偶数阶反对称行列式的一种计算法.pdf

第1 0卷第2期齐齐哈尔 师 范学院学报 自然科 学版 ro l Io N o 19 9 0年 6 月 Jo u r n a l o fQiqiha rT eaeher C o lleg e N a tu r a lS eiene e Ju t zc 199 0 偶数阶反对称行列式的一种计算法 张慧敏 数 学系 摘要本文藉助反对称 拒阵的 合同标准形及 化合同 标准形 的 方法 给出了偶数阶反 对称 矩阵的行列 式 即反对称行 列 式 值的 一 种规律性 计算法 从而得出一些特殊 反对称拒阵的行列式 的值 关键词反 付称 拒阵反对称行 列式初等变换合同 我 们已经 知道 奇数 阶反对称行列式的值恒等于零 那么偶数 阶反对称矩阵行 列式的值 及其计算有无规律 本文藉助反 对 称矩阵的合 同标 准形 及化合同标准形的方 法提供一种反对 称矩阵行列式 的计算法 使奇数阶反对称行列式 的值为其特 例 从而得 出偶数阶反对 称 行列 式值的一般计算 法及求出一 些特殊 反 对称 矩阵的 行列式 的值 定义设A是一个 n 阶反对称 矩阵 或对 称 矩阵 对月施行一个 合 同变换指 的是对A 施行下 列三 种变换之一 1 对 矩阵刀任 意两 列 或行 及 相 l a J 两 行 或 列 同时施行第一种初等变换 2 对 矩阵刃的任一 列 或行 及相 同的行 或 列 同时施行第二种 初等变换 3 对 矩阵月的任意两 列 或 两行 及相 同两行 或 列 同时 施 行第三种初等变换 一三种 初 等变换 的定义 见 张禾瑞 高等代 数 第王 版第13 9页定义 2 以上 三种 合 同变 换 可施行到行列式 AI 上 称 为对行列式 Al 施 行 合同变换 三种初等变换对应 的初等矩阵分 别用尸 J D i k T k 表示 本文以下所 提到 的 高等代数 均指 张禾瑞一 书 记文 1 命题 1 令月是 数域F L一 个 n 阶反对称矩阵 即满足月 一 搜 则刀必与如下形式 的反 对称 矩阵 1 1C 口 门 1生 合同 l八 曰八讨11 见文 1 35 1 页习题5 本文称B为月的合 同标准形 证 明略 本文 19 89年1 1 月1 5 l收到 齐齐哈尔师范学院学报 自然科学版 第1 0卷 命题2奇数阶反 对称矩 阵的行列式的值等犷零 或奇数阶反对 称行列式 的值等于零 证 由命题 1 A 与B合 同 即存在 n 阶可逆 矩 阵P 使尸 月尸二 方 尸 表示尸的转找 阵 取 行列式 尸 刀尸卜 刀 即 尸 产 日月1 尸卜 B 故 座i 当月是奇数 阶时 故 1月卜 0 当A是偶数 阶 时 故 A O 异 尸 午 召奇数 阶 则1川 0 证毕 若B J 对 角线上 除形 如 甘天 的一阶块外还有零 则 B 卜 一 工V 若矩阵B中对 一 角线J 只有形如 份天 钩 1 J 阶块时 卜 一 厂 l 是二 阶块 一 的 个数 列式 恒为 J 立 是卜之 刀1的了 由 逆侧 此介同变换 卜 一 l z l 尸 阵尸的行列 式 尸 的位 决定 但 实际上 Pl 的值可体 现在对行列式 引 施 行 于是有 命题 3 偶数 阶反 对 称矩 阵 的行列式 的位可经一 系 列 合同变 换求得 证 l朴命题1 知且与B合 同 即指月可经一系 列 介同变 换得 到B 即存在可逆矩阵尸 使尸 产 月尸 B 山 定义合同 变换有三类 第一类 合同变 换 即交换月的第i j两 列 同时交换卫的第i j两行 相 当对且右乘 左乘 等 一类 初等矩 阵尸 J 即p 月 尸 二 刀 l 其中尸 t 尸 J 月 i 与刀合 同 刀 1 仍 是反 对 一 称 矩阵 这种合1司变换 施行到行 列式 A 上 不 改变其值 了望卜 1刃 相当对 J 的行 列 同时应 用 行列 式性 质 3 见 1 IH 页命题 3 第二类 合 1 司变换 即刀的第i列 乘以k后加到第了列 L 1 司时 一再将 尺的第i行乘以九后 加 到第 f 丁上 相 当 对月右乘第三 类初 等矩阵犷 j 左 左 乘T i 的 即T ij 的月T 3 z 二 刀 其 丁 凡 二 7 J k 月 二一 月 这种 合同变换施 行 到行 列式 月 一 也不 改变 其位 相 当对 A 应用行列式 性质10 见 1 命 题1 0 第二类 合同变 换 即将月的第 i列乘以左寺 同时 将月的第讨丁也乘以k 相当对 月右 左分别乘以第二类 初 等矩 阵D c 即D j c 刀刀 k 二 月 其中D i c 二 D e 刀 二 一 月 将这 种合同变换 施行到 行列式 A 上 行列式 扩大 k Z 倍 相 当对 理 应川行列式 性 质 5 见 文 1 命题 5 故尸等犷对月施行的一些列 的初等变 换所对应 的初等矩阶之积 即尸 二 E IE 百 5 百 表 示三种初等矩阵 则 pl一1百 1 百 2 卜 二 I E s 一ID k 卜 刀 k Z 1 l 态 1 k l 左 2 h t S P s 1 7 J k 1 1 D k 1 k 因此 求 一 个偶 数阶 反对称行列 式的值 可按上 述 方法对 刀 作合同变换使之 化为 B 即对月作合同变换化为B 其B同 命题1 只须注意 如对 刀 施 行第二类合同变换时 第 2 期 张慧教 偶数阶反 对称行 列 式的一 种计算法 其值扩大左 倍 这 时及时乘以 l k 即使行列式值不 变 见下例 例1 求 0 一 2 1段 04 一3 2 一 10 解 对1且l 施行第一种合同变换 即交换第 2 3 列 接着交换 2 3 行得 01 一 23 l只1 240 一2 l 一 3 一 120 施行第三 种合同变换 将第2列乘以2加到第3列上 同时将第二行乘以2加 到第3行上 得 0103 1AI 04 3 一 100 再将第 2 列的 一3 倍 第 2 行的 一 3 倍分别加到第 4 列第 4 行上得 00 月 0 一 4 41 2 O 一 1120 将第 1 列的一4倍 1 倍分别加到第 3 到第 3 4 行 仁得 4 列 上 同时将第 1 行的 一 4 倍 倍分别加 l刀 00 00 一 00 最 后 施行第二 种合同变换 将第 1 2 4 歹J 0 0 一12 0 第 4 行同 时乘以k 二 弃 这时 行 列式 A 扩大 1 乙 二 击仇 此 时及 时乘以 一协 一 144 左 不变 即相 当提公 因子1 2 又 22 得 一 0 1且卜 14 4 一 1 0 O 00 0 14 4 X l 144 8齐 齐哈尔师 范学院学报 自然科学版 第10卷 注 此例应 用命题 3 给出 了一般偶数阶反对称行列式的计算规律 叹土 nn U曰 11 11n U n村 1 1 用合同变换将 1月l 化为IB 2 只须注 意使用第二 种 合同变换的次数 每次乘以早二 如计算过程没使用第二种合 j 同变换 则 1月 B 等于 或1 以下利 用命题 3 讨论一 些特殊 反对称矩 阵的性质 01 一 1 0 1 1 二 i 厂尸 一 l l 命题4形如A 的 n 阶 n 为偶数 反对称矩阵的行 1 一 1 列式值等于 1 证 1 验证 n 二2 时 结论成 立 即 卫 土 一一 J 土 n 一一月 10 2 归纳假设 n 一2 阶形如上述 反对称矩阵的行列式结论成立 往证 n 阶 n 是偶数 结论成 立 由命题 3 令 1 1 1 又 块 一一 分一 一 11 l le s l 11 一1一1 10 00 0 0 2 二o 100 二o 了 11 lr e 一一 尸 1 1 le s 了 才 l 1土1上 J 土 八U 一 一 011 101 1 一1 0 1 一1一1 二 第 2 期 张慧敏 偶数阶反对称行 列 式的一种 计算法 l 1 一 l 一 o 一1 1 1 一1一l 一1 到 一 1 0 1 l e e 1 1 l 一l一1 一l一l An一2 口 2 1 矛 尸 IA n 尸 n I I 0 厂 01 10 O O 土n U l 尸 1 一1 一 10 1 l 1 一1 An 一2 O 口一2 一1 夕 一一 l lr a l r ell J r l l J JJ JILL 一一 由归纳假设 存在 n 一2 阶可 逆矩阵 T 一2 0l 1 一1 1 一1 0 1 0 1 一1 1 一1 1l 一1一1 IT 一 l 1 一1一1一1一1 0000001 八U l上 11一 1 1 5 1 1 七 一 一 使T 产 一2 通 一Z T 一 二 B 一2 土 0 一且 l月 一2 卜IB n一 卜 1 一 1 1 一 10 01 一 10 由 1 A l l月 n一 1 或 令 尸 1 T P 取尸 尸 1 尸 11八U 有 尸 产月 尸二 尸 2 O一2 I A P P OO O T 一2 A 一2 八 l o 竺 一 上 一 O 了 一2 火 八 日1 1 一 l e s l 尸 n 1土 lr el l 一一 10齐齐哈尔 师范学院学报 自然科学版 第10卷 卜 1 l 山 1 n U 土n八曰 I L 一 B Le e J 1 1 1nU U 1 1 一 一 一 一2 工n一 少 于是 尸 月尸 卜 尸l IA 二 又 尸1 故 IAI二 1 证毕 l le s e s 1 1 了 J aa 了 l a ao 命题 5 形如 月 B 而 BI O 口J 口 0 口 的偶数阶反对称矩 阵 的行列 式 的值 等于 a 11 1 0 几 一 一 事实1 二 刀 a 01 一1一1 a x a 命题6 形 如刀 二 一1 01 的偶数阶反对称矩 阵传可逆 一1一1 一 1 O 其刀 r 一 1 1O1 一l 110 一 11 1 一1 1 一1 1 1 一 I 一I J 1 一 1 刀 一 仍 是反对称矩 洲 产 0 1 土 其 F 主对角线上方 与主对角 线相邻且 平行线上的元 索都是 一1 下一条平行线上 的元 索都是 以后的平行线 同前两条交错出 现 上 述A 一 可 用数 学归纳法 按定义证之 证 明略 推论1形如上述刀 一 的反对 称矩阵的行列式 的值等犷 1 0 a 推 论2形 如 堂l 二 一 0 a 今O 的偶数阶反对称知 阵 l叮逆 1 1 第 2期 张慧敏 偶数阶反对称行列式 的一种计算法 其逆A l一 k A G n A 一 形如 命题 6 所述 以上提供的反对称行列式的合同变 换式计算法 可施行 到任意阶反对称行列式上 即相 当对行列 式IA 的行及列 同时应用行列式某种性质 在变换过程中保证每一合同变换不改变 行列式的反对称性 直到最 后变成最简单的反对称行列式 B 这样 计算目标明确 方法 易于掌握 且便于检验每一步骤是否有错误 比只对行或 列单独使用某种性质有规律性 且 行之有效 同时得到 奇数 阶反对称行 列式的值恒为零 偶 数阶反 对 称行列式的值或为零 或完全 由对 AI所施行的第二类合同变换决定 这种方 法也可用 来计算对称行 列式的值 其根据是数域F上任 一 n 阶对称 矩阵都能与一 个对角形 矩阵合同 见文 1 定理9 1 2 参 考文 献 张 朱 瑞 等 高等 代数 第3版 北 京 商 等 教育出 版 比 北京大学数学 力学系 高 等 代 数 北京 高等教育出版矛L 193 3 197 8 AC o mp u tatio na l M etho d o f A nti一sy mm etrie D ete rm in ant w ithE ve n N u mbe r O rde r Z h a n g 11uim in D epa rtoe Ito f卜 lat iematic s Ab stra et In thisp a p er withthe a id o f the e o n g r ue n t e a n a n ie a lfo l 一 m o f an tisym m e trie m a trix an d the m etho d e h an ging the c ongr u ente a n o n ie a lfo r 一 m ar e g u la re a l e u la ting m etho d o n th e d ete r min a ntva l ueo f antisym m etr ie m a trix with e 一 e n