人教B版选修11 第二章 2．1.2　椭圆的几何性质 学案.docx

21.2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的简单几何性质已知两椭圆c1，c2的标准方程：c1：1，c2：1.思考1怎样求c1，c2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？答案对于方程c1：令x0，得y4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，4)；令y0，得x5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(5,0)同理得c2与y轴的交点为(0,5)与(0，5)，与x轴的交点为(4,0)与(4,0)思考2椭圆具有怎样的对称性？答案椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形思考3椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？答案c1：5x5，4y4；c2：4x4，5y5.梳理标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|2c(c)|f1f2|2c(c)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长轴长2a，短轴长2b知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？答案如图所示，在rtbof2中，cosbf2o，记e，则0e0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标考点椭圆的几何性质题点由条件研究椭圆的几何性质解椭圆方程化为标准形式为1，且e.(1)当0m4时，a2，b，c，又e，即，m3，b，c1.椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标为f1(1,0)，f2(1,0)，顶点坐标为a1(2,0)，a2(2,0)，b1(0，)，b2(0，)(2)当m4时，a，b2，c，又e，即，m，a，c.椭圆的长轴长为，短轴长为4，焦点坐标为f1，f2，顶点坐标为a1，a2，b1(2,0)，b2(2,0)类型二求椭圆的离心率命题角度1焦点三角形的性质例2椭圆1(ab0)的两焦点为f1，f2，以f1f2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案1解析方法一如图，df1f2为正三角形，n为df2的中点，f1nf2n，|nf2|c，|nf1|c，则由椭圆的定义可知|nf1|nf2|2a，cc2a，e1.方法二由题意知，在焦点三角形nf1f2中 ，nf1f230，nf2f160，f1nf290，则由离心率的三角形式，可得e1.反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e 求解跟踪训练2已知f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过f1的直线与椭圆相交于a，b两点，若baf260，|ab|af2|，则椭圆的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案解析如图所示，baf260，|ab|af2|，abf2是等边三角形，abf2的周长3|af2|4a，|af2|，|af1|.在af1f2中，由余弦定理得(2c)2222cos 60，化为a23c2，解得e.命题角度2利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f2作x轴的垂线与c相交于a，b两点，f1b与y轴相交于点d，若adf1b，则椭圆c的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案解析直线ab：xc，代入1，得y，a，b.，直线bf1：y0(xc)，令x0，则y，d，kad.由于adbf1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若椭圆1(ab0)上存在一点m，使得f1mf290(f1，f2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的取值范围答案解析椭圆1(ab0)，byb.由题意知，以f1f2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0eb0)的左顶点为a，左焦点为f，上顶点为b，且baobfo90(o为坐标原点)，则椭圆的离心率e_.考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案解析设椭圆的右焦点为f，如图，由题意得a(a,0)，b(0，b)，f(c,0)，baobfo90且bfobfo，baobfo90，0，(a，b)(c，b)acb2aca2c20，e2e10，解得e.类型三利用几何性质求椭圆的标准方程例4(1)椭圆过点(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点f与短轴两个端点b1，b2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点a的距离为，求这个椭圆的方程考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何性质求方程解(1)所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0)为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a3.e，ca3，b2a2c232()2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程是1或1.(2)依题意，设椭圆的方程为1(ab0)，由椭圆的对称性，知|b1f|b2f|，又b1fb2f，b1fb2为等腰直角三角形，|ob2|of|，即bc.|fa|，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论跟踪训练4根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何性质求方程解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)依题意有解得椭圆方程为1.同理可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.1已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()a. b. c. d.考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案b解析由2x23y2m(m0)，得1.c2，e2，又0e1，e.2椭圆6x2y26的长轴端点坐标为()a(1,0)，(1,0) b(6,0)，(6,0)c(，0)，(，0) d(0，)，(0，)考点椭圆的几何性质题点由椭圆方程研究其几何性质答案d3设p(m，n)是椭圆1上任意一点，则m的取值范围是_考点椭圆的几何性质题点椭圆的范围的简单应用答案5,54若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为_考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何性质求方程答案1解析据题意a5，c3，故b4，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_考点椭圆的几何性质题点由条件研究椭圆的几何性质答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用一、选择题1椭圆c1：1与椭圆c2：x21在扁圆程度上()ac1较扁bc2较扁cc1与c2的扁圆程度一样d不能确定考点椭圆的几何性质题点由椭圆方程研究其几何性质答案b解析c1的离心率e1，c2的离心率e2，且e10，b0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且abop(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()a. b.c. d.考点椭圆性质的应用题点求椭圆的离心率答案c解析由题意可设p(c，y0)(c为半焦距)，则kop，kab，opab，即y0.把p代入椭圆方程，得1，2，e.7椭圆1和k(k0，a0，b0)具有()a相同的顶点 b相同的离心率c相同的焦点 d相同的长轴和短轴考点椭圆的几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案b解析不妨设ab0，则椭圆k的离心率e2 .而椭圆1的离心率e1 ，故b正确二、填空题8已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e，则长轴长的取值范围是_考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何性质求参数答案(2,4解析e ，0 ，得1a2，2b0)的左、右焦点，p为直线x上一点，f2pf1是底角为30的等腰三角形，则e的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率答案解析由题意，知f2f1pf2pf130，pf2x60.|pf2|23a2c.|f1f2|2c，|f1f2|pf2|，3a2c2c，e.11若椭圆x2my21的离心率为，则m_.考点椭圆几何性质的应用题点由椭圆的几何性质求参数答案或4解析方程化为x21，则有m0且m1.当1时，由题意 ，解得m4；当1时，由题意 ，解得m.综上，m或4.三、解答题12.如图所示，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，m为椭圆上一点，且mf2f1f2，mf1f230.试求椭圆的离心率考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆的离心率解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为mf2f1f2，所以mf1f2为直角三角形又mf1f230，所以|mf1|2|mf2|，|f1f2|mf1|.而由椭圆定义知|mf1|mf2|2a，因此|mf1|，所以2c，即，即椭圆的离心率是.13已知f1，f2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，a是椭圆上位于第一象限内的一点，若0，椭圆的离心率等于，aof2的面积为2，求椭圆的方程考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程解如图，因为0，所以af2f1f2，因为椭圆的离心率e，所以b2a2，设a(x，y)(x0，y0)，由af2f1f2知xc，所以a(x，y)代入椭圆方程得1，所以y.因为aof2的面积为2，所以cy2，即c2，因为，所以b28，所以a22b216，故椭圆的方程为1.四、探究与拓展14设ab是椭圆1(ab0)的长轴，若把线段ab分为100等份，过每个分点作ab的垂线，分别交椭圆的上半部分于点p1，p2，p99，f1为椭圆的左焦点，则|f1a|f1p1|f1p2|f1p99|f1b|的值是()a98a b99ac100a d101a考点椭圆几何性质的应用题点利用椭圆的性质求值答案d解析由椭圆的定义及其对称性可知，|f1p1|f1p99|f1p2|f1p98|f1p49|f1p51|f1a|f1b|2a，|f1p50|a,502a|f1p50|101a.15已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在直线y2上，