北师大版数学22第二章 2导数的几何意义（学案）.docx

导数的集合意义学习目标1.通过瞬时变化率理解导数，能解释函数在某点处的导数的实际意义，会求简单函数在某点处的导数.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义，理解曲线在其上某点处的切线的概念，会求简单函数的图像在某点处的切线.知识点一导数的概念设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0时，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .思考(1)如何理解x，y?(2)求函数yf(x)在点x0处的导数的基本步骤是什么？答案(1)x是自变量x在x0处的改变量，所以x可正、可负，但不能为零.当x0(或x0，切线的倾斜角为锐角；f(x0)f(xb)b.f(xa)f(xb)c.f(xa)f(xb)d.不能确定答案b解析由导数的几何意义，f(xa)，f(xb)分别是切线在点a、b处切线的斜率，由图像可知f(xa)f(xb).3.在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()a.(0,0) b.(2,4)c.(，) d.(，)答案d解析y (2xx)2x，令2xtan 1，得x.y2，所求点的坐标为.4.已知曲线yx3上一点p(2，)，则该曲线在p点处切线的斜率为()a.4 b.2c.4 d.8答案a解析因yx3，得y 3x23xx(x)2x2，故yx2，y|x2224，结合导数的几何意义知，曲线在p点处切线的斜率为4.5.设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()a.1 b.c. d.1答案a解析y|x1 (2aax)2a.可令2a2，a1.6.如图，函数yf(x)的图像在点p处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于() a.2 b.3c.4 d.5答案a解析易得切点p(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.二、填空题7.已知函数yf(x)的图像在点m(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由在点m处的切线方程是yx2，得f(1)12，f(1).f(1)f(1)3.8.过点p(1,2)且与曲线y3x24x2在点m(1,1)处的切线平行的直线方程是_.答案2xy40解析曲线y3x24x2在点m(1,1)处的切线斜率ky|x1 (3x2)2.过点p(1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所求直线方程为2xy40.9.若曲线y2x24xp与直线y1相切，则p_.答案3解析设切点坐标为(x0,1)，则f(x0)4x040，x01，即切点坐标为(1,1).24p1，即p3.10.设p为曲线c：yx22x3上的点，且曲线c在点p处的切线倾斜角的范围为，则点p横坐标的取值范围为_.答案解析f(x) (x2x2)2x2.可设点p横坐标为x0，则曲线c在点p处的切线斜率为2x02.由已知得02x021，1x0，点p横坐标的取值范围为.三、解答题11.求曲线yx2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积.解由导数定义可得y|x12，曲线yx2在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，设它与两坐标轴的交点分别为a(0，1)，b(，0)，saob|oa|ob|.12.已知抛物线yx2和直线xy20，求抛物线上一点到该直线的最短距离.解方法一设p(x，x2)为抛物线上任意一点，则点p到直线xy20的距离为d2，所以当x时，d最小，最小值为.方法二由题意设直线xyb0与抛物线yx2相切，则x2xb0，由0得b，所以直线xy0与xy20的距离为d，所以抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为.方法三根据题意可知，与直线xy20平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则 2x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.13.已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.解(1)y 2x1，y|x13，直线l1的方程为y3(x1)，即y3x3，设直线l2过曲线yx2x2上的点p(x0，xx02)，则直线l2