变量间的相关关系（上课）.ppt

变量间的相关关系 复习引入 问题 函数的定义是什么 设集合A是一个非空的数集 对A内任意实数x 按照确定的对应法则f 都有唯一确定的实数值y与它对应 则这种对应关系叫做集合A上的一个函数 函数关系是一种确定性关系 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式 对于两个变量 如果当一个变量的取值一定时 另一个变量的取值被惟一确定 则这两个变量之间的关系就是一个函数关系 小明 你数学成绩不太好 物理怎么样 也不太好啊 学不好数学 物理也是学不好的 你认为老师的说法对吗 我们在生活中 碰到很多相关关系的问题 物理成绩 数学成绩 学习兴趣 花费时间 其他因素 我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系 似乎就是数学好的 物理也好 数学差的 物理也差 但又不全对 物理成绩和数学成绩是两个变量 从经验看 由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法 数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的 但决非唯一因素 还有其它因素 如是否喜欢物理 用在物理学习上的时间等等 上述数学成绩和物理成绩两个变量之间的关系是一种非确定性关系 称之为相关关系 1 商品销售收入与广告支出经费之间的关系 商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系 但商品收入不仅与广告支出多少有关 还与商品质量 居民收入等因素有关 在一定范围内 施肥量越大 粮食产量就越高 但是 施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素 因为粮食产量还要受到土壤质量 降雨量 田间管理水平等因素的影响 2 粮食产量与施肥量之间的关系 在一定年龄段内 随着年龄的增长 人体内的脂肪含量会增加 但人体内的脂肪含量还与饮食习惯 体育锻炼等有关 可能还与个人的先天体质有关 3 人体内脂肪含量与年龄之间的关系 自变量取值一定时 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系 叫做相关关系 相关关系的概念 1 相关关系与函数关系的异同点 相同点 均是指两个变量的关系 不同点 函数关系是一种确定的关系 因果关系 而相关关系是一种非确定性关系 也可能是伴随关系 2 联系 1 在一定条件下 函数关系与相关关系可以相互转化 2 相关关系在现实生活中大量存在 从某种意义上讲 函数关系是一种理想的模型 而相关关系更普遍 1 下列关系中 是带有随机性相关关系的是 正方形的边长与面积的关系 水稻产量与施肥量之间的关系 人的身高与年龄之间的关系 降雪量与交通事故发生之间的关系 即学即练 2 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 A 角度和它的余弦值B 正方形边长和面积C 正 边形的边数和它的内角和D 人的年龄和身高 D 从已经掌握的知识来看 吸烟会损害身体的健康 但是除了吸烟之外还有许多其他的随机因素影响身体健康 人体健康是由很多因素共同作用的结果 我们可以找到长寿的吸烟者 也更容易发现由于吸烟而引发的患病者 吸烟与健康是一种相关关系 所以吸烟不一定引起健康问题 有关法律规定 香烟盒上必须印上 吸烟有害健康 的警示语 吸烟是否一定会引起健康问题 你认为 健康问题不一定是由吸烟引起的 所以可以吸烟 的说法对吗 但吸烟引起健康问题的可能性大 因此 健康问题不一定是由吸烟引起的 所以可以吸烟 的说法是不对的 从已经掌握的知识来看 没有发现根据说明 天鹅能够带来孩子 完全可能存在既能吸引天鹅又使婴儿出生率高的第三个因素 例如独特的环境因素 即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系 因此 天鹅能够带来孩子 的结论不可靠 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍 有人统计发现了一个有趣的现象 如果村庄附近栖息的天鹅多 那么这个村庄的婴儿出生率也高 天鹅少的地方婴儿出生率低 于是 他就得出一个结论 天鹅能够带来孩子 你认为这样得到的结论可靠吗 如何证明这个结论的可靠性 而要证实此结论是否可靠 可以通过试验来进行 相同的环境下将居民随机地分为两组 一组居民和天鹅一起生活 比如家中都饲养天鹅 而另一组居民的附近不让天鹅活动 对比两组居民的出生率是否相同 以上种种问题中的两个变量之间的相关关系 我们都可以根据自己的生活 学习经验作出相应的判断 然而不管你的经验多么丰富 如果只凭经验办事 还是很容易出错的 我们需要一些更为科学的方法来说明问题 在寻找变量之间相关关系的过程中 统计学发挥着非常重要的作用 由于变量之间的相关关系带有不确定性 这就需要通过收集大量的数据 在对数据进行统计分析的基础上 发现其中的规律 从而作出科学的判断 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中 研究人员获得了一组样本数据 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数 探究 对某一个人来说 他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少 但是如果把很多个体放在一起 就可能表现出一定的规律性 观察上表中的数据 大体上看 随着年龄的增加 人体脂肪含量怎样变化 为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系 我们需要对数据进行分析 通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象 以x轴表示年龄 y轴表示脂肪含量 你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗 下图叫做散点图 你能描述一下散点图的含义吗 散点图 将样本中n个数据点 xi yi i 1 2 n 描在平面直角坐标系中 以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 计算机可以帮助我们作散点图 下图就是用计算机作出来的 从散点图可以看出 年龄越大 体内脂肪含量越高 这个图支持了我们从数据表中得出的结论 请同学们观察这4幅图 看有什么特点 从散点图1可以看出因变量随自变量的增大而增大 图中的点分布在左下角到右上角的区域 正相关 从散点图2可以看出因变量随自变量的增大而减小则称作负相关 负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域 负相关 从散点图3 4可以看出因变量与自变量不具备相关性 无相关性 探究 正相关如学习时间与成绩 父母的身高与子女的身高 一个家庭的收入与支出等 你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗 负相关如日用眼时间和视力 高原含氧量与海拔高度 海平面以上 海拔高度越高 含氧量越少 汽车的重量和汽车每消耗一升汽油所行驶的平均路程等 思考 a 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上 就用该函数来描述变量之间的关系 即变量之间具有函数关系 b 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 变量之间就有相关关系 c 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 散点图 用来判断两个变量是否具有相关关系 关于散点图的几点说明 数学成绩 例1 5个学生的数学和物理成绩如下表 画出散点图 并判断它们是否有相关关系 由散点图可见 两者之间具有正相关关系 解 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 1 回归分析本质 寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性 2 回归分析的意义 相关关系到处存在 从某种意义上讲 函数关系是一种理想的关系模型 而相关关系则是一种非常普遍关系 研究和学习相关关系 不仅可以使我们能够处理更为广泛的数学问题 还可以使我们对函数关系的认识再上升到一个新的高度 回归分析 当人的年龄增加时 体内脂肪含量也增加 那么它到底是以什么方式增加的呢 我们观察年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点 这些点大致分布在一条直线附近 我们称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 回归直线一定过样本中心点 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候 才可以说两个变量之间具有线性关系 才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念 才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系 回归直线 如果我们能求出这条回归直线的方程 那么我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性 那么怎样求出这个回归方程呢 方案一 采用测量的方法 先画一条直线 测量出各点到它的距离 然后移动直线 到达一个使距离之和最小的位置 测量出此时直线的斜率和截距 就得到回归方程 整体上最接近 方案二 在图中选取两点画直线 使得直线两侧的点的个数基本相同 方案三 在散点图中多取几组点 确定几条直线的方程 分别求出各条直线的斜率和截距的平均数 将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距 我们上面给出的几种方案虽然又一定的道理 但可靠性不强 人们经过长期的实践与研究 已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式 一般地我们将其方程设为 其中 以上公式的推导较复杂 故不作推导 但它的原理较为简单 即各点到该直线的距离的平方和最小 这一方法叫最小二乘法 其中x叫解释变量 y叫预报变量 利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 0 577 65 0 448 37 1 37 1 由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值 若某人65岁 则其体内脂肪含量的百分比约为多少 若某人65岁 可预测他体内脂肪含量在37 1 附近的可能性比较大 但不能说他体内脂肪含量一定是37 1 原因 线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的 存在随机误差 这种误差可以导致预测结果的偏差 即使截距斜率没有误差 也不可能百分百地保证对应于x 预报值Y能等于实际值y 能不能说他体内脂肪含量一定是37 1 思考 题型回归分析 例2 某车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此做了四次试验 根据试验数据得到如下图所示的散点图 其中x表示零件的个数 y表示加工时间 1 求出y关于x的线性回归方程 bx a 2 试预测加工10个零件需多长时间 1 3 5 3 5 所以b 0 7 a b 3 5 0 7 3 5 1 05 所以线性回归方程为 0 7x 1 05 2 当x 10时 0 7 10 1 05 8 05 故加工10个零件大约需8 05小时 求出回归直线方程后 往往用来作为现实生产中的变量之间相关关系的近似关系 从而可用来指导生产实践 例3 有一个同学家开了一个小卖部 他为了研究气温对热饮销售的影响 经过统计 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表 摄氏温度 504712151923273136 热饮杯数15615013212813011610489937654 1 画出散点图 2 从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律 3 求回归方程 4 如果某天的气温是2摄氏度 预测这天卖出的热饮杯数 1 散点图 2 从图3 1看到 各点散布在从左上角到由下角的区域里 因此 气温与热饮销售杯数之间成负相关 即气温越高 卖出去的