圣维南原理及其证明.doc

圣 维 南 原 理 及 其 证 明：历 史 与 评 述 赵建中 云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明 650091 摘要 圣维南原理（Saint-Venants Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。 关键词 圣维南原理， 历史，图平定理， 证明，否证，数学表达，修正， 意义中图分类号：0343.2 AMS Subject Classifications: 74G50 引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了。早期有关原理有重要的文章。 波西涅克（Boussinesq）于 1885年、勒夫（Love） 于 1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。然而Mises 认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。Sternberg 赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。Truesdell 于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。 Zanaboni “证明”了一个定理，并称和圣维南原理有关。 图平（Toupin） 列举了更多的反例说明波西涅克和勒夫的一般性陈述不真，并建立了一个能量衰减的定理，这个定理被认为是柱体圣维南原理的数学证明，似乎具有里程碑的意义。Berdichevskii 推广了图平定理。诸多学者仿效着推导出一些定理来建立图平型衰减，并把原理推广到连续介质物理学的各个领域，诸如流体流动和热传导问题等，发展了许多方法。Horgan 和 Knowles 对原理的进展跟踪作了评论，其后又有不少新的工作。本文将对圣维南原理的发展历史作出综述，对最重要的结果加以评论。1.圣维南的思想： 1885年法国学者圣维南在研究柱体变形问题时发现，当把外力加载到等横截面长弹性柱体的两个端面时，除开端面附近的区域，柱体中横截面上的各点的应力与各点到柱体端面的距离无关。但是，根据弹性力学的数学理论，只有当端面的外力均匀分布时，柱体中才能产生这种均匀的变形。 圣维南是非常重视实际应用的工程师，他不研究没有实际应用价值的问题。实际结构中，外力均匀分布的情况很少发生。工程师和试验师通常只知道作用在梁端面上的外力的合力和合力矩而不能确定外力力系的分布。考虑到他的结果的实际应用，圣维南觉得有必要解释，为什么他的由特殊分布外力得到的结果可以应用到一般性的、难于求解或未曾求解的实际情况。为此他声称，作用在梁两端面上具有给定合力和合力矩的外力系的作用方式（即分布），除开端面附近以外，并不影响梁中的应力分布。端面分布着相同的合外力和合外力矩的所有梁问题的解，都随着离开端面的距离很快地趋近一个共同的解。这个解就是他自己给出的解。圣维南因推广他的弹性柱体扭转问题和弯曲问题的解而形成的思想是：对无体力的、侧面自由的、处在静力平衡状态的弹性柱体，如果端面的载荷被静力等效的力系所代替，柱体中除端面邻域以外的应力场和应变场将近似保持不变。 2 一般性的陈述、冠名为“原理” 对线性弹性力学，叠加原理对载荷和形变均有效，任意两个静力等效的力系之间的差是平衡力系，于是波西涅克和勒夫分别将圣维南的思想一般化，提出了和圣维南思想等价的陈述的两种形式，并冠以“圣维南原理”的称谓： 波西涅克陈述: 施于弹性体上的任意平衡力系，如果其作用点限于某个给定的球内，那么该平衡力系在任意一个与球的距离远大于球半径的点上所产生的形变是可以忽略的。 勒夫陈述：根据这个原理，由施于弹性体表面某一小部分的静平衡力系在距离大于该部分的一维线尺度的地方产生的应变是可以忽略的。 3. Mises 修改3.1.Mises 修改及Mises证明 因为波西涅克处理了半无限大空间的边界（）上作用着非平衡力系而远处的应力是小量的问题，所以Mises在文5中提出勒夫陈述不很清楚。他说“这种形式的陈述不太清楚。因为根据陈述施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态，谈及加上或减去一个非平衡力系可能是没有意义的。原理正确的表达方式可能是： 如果作用在物体上的力局限于物体表面的若干小部分上，所有部分都包含在一个半径为的小球内，那么，当每个小部分上的力系为平衡力系时，产生于物体内离所有这些小表面都为有限距离处的应变和应力的数量级小于各小表面上的力系为非平衡力系的情况。” 他接着说：“如果这个陈述为真，它必须能够用数学予以证明。也就是说，它必须是弹性理论基本微分方程的结果。但是在通常的教科书里没有尝试提供任何证明。大多数教科书里举出的是波西涅克的结果，以此作为对它证明的参考。但是，波西涅克处理的半无限大空间的边界（）上作用着的是法向力。波西涅克证明了，如果外力系作用于点且，当外力合力为零时，物体中点上的应力的数量级为，而当力系的合力矩也同时为零时，该点上的应力的数量级为。下面我们将证明，如果在点上允许作用切向力分量，一般来说情况并非如此。从实际应用的观点看，本文主要的结果是：如果所有的力都是平行的，而且不沿物体表面的切向，圣维南原理是适用的，但原理不能用在更加一般性的条件下。” Mises 推出在半无限大体表面（）点作用着外力分量（）时，半无限大体内（）点上的平均正应力的公式： 从公式中看出：“如果 和 的数量级是，我们可以得到结论：如果合力分量，为零，（）处的应力（和应变）的数量级为；当且仅当6个线性距，也为零时，（）处的应力（和应变）的数量级才为。平衡力系的情况，也就是= = 0 ，一般来说并没有超越上述6个线形距的条件（in no way distinguished）。只有当所有的力都互相平行，或者垂直于物体边界面，或者和边界面斜交不为零的角度，三个平衡条件才包含（6个线形距中的）另外三个条件。一般而论，当且仅当作用在物体表面小部分的外力转动任意角度时仍然保持处在平衡状态（无定向平衡，astatic equilibrium），物体内部的应变才减至数量级。” 这就是说，一般而论，当边界上作用着平衡力系时，物体内点上的应力的数量级为，和作用着合力为零但合力矩不为零的非平衡力系的情况下应力的数量级相同而不是更小。也就是说，物体内部的应力要减至数量级，平衡力系的条件是不充分的，还需要具备特殊的条件。这就证明了，Mises自己提出的修改的圣维南原理并不一般性地成立。一般地，只有当力系是无定向的平衡力系时，物体内点上的应力才具有的数量级。这可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。 Mises还以圆盘问题为例证明，他的修改的圣维南原理也不成立。由此他认为，圣维南原理不能推广至有限大物体。3.2. Sternberg的证明 Sternberg 在文6中赞同Mises 对波西涅克和勒夫陈述进行澄清和修改的观点和做法。他说：“正如Mises 指出的，上面的陈述需要澄清，因为陈述要求施加给静止物体的力在任何情况下都必须处在平衡状态。只有当物体延伸至无穷，而且我们需要无穷远处的应力衰减为零时，谈及由施加于物体表面的有限部分的非平衡力系产生的应变才有意义。而且，在这种情况，无论载荷是否是自平衡的，由给定载荷产生的应变在离加载区域足够远的各点是任意小的。另一方面，在无体力的情况下，选择载荷足够大或足够小，弹性体中固定点的应力和应变可以任意大或任意小。这些观察事实进一步确认了澄清陈述的需要。” Sternberg举出了Mises 修改陈述, 然后说：“应该指出，这样一个解释隐含在通常的圣维南原理的应用当中。而且，从波西涅克证明原理的努力明显地看出，这就是他头脑中的思想。为了达到证明的目标，波西涅克考虑集中力垂直作用在具有平面边界的半无限大体。他证明了，如果载荷作用点处在半径为 的小球内，只要作用力的合力为零，物体内固定点的应力分量具有 的数量级； 而如果作用力的合力矩也为零，则该点的应力分量具有 的数量级。” “1945年Mises 在他的对该问题的启发性的（illuminating ）论文中，用两个特例证明了，如果不具备有利的条件，恰当地澄清了的原理的通常陈述不可能成立。Mises 选择的两个例子是三维半空间的问题和圆盘的二维问题，两个问题的载荷都是集中力表面载荷。在这两个例子的基础上，Mises 提出了一个改进的（amended）原理。” “本文的目的是要对Mises 修改的（modified）圣维南原理提供一个一般性的证明。论证针对分片连续的外力，然后延伸到集中力的情况。论证对任意连接的有限域和无限域均成立。” Sternberg 考虑任意连接而成的（即不需要单连的条件）正则区域B。外力分布在B 内的互不相交的m 个相邻的闭域中，所有的闭域都位于一个半径为的小球内。除非B 的边界D 延伸至无穷远，每个闭域中的力都应该是平衡力系。 Sternberg 采用的度量是体积膨胀率，讨论物体内载荷区域 （ 是载荷区域的半径）外的Q 点的体积膨胀率，得到的结论是：（a） 如果外力的合力不为零（考虑无限大体），即FT 时，一般而论 。（b） 如果 F， 则 或更小。（c） 如果 F，T, T, 则 或更小，式中 ，是文中引入的两个径矢参数。（d） 如果外力是平衡力系，即 F，M，则 或更小。 “于是，如果上的力系是自平衡力系，则 或更小。这个结论和引言中的圣维南原理的传统陈述的解释相矛盾。根据传统的陈述，当上的力系是自平衡力系时，的数量级应该总是比上的外力为非自平衡力系时要小。”于是，Sternberg 的工作可以看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，但也可以看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明，因为从（c）的条件可以导出（d）的条件方程，反之则不然。4.从理性力学角度提出圣维南原理证明问题1959年Truesdell 指出：“数学是研究材料的强有力的工具，不仅可以从已接受的理论预测结果，而且可以在建立新的经验模型时清晰地界定概念。” 他指出：“第一个足够好的关于扭转的理论是圣维南的。许多关于力学概念的最精细的研究会聚起来构造了该理论的基础。”其后对这些研究进行了综述。 Truesdell指出：在Fresnel 和Navier 的思想影响下，Cauchy 建立了小弹性形变的一般性的线性理论，“在这个理论中，要解决扭转问题就必须知道轴端面上的应力或位移分布，而实际应用中这些信息是不可能得到的。然而，轴的扭转变形或多或少地与这些分布无关。这个事实启发了圣维南，他构建了一个扭转问题的漂亮的特解，并且设想，在端面载荷和该特解所设的不一样而仅只是和它静力等效的情况下，用该特解来作为扭转问题的结果是足够精确的。这样一个推广为关于等效载荷的圣维南原理的思想，对线性弹性力学带来一个重要的问题，因为如果其结果为真，它必须是一般方程的数学推论。” 这样一来，Truesdell就从理性力学的视角原则而明确地提出了圣维南原理的数学证明问题或圣维南原理数学证明的任务。5. Zanaboni定理：“柳暗花明” 在Mises 、Sternberg 和Truesdell 明确地提出圣维南原理的证明问题之前，Zanaboni 于1937年发表了一个定理来处理任意形状的物体中能量衰减的问题。这个结果在圣维南原理的历史上有着重要的影响，因为它首次应用了功和能作为讨论的度量，而在此之前的工作，包括著名的Mises修改，都是以应力和应变作为度量而研究的。在研究碰到困难、一片沉寂的情况下使人们重新建立起信心，看起来是独辟蹊径，开创了一条用应变能衰减来解决圣维南证明问题的路子。特别是，Zanaboni定理给于图平以重要的启发。Zanaboni定理为： 设任意形状的弹性体中的小球加载任意的平衡力系 , 和是球以外的两个互不相交的任意截面，离开比更远。物体被截成两个部分，作用在上的面分布力为，并设为仅有作用时由其单独引起的两个部分中的总应变能。同样，和分别表示了面上的面分布力和由它单独诱发的两个体积中的总应变能(见 图1 )。 对这样的弹性体，Zanaboni 给出 . (5.1) 作者的证明如下： 设物体 由下列步骤建成(见图2 )：第一步，对 加载 力系。第二步， 和 分别加载表面力系。选取使得变形的面 和 精确地互相吻合，以至于和中的质点不仅应力连续，而且位移也连续。第三步把和连为一体，仅仅为界面。这样拼接的结果相当于把和在自由状态下连接起来，然后对组合体加载平衡力系。 于是 (5.2)式中 是 中的应变能, 是 在第一步所作的功， 是 在第二步中对作的功， 是假定 处在自由状态下对作的功， 是 对 在第二步中由引起的位移上作的功。 其后应用最小余能原理。设想以 的比例增加，于是 和 分别增至 和 ，因为载荷和形变都分别增至原值的倍。 将增至 ，因为不变而形变将增至原值的倍。于是， 将变为 . (5.3) 的增量为 (5.4)由(5.4)式，取极小的条件为 (5.5)代 (5.5)式 入(5.2)式, Zanaboni得到 (5.6) 对和 (见图1)重复使用（5.6）式, 有 ， （5.7） （5.8）让（5.7）式和（5.8）式相等，得到 . （5.9）因为是正定的，所以由（5.9）式有 ， （5.10）按图1所示改写（5.10）式即证得(5.1) 式。6. 本文对Zanaboni定理的评述 Zanaboni定理不成立，因为定理的证明是错误的。证明的主要错误是最小余能原理的误用，其次是混淆了功和能，详情见附录A。7. 图平的工作、图平定理（Toupins theorems）7. 1. 图平在文11中对勒夫陈述提出了新的反例。图平用两个例子说明，柱体的几何形状对物体形变有重要的影响，以至于物体内的应变并不衰减。例如，把任一小而非零的纵向力系施加到矩形横截面长柱的一端，在任何离该端有限远的狭缝附近，其应变具有任意大的量值。图平还复述了Mises在文5 中提出的反例。图平提出，对圣维南原理的定量处理需要包容这些定性的、直观的观察事实。图平指出，圣维南的弹性静力等效载荷的原理只对规则的柱体成立，勒夫给出的对任意形状物体的圣维南原理的广泛性陈述可能不真，圣维南本人曾间接地提出过警告。图平于是讨论了体积域为、仅在近端加载任意平衡力系、无体力、常横截面、半无限长弹性柱体的问题，该问题的平衡方程是 （7.1）应力边界条件是 , (7.2) (7.3)以及 (7.4)（式中 ）。 图平从问题的基本方程出发，推出 (7.5)式中 为特征衰减长度。然后，图平选择.当为正值时的最小值 (7.6)由 (7.5) 式出发证明了能量衰减的不等式 (7.7)式中是储于超过离开平衡力系载荷的距离的部分柱体的应变能，是柱体总应变能，是特征衰变长度最小值， 是横截面和 之间的长度距离，选择来使得取一个小值。式（7.6）中 ， （7.8） 和 分别是最大和最小弹性模量，它们的定义是 ； （7.9）是物体的质量密度；是横截面和 之间的柱体的一小段的自由振动的最低特征圆频率。 为了对应变进行估计，又给出一个不等式 (7.10)式中 是一个固体球的形变能， 是球体的体积， 是物理常数， 是球体中心的应变。等价于 (7.10)式的应力估计的式子在文12中给出。 本文中分别称不等式(7.7)和 (7.10)为图平定理1 和图平定理 2。 我们可以从图平文章的论证逻辑的角度推知，图平认为他的两个定理可以解决他作为反例提出的问题。从文章的标题可以看出，他认为这两个定理是圣维南原理的数学证明或数学表达。7. 2. 图平在文12中首先称圣维南是19世纪最著名、最杰出的工程师之一，并引用了Pearson发表在Nature上的对圣维南的介绍和评价，然后追溯了圣维南独特思想的起源以及演进的过程。 图平在文中称勒夫陈述为“经典的原理”（Classical Principle）或圣维南原理的传统陈述（trditional statemant of the Saint-Venant Principle），举出一个形如长音叉的弹性物体的反例。设等大反向的一对力分别作用在音叉的U形部分前端的两个端头，在离开前端最远的U 形根部附近的应力比音叉内任何地方的应力都要大。图平说：“从这个例子人们可能会认为，原因在于加载的表面部分（无论其多么小）不是单连的。所以，加上单连体这个条件，原理的表达就可能正确。然而，从下面的例子可以看出，情况并非如此。” 于是，图平举出两个单连体的例子，就是在文11中举出的例子，其中一个是矩形横截面柱体中存在狭缝的反例。 另一个反例中，梁由一块狭长的、水平的薄连接板（a thin web）和两个椭圆横截面的粗大瓣柱 (two massive lobes) 构成， 连接板的上下两个面各自并接一个瓣柱。在梁的一端的横截面的两个瓣叶上分别施以合力矩M 和-M以满足勒夫陈述的所有条件。设梁的长度是横截面线度的许多倍。选择板的厚度足够小，任意远离载荷端面的薄板中的一点P的应力和载荷端面邻近的类似点 P 的应力之比可以无限接近于1，是一个难于忽略的比率。他总结说：“面临着如此多的对圣维南原理的传统陈述的反例，我们必须承认，该陈述中存在着某种错误。在力学文献中我们在这里因尊重传统而称为原理（principle）的圣维南的思想有着各种不同的称谓，称为公理（axiom)、公设（postulate）、假设（assumptions）或者定律（law）。现在需要的不是新的原理或新的假设，而是逻辑地从已经建立的弹性形变的数学理论导出的定理。这些定理应该以精确的方式反映圣维南提出的柱体或更一般的物体中应力场的共同性质。” 在介绍了Zanaboni 定理后，他说：“我们从Zanaboni 的结果得到的主要思想是，虽然我们知道不可能期待应力逐点值总是随着离物体表面的负载部分的距离而衰减，但是我们可以预期平均应力的某个恰当的度量(measure)总是衰减的。弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能。有可能把Zanaboni 定理的结果精细化，导出弹性能随着离开弹性体表面负载部分的距离减小的衰变率。” 上面的语句充分地反映出图平建立他的定理的思想。文中图平介绍了他自己在文11中得到的两个定理。 8. 本文对图平理论的评论从上节末所引的图平的语句看出，图平从Zanaboni那里接受的主要思想是：（1）“不可能期待应力逐点值总是随着离物体表面的负载部分的距离而衰减，”这意味着对波西涅克和勒夫陈述的质疑或否定。（2） “我们可以预期平均应力的某个恰当的度量总是衰减的。” 这意味着要用“平均应力的某个恰当的度量”来代替“应力”研究“衰减”定理。（3）“弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能。” 图平认为“有可能把Zanaboni 定理的结果精细化，导出弹性能随着离开弹性体表面负载部分的距离减小的衰变率。”图平就是按照这样的思想建立他的理论的。图平似乎是想用他的定理来取代波西涅克和勒夫陈述，作为圣维南原理的表达，而且是定量的表达，采用的度量是弹性能。 我们提出以下观点：（1） 研究“平均应力的某个恰当的度量”的衰减是具有力学价值或工程学价值的，“弹性体中任一部分的平均应力最自然的度量是储存在该部分的弹性能”也是可取的。问题在于，图平定理考虑的储能体积大小是递减的而不是固定不变的，图平不是对等量的体积中的弹性能进行比较，因而定理中弹性能的衰减不反映平均应力的衰减。（）波西涅克和勒夫陈述是和圣维南思想等价的。虽然研究“平均应力的某个恰当的度量”的衰减也是有意义的，但那已经不是在讨论圣维南原理了，然而可以认为是研究“平均应力的某个恰当的度量”的圣维南型衰减。图平定理1没有表达圣维南原理，因为定理表达的是能量随储能体积递减的衰减而不是应力、应变或应变能密度的衰减。图平之后许多作者声称讨论圣维南原理，而实际上推导图平型衰减公式，其误解的源头就在于此。图平把图平定理1和图平定理2合起来进行应变的逐点估计来讨论圣维南原理，他说：“给出的这两个不等式提供了物体内部各点的应力的上界。” 由此看来，图平似乎又偏离了他关于“平均应力的某个恰当的度量”的思想，默认了圣维南衰减是应变从而是应力的衰减，也就是默认勒夫 陈述的合理性，或勒夫陈述与圣维南思想的等价性。勒夫 陈述是一个可以否证的假命题，图平自己也举出了反例，而图平定理是可以证明的真定理。逻辑地，图平定理表达的应该是勒夫陈述的反面或否定。有趣的是，正是从图平定理出发，本文附录B否证了勒夫陈述，或一般的圣维南原理。图平把他的工作称作是“圣维南原理的证明”，是过于牵强了。为了从数学的角度进一步说明勒夫陈述是个假命题，本文还在附录B给出了又一个有关图平问题的圣维南原理的否证。图平理论没有证明圣维南原理，也就是说，图平定理不是应力、应变或应变能密度随离开平衡力系外载荷的距离衰变的定理，也没有给出无限远处应力、应变或应变能密度极限为零的公式。如果我们放松要求，按照图平的思想，采取“平均应力的某个恰当的度量”，以积分或平均值作为度量，图平理论也是不合格的，因为由图平定理推不出诸如横截面能量积分、能量密度面平均值、能量密度平均值之类的圣维南型衰减。用图平定理作逐点估计，无论是直接应用还是结合其它作者的结果（其他作者的结果将在第 9 节给出），都存在不可克服的困难。必须指出，图平理论还存在着自身的困难。图平定理选取了一个极端的、最大衰减率的解而避开了不利的解，因而定理是不能覆盖能量衰减率谱的，也是不客观的，图平理论不是一个严格的数学理论。本文附录B给出了完全覆盖能量衰减率谱的图平定理，该定理告诉我们，能量衰减的最重要的原因是储能体积的递减。涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录B中给出。 9. 其它作者结合图平定理发展的逐点估计、本文对各种逐点估计的评述 应用图平定理，一些作者给出了逐点估计的公式，在此集中讨论。9.1 Flavin 提出的逐点估计的公式9.1.1 Flavin 指出，图平定理对下面的柱体问题仍然成立：柱体的侧面是曲面而且固定 ， 近端（）加载的力系不一定是自平衡力系，远端（ ）满足的条件使得 , 理解为高为、侧面为曲面且固定、端面自由的柱体片段的最小自由振动频率。他给出了柱体中位移梯度的逐点估计的公式： (9.1)式中 是 完全包在柱体中的半径为、以距离 远离加载端的球体的中心点的位移梯度； 是超越距离 的柱体部分的应变能，用图平定理1表示。. 9.1.2 本文认为Flavin估计的主要困难在于（9.1）式没有覆盖柱体部分 （）（在该域中没有定义），因为用来作估计的球体要求完全包在柱体当中。 如果 取常数值，我们得不到任何关于这有限部分柱体的知识。 如果 为变量且，对有限长柱体当 时位移梯度将趋于无穷，对无限长柱（9.1）式为不定式，位移梯度不能确定。9.2 Horgan 和 Knowles 提出的逐点估计公式9.2.1 Horgan 和 Knowles 在近端（）加载、其余边界自由的各向同性柱体内建立了一个应力逐点估计的公式 (9.2)式中 , 是柱体内 点的应力， 是剪切模量, 是点 到柱体边界的距离， 是超过距离 的柱体部分的应变能。和图平定理1或者Berdichevskii 的结果（见后）相结合，认为（9.2）给出柱体内的应力逐点估计。9.2.2本文认为，（9.2）式中应力要取实数值，需要条件 (9.3)如果用图平定理1来表示,条件 (9.3) 是不能保证的，因为（7.7）式中含有不等式。如果认为 (9.3)式 总是为真，那就等于承认储能体积的递减是图平定理中的能量衰减的唯一原因。9.3 Roseman提出的逐点估计公式9.3.1 Roseman推导出一个柱体内的应力逐点估计的公式。该公式不仅适用于柱体内部，而且适用于柱体边界，表达为（也见 14）：: (9.4)式中 和 为两个普适的正常数，仅仅取决于横截面的几何形状和参数，而与载荷、物理常数 和 、柱体长度以及点的坐标无关。这些特征使得 (9.4)式 区别于 (9.2)式。（9.2）式的 依赖于 而且只对柱体内点适用。据作者称，和图平定理1结合，（9.4）式对柱体全域给出应力的逐点估计。9.3.2本文认为，严重的困难在于 在域 没有定义。而如果由于数学不确定性取任意值，（10.4）式不能保证 取实数值。 如果要导出 (9.5)必须从图平定理以外借用关于柱体行为的假设， 比如 (9.6)或 , (9.7)式中 。然而，无论采用两个假设中的哪一个，都必须使柱体延伸得比要长。 10. Berdichevskii定理： Berdichevskii在文13中的思想是要推广图平等截面柱体能量衰减的定理。他 研究了笛卡尔坐标系中的任意形状、几何线形、非均匀、各向异性、物理非线性的弹性体, 物体 无限延伸部分自由， 有限大部分加载。用表 处的有界横截面，它把物体分成两部分，以远部分的体积域用 表示。令能量泛函为 （10.1）其中是应变能密度，是以远的体积中的应变能。再令 (10.2)（式中取下确界值考虑到表面载荷 的所有可能的值）， Berdichevskii证明了能量衰减定理 , (10.3) Berdichevskii的证明如下：事实上，由(10.2)有 (10.4)利用公式 (10.5)和 (10.4) 得到 (10.6)由(10.6)导出(10.3)。 由于讨论的弹性体的几何形状和物理性质，Berdichevskii定理被看作是图平定理的推广。 Berdichevskii其后推导了常数和，并推导出用和对进行估计的公式。然后对杆估计了常数，用估计了均匀各向同性半无限圆截面杆的能量衰减率，以及锥形体的能量衰减率。11.本文对Berdichevskii定理的评论本文认为，Berdichevskii定理是从普适的方程导出的，因此是成立的。但是Berdichevskii 理论并没有证明圣维南原理，因为定理独立于圣维南原理所规定的特殊条件（由勒夫陈述表述）之外，所以Berdichevskii 定理太一般以至于和圣维南原理的表达这个特殊问题无关。事实上，赵建中指出Berdichevskii定理对悬臂梁问题的解成立，而悬臂梁的能量密度是递增的。而且，当时，能量衰减率.Berdichevskii 定理是图平定理的推广，正因为如此它就比图平定理更难和圣维南原理发生联系。Berdichevskii 理论也不是一个严格的数学理论，存在着许多随意性的处理。尽管如此，(10.1)、（10.2）和(10.5)式以及定理的证明比图平理论更为清楚地暴露出，图平能量衰减的本质原因在于储能体积的递减，而不在于能量密度的衰减，从而客观上为我们理解图平能量衰减的本质提供了有益的启示。同样有趣的是，类似于图平定理，由Berdichevskii 定理可以否证一般的圣维南原理。 涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录C中给出。12. 模型问题（The Model Problem）：借类比而推广 图平的能量衰减的思想和图平的理论逐渐为人们普遍接受，建立图平型的定理形成了一股潮流。不少作者认为，对图平定理的推广就是对圣维南原理的推广，从而把图平定理推广到连续介质物理学的广泛范围内。Horgan 和 Knowles提出了一个边值问题 , (12.1), （12.2）, (12.3), (12.4） , (12.5)式中 是长度为的柱状域, 其边界为 , 为 处的端面， 为处的端面, 满足“自平衡”条件 . (12.6)式（12.6）是一个类比平衡力系的方程，因而这是一个借类比来讨论圣维南原理的问题。这个定解问题不仅可以方便地表达一个温度场边值问题，还可能有多种不同的物理解释，应用到多个不同的物理问题，堪称“模型问题”。 Horgan 和 Knowles 应用Knowles方法，首先定义了能量泛函 (12.7)其中为的柱体区域。其后，导出了 (12.8)式中 是诺埃曼问题（Neumann problem） (12.9) (12.10)的最小正本征值。式(12.10)中的是端面的边界。选择 (12.11)(12.8)式变为 (12.12)由(12.12 )， 证得能量衰减不等式 (12.13) 13. 本文对模型问题（The Model Problem）的评论 Horgan 和 Knowles 定义了能量泛函，导出了能量衰减不等式，然而，不补充别的假设，能量衰减不等式不能给出“能量密度” 的衰减。Horgan 和 Knowles 给出了逐点估计，这个逐点估计的主要困难在于公式不能完全覆盖整个柱域。由（12.8）式导出（12.12）式的条件是，这就是说，模型问题应该给出Phragmen-Lindelof 型定理。Horgan 和 Knowles排除了负值能量衰减率，然而，排除这个能量递增的解需要提出先验性的假设（a priori assumptions ），或者对能量泛函的渐进性质提出某种控制，两位作者没有任何交待和论证。事实上，本文找到了模型问题圣维南型衰减的形式解（见附录D）。存在着模型问题圣维南型衰减的形式解，Horgan和Knowles却疏忽了，一方面让这个解擦肩而过，另一方面却舍本逐末，去寻求问题的图平定理。这种思维似乎让人难以理解，却反映出图平理论对西方学者的超常影响。Horgan和Knowles提出的模型问题的定解条件中， 有不属勒夫陈述的圣维南原理的条件（12.5）。当讨论圣维南原理的时候，这是一个补充条件或附加条件。 以类似的思路我们发现，在特殊的条件下（相当于附加了条件），圣维南型衰减对模型问题确实存在（附录D中给出了实例）。Horgan 和 Knowles提出高阶能量的概念，由此给出横截面估计以及逐点估计。很明显，要建立高阶能量不等式，需要具备更多的条件， 这些条件是由定解问题.的特殊提法保证的。Horgan 和 Knowles应用的是 Knowles 方法，理所当然地带有 Knowles方法的特点和困难。有关 Knowles 方法的评介将在14、15两节给出。本文通过对模型问题的分析，至少还可以得到以下两点认识：（1） 具体地看到圣维南型衰减和图平型衰减的数学表达是不同的，是不能混淆的。（2） 虽然勒夫陈述的圣维南原理的一般形式不真，修正的（附加条件的）圣维南原理是可以证明为真的。 涉及本节评论的数学推导和讨论的细节均在附录D中给出。14. Knowles方法（Knowles Technique）由Knowles 发展的方法广泛地应用来建立能量不等式，文14 中对模型问题的讨论就是一个例子。Knowles方法的主要步骤是：定义一个能量泛函，构建一个能量泛函的一阶微分不等式，然后选择不等式中的常数（衰减率）使得不等式变为齐次，由这个齐次不等式解得能量衰减不等式。14.1现在对文23作简介，以便体现Knowles方法的步骤。 Knowles讨论了一个平面问题，证明了一个定理。Knowles定理： 设 （14.1） （14.2）式中 是应力函数；是弹性体的有限平面域， ；物体边界， 是 的有限边界部分，其上作用着平衡力系外载荷； 是 边界部分，该部分自由。 则有 （14.3）式中泛函定义为 （14.4） 为横截面 ， . （14.5） Knowles的证明如下： 定义 ， （14.6） 然后推出 （14.7） 由（14.7）式，有一个正零点 ， （14.8）选择这个值，使（14.7）式变为 ， （14.9）由该式得 （14.10） 由（14.6）式有 ， 于是由（14.10）式有 （14.11）其后，Knowles 推得 ， 于是加上 （14.8）和（14.11）有（14.3）。定理得证。14.2 Knowles 和 Sternberg 用Knowles方法处理了回转体的扭转问题，Horgan 和 Knowles 重述了主要的结果。（1） 文 24对回转体轴对称扭转问题给出能量不等式:, (14.12)（2）文中给出应力的逐点估计 ， (14.13)（3） Knowles 和 Sternberg 给出圆柱问题的解 (14.14) , (14.15)14.3 Knowles 用他自己的方法处理一类椭圆边值问题的圣维南原理，该边值问题是 (14.16) , , (14.17)应用他的方法，Knowles 建立了 (14.18)以及二阶能量衰减。 15.本文对Knowles方法的评论本文认为，Knowles方法的特点是：(1) 方法建立的是图平型能量衰减而不是圣维南型能量密度衰减。（2） 方法处理离散的能量衰减率谱而不是连续的能量衰减率谱。（3） 方法应该给出Phragmen-Lindelof 型定理。在14节举的例子中，由（14.7）式可以选择 和 ，也就是（14.9）不等式对 和 都成立。于是问题应该有能量衰减定理和能量递增定理两个解。Knowles排除了能量递增，理由没有交代。本文作以下分析： （A）如果以能量衰减为预设条件来排除能量递增，那Knowles是以能量衰减为前提来证明能量衰减，是一种循环论证。或者讨论的是这样的问题：如果能量是衰减的，衰减不等式采取什么形式？显然这不是一种证明。 （B）如果以能量衰减为认定事实，认为能量递增是不合理的增解，那就意味着储能体积的递减是能量递减唯一可能的解释。 Knowles 方法的另外两个实例Knowles 和 Sternberg 以及 Knowles 进一步显示出圣维南型衰减和图平型衰减的区别以及Knowles方法的特点和问题。附录E给出对这两个实例的评论细节。 16. Horgan 和 Knowles 的综述 Horgan 和 Knowles以及Horgan单独跟踪圣维南原理的发展历史分三个阶段作了综述，现分别把三篇文章的主要内容作一简介。16.1.有关文14的简介 Horgan 和 Knowles在前言中对圣维南原理的历史从圣维南的工作和研究报告直到图平1965年的工作作了简介，然后说： “与这些弹性理论中的和圣维南原理有关的问题类似，在数学物理的其他分支也有可能提出相应的问题。自1965年以来引入的许多思想和技术在由拉普拉斯方程控制的流动基本问题的背景中找到了其最简单的表达，本文第二节给出了这种简单设定情况下这些思想和技术的详细的陈述。严格的（区别于诸如壳的近似理论的）线性弹性理论框架内的圣维南型的若干原理是第三节讨论的问题。第四节讨论和圣维南原理其他方面有关的工作，比如非线性的影响、二维弹性薄壳理论中出现的一些特殊现象、热扩散或瞬变热传导问题中的圣维南原理、以及对粘弹性材料的推广。在讨论的过程中，特别是在第三节和第四节，我们将指出一些未解决的问题。 存在着圣维南问题的若干方面，这些方面有别于我们观念中的圣维南原理，正在受到关注，然而我们这里并不打算进行综述。方面之一是处理圣维南解的最小能量（或相关量）的特征化（比如Shield 和Anderson，1966；Sternberg 和Knowles， 1966； Maisonneuve，1971；Ericksen，1980）。问题之二关注Trusdell （1959，1966，1978）提出的柱体端面外力的改变对适定的扭转模数的影响问题，这些问题中柱体端面外力在产生给定扭矩的限制范围内变化。最后，虽然我们确实对处理非线性对应力衰减的影响的某些结果作了评述，但是我们确实没有考虑圣维南柱体问题原型在有限弹性力学中的等效形式（见Ericksen，1977 1979；Muncaster，1979）。” 就是在这篇综述中，Horgan 和 Knowles提出了模型问题（柱体中的流动问题）并进行了讨论。 16.2.有关文15的简介 Horgan在文中再一次讨论了文14中提出的模型问题，不过这次讨论的是二维的模型问题，称之为“拉普拉斯方程的模型问题（A Model Problem for Laplaces Equation）。 其后，Horgan对1981年以后圣维南原理的进展按问题分类地进行了综述。这些问题是：各向同性材料的平面形变、各向异性材料和复合材料的平面形变、三维问题、非线性效应、时间相关问题。 在结语中，作者称：“本文中我们试图考察自19