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信号总结范文 信号与系统内容拉普拉斯变换拉普拉斯变换的引入很多信号可以用周期复指数信号的线性组合来表示。 复指数信号est?,时，相应变换为傅里叶变换，s推广为任意值时，得是LTI系统的特征函数。 ?js到拉普拉斯变换。 这就使得拉普拉斯变换可以用于不稳定系统的分析。 但是其物理意义不如傅立叶变换清晰。 6.1拉普拉斯变换定义对任意信号x(t)，拉普拉斯变换?etxsXtxL)()()(?dtst，其中s为复数?js?。 可以得到)()(?jjXsXs?当实部为0，为傅立叶变换，即?jstxLtxF?)()(dteetxjwsXjwtt?)()(?)()(txLetxFt?经过一些例子论证可以得到，不同的x(t)可能有相同的X(s)，关键在于收敛域不同。 收敛域（简称ROC）是使得拉普拉斯变换收敛的S值的范围。 ROC的图示为复平面（S平面）。 所以求拉氏变换时，必须同时给出收敛域。 零极点图只要x(t)是实指数或复指数的线性组合，X（s）就一定是有理的。 对有理拉普拉斯变换，?可用零极点图来形象地表示由分子多项式的根可得到零点，由分母多项式的根可得到极点。 除常数因子外，零极点图+ROC就是有理拉普拉斯变换的S平面表示。 若分母的阶次高于分子的阶次k次，则X(s)在无限远处有k阶零点。 若分子的阶次高于分母的阶次k次，则X(s)在无限远处有k阶极点。 6.2拉普拉斯变换收敛域由于不同的x(t)可能有相同的X(s)，此时只有利用收敛域来区分。 性质1X(S)的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 性质2对有理拉普拉斯变换，ROC内不包含极点。 （极点处X(s)无限大，不收敛）性质3如果x(t)是有限持续期，且绝对可积，那么ROC为整个S平面。 时0?证明拉氏变换收敛?1)(Ttx因为x(t)绝对可积，即? (1)当?的全部s值都一定在ROC内。 右边信号指时，x(t)=0性质5如果x(t)是左边信号，且若位于ROC内，则的全部S值都位于ROC内。 ?左边信号时x(t)=0，对应左半平面的ROC。 ?性质6如果x(t)是双边信号，且若位于ROC内，则ROC一定是S平面上包括的一条带状区域。 双边信号对时间轴左、性质7如果x(t)的么它的ROC是被极且ROC内不包含X(s)的任何极点。 性质8若x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，对右边信号，则其ROC位于最右边极点的右边；对于左边信号，则其ROC在S平面上最左边极点的左边。 不包含X(s)的任何极点。 ?右都是无限范围的拉氏变换X(s)是有理的，那?点所界定的或延伸到无限远。 ?dtex(t)t-?21)(TTdttx?21)(TTdttx0?1T-?t-?eeT?2211T-?t-?e)t(eTTdtxdt时0?2T-?t-?eeT?21212T-?t-?e)t(TTTdtxdtx?21t-e)t(TTdtx?0?0?1Tt?0Re?s0Re?s2Tt?0Re?s0Re?s6.3拉普拉斯反变换定义式1R?对于一般的X（s），上述积分的求值要利用复平面的围线积分。 RR?RR?若要求有理变换，常用部分分式展开法，即表示为?i?miiasAsX1)(，在对其进行分别求解。 6.4拉普拉斯变换的性质)(1tax?线性ROC为R1tbx?RR?ROC为R2则ROC包括1）若为空，则X(s)无收敛域，x(t)不存在拉普拉斯变换。 2）X(s)的ROC可能比大。 确定的ROC方法()(Xtx?ts? （1）求e （2）将其向左、或右延伸，直至最近的极点。 ?时移若，ROC=R)()(sXtx?则，ROC=R?S域平移)(t?若，ROC=R则?时域尺度变换（a为实）ROC=R，ROC=aR。 ROC=aR表示“边界的变化”，a为负值时，ROC要增加关于jw轴的反转。 ?共轭ROC=R ROC=R)()(sXtx?推论若x(t)为实函数，有X(s)=X*(s*)，因此若X(s)有零极点位于，必有一)()(sXtx?dsesXjtxjjst?2) (1) (1122)()()()(2121sbXsaXtbxtax?R22121) (221)()(sXtx?t)()(00sXetxst?)s)()(00ssXtx?10ReRsRROC?) (1)(asXaatx?)(sXx*)(*)(*sXtx?0ss?*0ss?共轭的零极点位于。 )(Xtx?卷积性质ROC=R1，ROC=R2ROC包括X(s)x(t)?时域微分?u(t)ROC=R，ROC包括R，s=0处的零极点有变化。 s?S域微分*)(tu ROC=R，ROC=R。 ?时域积分ROC=R，ROC包括RRes0证明Res0limxt?)(limtxt?所以ROC包括RRes0?初值和终值定理条件t0时，x(t)=0初值定理初值定理条件t=0时，x(t)不含冲激或高阶奇异函数，X(s)必须为真分式。 即分子阶次 否则，X(s)=X0(s)整式+X1(s)真分式原因整式X0(s)的L反变换为冲激及其导数（即高阶奇异函数），在0+时刻值为零终值定理条件必须存在。 对应S域的条件X(s)的极点必须位于S平面的左半平面，)()(11sXtx?()(sXtx?虚轴上仅在s=0处有一阶极点)()(21txtx?6.5用L变换分析与表征LTI系统LTI系统的单位冲激响应的拉普拉斯变换称为系统函数/转移函数。 )()(11sXtx?dt由卷积性质得对LTI系统y(t)=h(t)*x(t)，Y(s)=H(s)X(s)。 s=ejw时H(s)变为频率响应)(ssX?H(jw)。 上式变为Y(jw)=H(jw)X(jw)。 ?因果性)22)()(21sXsX?21RR?)(tdx)(sdssdXttx)()(?L) (1)(sXsdxLt?)()()(tt*xtudx?1L?) (1)(LsXstx?)(lims?)0(xssX?)(lims?)0(f)0(1sXsX?)(lims?)(0ssXt?因果性质系统的输出只决定于现在和过去的输入值。 即t0时，h(t)=0，系统函数的ROC为左半平面。 NS(ka?可?稳定性LTI系统的稳定性等效于h(t)绝对可积。 0kk?结论1系统函数H(s)的ROC包括jw轴，等效于LTI系统是稳定的0结论2对具有有理系统函数H(s)的因果系统，稳定性等效于H(s)的所有极点都位于()H SS平面的左半平面，即所有极点都有负实部。 （边界稳定在虚轴上有一阶极点）。 ?由线性常系数微分方程表征的LTI系统由傅氏变换，可求解微分方程，直接得H(jw)。 同理，拉氏变换，可求解微分方程/直接得H(s)。 H零点是的解，极点是的解的表示式+系统稳定性或因果性的附加条件，可得h（t）。 x(t)h1(t)/H1(s)6.6系统函数的代数属性与方框图表示?并联?级联(串联)h(t)=h1(t)*h2(t)H(s)=H1(s)H2(s)?反馈由于Y(s)=H1(s)E(s)，E(s)=X(s)-Z(s)=X(s)-H2(s)Y(s)，所以Y(s)=H1(s)X(s)-H2(s)Y(s)，H(s)Y(s)X(s)00()k(9.131)()(9.133)kkNMkkdy tdxtabb SS?k=0Mks)Y(s)=()XMkb S?00Nkkk?a s?1212()()(),()t()t()tSHSHShhh?y(t)x(t)h1(t)/h2(t)/+y(t)h2(t)/H2(s)(s)H(s)H1(s)H211?由微分方程和有理系统函数描述的(因果)LTI系统的方框图表示微分s；积分1/s同一H(s)，可以有多种实现方式，对应不同的框图6