倒数。1的倒数就是1。3、四则运算中各部分间的关系（利用关系进行验算）：加法：加数+加数=和 和-加数=加数减法：被减数-减数=差 被减数-差=减数 减数+差=被减数乘法：因数因数=积 积因数=因数除法：被除数除数=商 被除数商=除数 商除数=被除数 被除数除数=商余数 （被除数-余数）商=除数 商除数+余数=被除数4、估算（把数看做整十整百整千的数，便于口算。用约等号“”）如：38+4380 2008-1991800 38431600 448089505、四则混和运算（1）运算符号：+、- 、 （） 次序：第一级 第二级 （2）在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算；（同级运算）（3）有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法。（两级计算）（4）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（5）没参加计算的要照抄，有些算式可以同时脱式计算。6、0与1在四则运算中特性:a+0=a a-0=a a-a=0 a0=0 a1=a a1=a 0a=0 1a=7、简便算法。1）交换律 加法交换律 a+b=b+a 2）结合律 加法结合律(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)3）乘法分配律 (a+b)c=ac+bc 4）性质 减法性质： a-b-c=a-(b+c) (a-b)c=ac-bc 除法性质：abc=a(bc)5）带符号搬家（只在同级运算中使用） 6）添（去）括号的使用（只在同级运算中使用）：括号前面是+和，括号里面不变号；括号前面是-和，括号里面要变相反的符号。（+和-互变，和互变）六、 解决问题1、基本的11种数量关系（1）“一共、还剩、原来” 部分数+部分数=总数 总数-部分数=部分数（2）“比多（少）” 小数+相差数=大数 大数-小数=相差数 大数-相差数=小数（3）相同加数“每” 每份数份数=总数 总数每份数=份数 总数份数=每份数 价钱：单价数量=总价 总价单价=数量 总价数量=单价 行程：速度时间=路程 路程速度=时间 路程时间=速度 工作：工效时间=工总 工总工效=时间 工总时间=工效（4）“是的倍” 1倍数倍数=几倍数 几倍数1倍数=倍数 几倍数倍数=1倍数2、分数和百分数应用题的解题方法。（1）找含有分数（或百分数）的关键句。从句子中找到单位“1”的量。单位“1”的量不以数的大小来区别，而是以它的位置决定的。如：红花的朵数是黄花的20%；红花的朵数比黄花少20%；红花的朵数是黄花的百分之几？这里都是黄花的朵数是单位“1”的量。（2）若单位“1”已知，用乘法计算；若单位“1”未知，用除法计算。（3）方法：求甲数的几分之几（百分之几）是多少？用乘法：甲数 已知甲数的几分之几（百分之几）是乙数，求甲数。用除法：乙数已知甲数比乙数多（或少）几分之几（百分之几），求甲数。用乘法：乙数已知甲数比乙数多（或少）几分之几（百分之几），求乙数。用除法：甲数求甲数是乙数的几分之几（百分之几）？用除法：甲数乙数 求甲数比乙数多（或少）几分之几（百分之几）？用除法：甲乙的相差数 乙数3、求百分率（如：达标率、发芽率、合格率、出勤率）要用分数形式100%如；达标率=100%（注意：求百分之几用除法做，不需要乘百分号）4、打折：几折就是表示十分之几，也就是百分之几十。（如6折就是十分之六或60%）5、缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额.）的比率叫做税率。应纳税额=应纳税所得额税率6、利息与本金的比值叫做利率。（这里指的是年利息和年利率）利息=本金利率时间 利息税=利息税率 取回的钱=本金+利息假如需要纳利息税5% 取回的钱=本金+利息（1-5%）或 取回的钱=本金+利息-利息税七、 式与方程1、用字母或含有字母的式子可以表示数，也可以表示数量关系、运算定律和计算公式。22、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“.”，也可以省略不写（如：ab=a.b=ab）。省略乘号时要把数写在字母前面。（如：a3=3a）3、方程的概念（1）含有未知数的等式，叫做方程。（所有的方程都是等式，但等式却不全是方程。）（2）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（如：x=3是方程的解）。求方程解的过程叫做解方程。（必须有“解”字）（3）天平平衡原理：等式两边同时加上或减去相同的数，等式不变。等式两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式不变。4、列方程解决问题的关键：找准等量关系。（1）充分利用表示等量关系的关键词语（2）利用常见的数量关系式。如：比的2倍多4 （注意：X不带单位）八、 常见的量长度单位、面积单位、体积和容积单位、质量单位、时间单位和人民币单位1、长度、面积和体积单位及进率长度单位（相邻进率10）面积单位（相邻进率100）体积和容积单位（相邻进率1000）1厘米=10毫米1分米=10厘米1米=10分米1千米=1000米1平方厘米=100平方毫米1平方分米=100平方厘米1平方米=100平方分米1公顷=10000平方米1平方千米=100公顷1平方千米=1000000平方米1立方厘米=1000立方毫米=1毫升1立方分米=1000立方厘米=1升1立方米=1000立方分米=1方2、质量单位及进率（相邻进率1000） 1吨=1000千克 1千克=1000克3、时间单位和进率（1）一年有12个月，平年365天，闰年366天。7个大月：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月，每月31天。4个小月：4月、6月、9月、11月，每月30天。平年二月28天，闰年二月29天。每年二月都有28天，只有闰年二月才有29天。一个星期有7天，平年3657=52（个）1（天） 闰年3667=52（个）2（天）（2）闰年一般是4的倍数，整百年份的必须是400的倍数。(如：1900不是闰年)（3）一天有24小时，时针刚好走两圈。从0时到24时的计时法叫做24时计时法。一般分为凌晨、上午、中午、下午、晚上。如：下午3时=3+12=15时 21时=21-12=晚上9时（4）开始时间+经过时间=结束时间结束时间-经过时间=开始时间 结束时间-开始时间=经过时间（5）1世纪=100年 1年=12月 1星期=7天 1日=24时 1时=60分 1分=60秒4、人民币单位及进率（相邻进率10） 1元=10角 1角=10分5、换算方法:（1）小数点向右移动 （2）小数点向左移动九、 比和比例1、 比和比例的联系和区别比比例意义表示两个数相除表示两个比相等的式子各部分名称9 ： 6 =（或1.5）前项 比号 后项 比值9 ： 6 = 3 ： 2 内项外项基本性质比的基本性质比例的基本性质化简比的根据解比例的根据2、 求比值和化简比（1）化简比（关系）：比表示两个数相除。运用比的基本性质，把两个数的比化成最简整数比（前项和后项的最大公因数是）。结果仍然是一个比。整数比：前项和后项同时除以最大公因数分数比：前项和后项同时乘最小公倍数。小数比：前项和后项同时乘10（或100、1000）变成整数，再同时除以最大公因数（2）比值（结果）：表示一个数。把“：”换成“”，用除法计算，求出最简分数、整数或小数。3、正比例和反比例的联系和区别。正比例反比例相同点都是两种相关联的量，一种量变化随着另一种量变化。不同点1、变化方向相同2、相对应的每两个数的比值（商）是一定的3、关系式：4、图像:呈直线上升趋势1、变化方向相反2、相对应的每两个数的乘积（积）是一定的3、关系式：4、图象：一条曲线4、判断正反比例的方法（一找二看三判断）（1）分析数量关系，找两个相关联的量。（2）看它们之间的关系是商一定（变化方向相同），还是积一定（变化方向相反）（3）正确判断: 商一定.成正比例；积一定，成反正比例；如果积和商都不是定量，不成比例。正比例： 反比例：5、按比例分配（各部分占总数的几分之几，用乘法做。）如：甲是乙的，和是70 ，求各是多少？ 甲：乙=4：3 甲+乙=70甲：70=40 乙：70=306、注意：盐水=盐+水 糖水=糖+水 稀释液=浓缩液+水第二讲 空间与图形（一）射线、直线、线段的关系（都是直的）直线没有端点两端无限延长，不可测量射线1个端点一端无限延长不可测量线段2个端点有限的，可测量。1、从一点出发可以画出无数条射线。2、过两点只能画一条直线。（二）角：从一点引出的两条射线所组成的图形。1、角的度量。角的度量单位是“度”，用符号“ ”表示。角的大小与角的两边画出的长短没有关系。要看两条边叉开的大小有关，叉开越大，角越大。注意：（1）顶点和量角器的中心重合（2）角的一条边和0刻度线重合（3）从0度开始数，另一条边和几重合就是几度。（4）写度数。2、画角。（1）画射线。顶点和量角器的中心重合，射线和0刻度线重合。（2）从0刻度线开始数,到指定的刻度上点一个点。（3）从顶点开始，通过刚画的点，画一条射线。（4）标度数。3、角的分类。（从小到大排列）锐角直角钝角平角周角0锐角90 直角=90 90钝角180 平角=180=2个直角 周角=360=2个平角=4个直角（三）垂直与平行1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。相交成直角的两条直线叫互相垂直。2、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。平行线之间的距离处处相等。3、两直线相交，对顶角相等。 1= 24、画垂线和平行线。（必须使用三角板，垂线要画垂足 。）（1）过直线上一点作垂线。（只有1条）（2）过直线外一点作垂线。（只有1条）（3）过直线外一点作已知直线的平行线。（只有1条）5、画长方形的方法（用作垂线或平行线方法）长方形特征：（1）两组对边分别平行（2）相邻的两条边互相垂直。（四）三角形：由三条线段围成的图形叫作三角形。1、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高，这条对边叫做三角形的底。（任意三角形都有3条高）2、三角形具有稳定性。3、三角形任意两边的和大于第三边。3、 分类（1）按角的不同分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。（2）按边分，有两种特殊三角形：等腰三角形和等边三角形（正三角形）（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。）4、 任意三角形的内角和是180度。（1） 普通三角形的角：180- 1- 2= 3（2） 等腰三角形：顶角=180-底角2 底角=（180-顶角）2（3） 等边三角形的角：1803=60（4） 直角三角形的锐角：90- 1= 2 等腰直角三角形的底角：902=45（五）平行四边形和梯形1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（对边相等，对角相等）2、只有一组对边平行的四边形叫做梯形。3、长方形和正方形都是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。4、平行四边形容易变形。5、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。6、从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。7、一般来说，在梯形中长的底叫下底，短的底叫上底。（上、下底必须在平行边上。）8、画高。（必须用虚线表示，必须画上垂足符号。）9、四边形之间的关系。 4个直角 4边相等平行四边形 长方形 正方形 （两组对边分别平行） 两腰相等 梯形 等腰梯形 （只有一组对边平行） 不规则四边形（没有一组对边平行）（六）周长、面积和体积1、周长:封闭图形一周的长度，是它的周长。2、面积：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。3、体积：物体所占空间的大小，就是它的体积。4、圆：（1）相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d示。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（2）在同一个圆内，有无数条直径和半径。直径是半径的2倍，半径是直径的一半。（3）圆周率：一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，它是个无限不循环小数。5、所有计算公式平面图形长方形正方形平行四边形三角形梯形圆形周长(C)C=2(a+b)a=C2-bb=C2-aC=4aa=C4与长方形的周长计算相似三条线段之和四条线段之和C=d=2rr=C2=d2d=C d=2r面积(S)S= abS=aa= a2S=ah S=ah2S=(a+b)h2S=r2立体图形长方体正方体圆柱体圆锥体总棱长(L)L=4(a+b+h) a=L4-b-hb =L4-a-h h =L4-a-bL=12a a=L12表面积(S)S=2(ab+ah+bh)S=6 a2S侧=dh=2rhS表=2S圆+S侧 =2r2+2rh体积(V)V=abhV= a3V=r2 hV=sh=r2 hV=S底面积h圆锥的体积是等