第二章 2.2.1.docx

2.2.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点f1，f2上，把笔尖放在点m处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：|mf1|mf2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|mf2|mf1|常数，可得到另一条曲线.思考2已知点p(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点p的轨迹是什么图形？(1)|6；(2)6.答案(1)|表示点p(x，y)到两定点f1(5,0)、f2(5,0)的距离之差的绝对值，|f1f2|10，|pf1|pf2|6|f1f2|，故点p的轨迹是双曲线.(2)表示点p(x，y)到两定点f1(4,0)、f2(4,0)的距离之差，|f1f2|8，|pf1|pf2|60，b0)1(a0，b0)焦点f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|2c，c2a2b2类型一双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中的焦点三角形例1(1)如图，已知双曲线的方程为1(a0，b0)，点a，b均在双曲线的右支上，线段ab经过双曲线的右焦点f2，|ab|m，f1为双曲线的左焦点，则abf1的周长为_.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是f1、f2，若双曲线上一点p使得f1pf260，则f1pf2的面积为_.答案(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义，知|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a.又|af2|bf2|ab|，所以abf1的周长为|af1|bf1|ab|4a2|ab|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得|pf1|pf2|6，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60，所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|pf2|，所以|pf1|pf2|64，|pf1|pf2|sinf1pf26416.引申探究本例(2)中若f1pf290，其他条件不变，求f1pf2的面积.解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2a6，所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36.在rtf1pf2中，由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)2100.将代入得|pf1|pf2|32，所以|pf1|pf2|16.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|，|pf2|，|f1f2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|pf1|pf2|的值；利用公式|pf1|pf2|sinf1pf2求得面积.(2)方法二：利用公式|f1f2|yp|(yp为p点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|pf1|pf2|2a的变形使用，特别是与|pf1|2|pf2|2，|pf1|pf2|间的关系.跟踪训练1已知f1，f2分别为双曲线c：x2y21的左，右焦点，点p在c上，f1pf260，则|pf1|pf2|等于()a.1 b.4 c.6 d.8答案b解析设|pf1|m，|pf2|n，由余弦定理得|f1f2|2m2n22mncosf1pf2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即|pf1|pf2|4.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例2已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b，根据两圆外切的条件 |mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|, 因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|2，这表明动点m与两定点c2，c1的距离的差是常数2且26|c1c2|.根据双曲线的定义，动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点m的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21 (x1).反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.跟踪训练2已知动圆m与圆c1：(x4)2y22外切，与圆c2：(x4)2y22内切，则动圆圆心m的轨迹方程为()a.1(x) b.1c.1 d.1答案a解析设动圆m的半径为r，则由已知得|mc1|r，|mc2|r，所以|mc1|mc2|2.又c1(4,0)，c2(4,0)，所以|c1c2|8，所以20，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625).因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)双曲线经过点m(0,12)，m(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).因为点p(3，)，q(，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为ax2by21(ab0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).点p(4，2)和点q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为f1(0，3)，f2(0,3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.1.若双曲线e：1的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a.11 b.9 c.5 d.3答案b解析由双曲线的定义，得|pf1|pf2|2a6，即|3|pf2|6，解得|pf2|9(负值舍去)，故选b.2.设f1，f2分别是双曲线x21的左，右焦点，p是双曲线上的一点，且3|pf1|4|pf2|，则pf1f2的面积等于()a.4 b.8 c.24 d.48答案c解析由题意得解得又由|f1f2|10，可得pf1f2是直角三角形，则|pf1|pf2|24.3.椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()a. b.1或2c.1或 d.1答案d解析由于a0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故选d.4.若kr，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()a.3k2 b.k3c.k2 d.k2答案a解析由题意知，k30且k20，3k0，b0)，则有a2b2c28.因为过(3，)点，所以1，解得a23，b25.故所求双曲线的标准方程为1.1.双曲线定义中|pf1|pf2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn5”是“方程1表示双曲线”的()a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件答案a解析当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k2.故选a.3.已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()a.1 b.1 c. d.答案b解析由焦点坐标知，焦点在y轴上，m0，b0)，则a2b25.线段pf1的中点坐标为(0,2)，点p的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，双曲线的方程为x21.5.已知f是双曲线1的左焦点，a(1,4)，p是双曲线右支上的动点，则|pf|pa|的最小值为()a.5 b.54c.7 d.9答案d解析如图所示，设双曲线的右焦点为e，则e(4,0).由双曲线的定义及标准方程，得|pf|pe|4，则|pf|pa|4|pe|pa|.由图可得，当a，p，e三点共线时，(|pe|pa|)min|ae|5，从而|pf|pa|的最小值为9.6.已知双曲线1，直线l过其左焦点f1，交双曲线左支于a，b两点，且|ab|4，f2为双曲线的右焦点，abf2的周长为20，则m的值为()a.8 b.9 c.16 d.20答案b解析abf2的周长|ab|af2|bf2|20，|ab|4，|af2|bf2|16.根据双曲线定义知，2a|af2|af1|bf2|bf1|，4a(|af2|bf2|)(|af1|bf1|)16412，a3，ma29.故选b.二、填空题7.若点p到点(0，3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点p的轨迹方程为_.答案y21(y1)解析由题意结合双曲线的定义，可知点p的轨迹为双曲线上支，且c3,2a2，a1，b2918，故点p的轨迹方程为y21(y1).8.已知双曲线1的一个焦点坐标为(3,0)，则m_.答案5解析因为c3，故m5.9.双曲线的焦点在x轴上，且经过点m(3,2)，n(2，1)，则双曲线标准方程是_.答案1解析设双曲线方程为1(a0，b0)，又点m(3,2)、n(2，1)在双曲线上，双曲线的标准方程为1.10.已知双曲线1上一点p到f(3,0)的距离为6，o为坐标原点，若()，则|的值为_.答案1或5解析由题意得q为pf的中点，设左焦点为f，其坐标为(3,0)，|oq|pf|.若p在双曲线的左支上，则|oq|pf|(|pf|2a)(622)1；若p在双曲线的右支上，则|oq|pf|(|pf|2a)(622)5.综上，|1或5.11.在平面直角坐标系xoy中，已知abc的顶点a(6，0)和c(6,0)，若顶点b在双曲线1的左支上，则_.答案解析由双曲线的定义可得ac10，由正弦定理得.三、解答题12.设f1，f2是双曲线1(a0)的两个焦点，若点p在双曲线上，且0，|2，求双曲线的方程.解0，|2|2|220a.又|4.2，得2|4a.|2，a1.双曲线的方程为y21.13.已知双曲线1的两焦点为f1、f2