北师大数学选修12第三章 4 反证法（教案）.docx

第四节 反证法学习目标1.了解间接证明的一种基本方法反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系.知识点一反证法的定义在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法.知识点二反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q导致逻辑矛盾思考分析反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现几种情况？答可能会出现以下三种情况：(1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾；(2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾.题型一用反证法证明“至多”“至少”型命题例1已知x，y0，且xy2.求证：，中至少有一个小于2.证明假设，都不小于2，即2，2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2与已知xy2矛盾.，中至少有一个小于2.反思与感悟对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.跟踪训练1已知a，b，c，dr，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.证明假设a，b，c，d都是非负数，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.这与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数.题型二用反证法证明不存在、唯一性命题例2求证对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线c：3x2y21的交点a、b关于直线yax(a为常数)对称.证明假设存在实数k，使得a、b关于直线yax对称，设a(x1，y1)、b(x2，y2)，则有(1)直线l：ykx1与直线yax垂直；(2)点a、b在直线l：ykx1上；(3)线段ab的中点在直线yax上，所以由得(3k2)x22kx20.当k23时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意.由、得a(x1x2)k(x1x2)2由知x1x2，代入整理得：ak3，这与矛盾.所以假设不成立，故不存在实数k，使得a、b关于直线yax对称.反思与感悟证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便.跟踪训练2求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面和一点p.求证：过点p与垂直的直线只有一条.证明如图所示，不论点p在内还是在外，设pa，垂足为a(或p).假设过点p不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线pb，设pa，pb确定的平面为，且a，于是在平面内过点p有两条直线pa，pb垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立.题型三用反证法证明否定性命题例3等差数列an的前n项和为sn，a11，s393.(1)求数列an的通项an与前n项和sn；(2)设bn(nn)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解设公差为d，由已知得d2，故an2n1，snn(n).(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rn，2pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.反思与感悟(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.跟踪训练3已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根.证明假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根.1.证明“在abc中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()a.三角形中至少有一个直角或钝角b.三角形中至少有两个直角或钝角c.三角形中没有直角或钝角d.三角形中三个角都是直角或钝角答案b2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()a.有一个内角小于60b.每一个内角都小于60c.有一个内角大于60d.每一个内角都大于60答案b3.“abc.ab d.ab或ab答案d4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()a.a不垂直于c b.a，b都不垂直于cc.ab d.a与b相交答案d5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数.设a2n1(nz)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.1.反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)2.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.(