人教版高中数学课件第五册：32 立体几何中的向量方法(.ppt

3 2立体几何中的向量方法 一 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则 二 讲授新课 1 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 例1 如图1 一个结晶体的形状为四棱柱 其中 以顶点A为端点的三条棱长都相等 且它们彼此的夹角都是60 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系 解 如图1 设 化为向量问题 依据向量的加法法则 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线的长是棱长的倍 思考 1 本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系 分析 思考 2 如果一个四棱柱的各条棱长都相等 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗 分析 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长 3 本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少 提示 求两个平行平面的距离 通常归结为求两点间的距离 H 分析 面面距离 回归图形 点面距离 向量的模 解 所求的距离是 H 练习 如图2 空间四边形OABC各边以及AC BO的长都是1 点D E分别是边OA BC的中点 连结DE 计算DE的长 例2 如图3 甲站在水库底面上的点A处 乙站在水坝斜面上的点B处 从A B到直线 库底与水坝的交线 的距离AC和BD分别为和 CD的长为 AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是 得 因此 设向量与的夹角为 就是库底与水坝所成的二面角 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例2 如图3 甲站在水库底面上的点A处 乙站在水坝斜面上的点B处 从A B到直线 库底与水坝的交线 的距离AC和BD分别为和 CD的长为 AB的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 思考 1 本题中如果夹角可以测出 而AB未知 其他条件不变 可以计算出AB的长吗 分析 可算出AB的长 2 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长 并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等 那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗 分析 如图 设以顶点为端点的对角线长为 三条棱长分别为各棱间夹角为 3 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗 A1 B1 C1 D1 A B C D 分析 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解 如图 在平面AB1内过A1作A1E AB于点E E F 在平面AC内作CF AB于F 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值 练习 1 如图4 60 的二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 求CD的长 2 三棱柱ABC A1B1C1中 底面是边长为2的正三角形 A1AB 45 A1AC 60 求二面角B AA1 C的平面角的余弦值 小结 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 面面距离 回归图形 点面距离 向量的模 二面角