问渠那得清如许,为有源头活水来-高中数学教材中例题、习题的挖掘与应用探究.doc

问渠哪得清如许,为有源头活水来高中数学教材中例题、习题的挖掘与应用探究摘要：通过课堂教学学生只是理解了所学的基础知识，并在获取知识过程中锻炼了思维，发展了能力，但要对知识的掌握、智力开发、能力培养、解题策略形成等，还必须通过一定量的练习。教材中的例题和习题具有十分重要的作用和功能，对教材中的例题、习题进行挖掘应用，加强训练是教学过程中不可缺少的重要环节。本文主要探讨开发课本例题、习题资源的一些思考。关键词： 高效课堂 例题习题 开发利用正文：数学课本中的例题和习题是数学课程资源的重要组成部分，具有很强的示范性，蕴含着一定的数学思想和解题方法。数学课堂教学中，普遍存在课堂练习效率不理想的状况，学生完成练习的效率不高，甚至有学生态度不认真，应付了事，导致出现学生练习量大而不精。笔者认为新课程理念下的课堂练习应是有效的、应该是有利于学生发展的，那么应该如何挖掘例题习题的潜在功能，激发学生的思维、促进学生发展呢？ 一、教材中例题习题的功能1教育功能 数学例题具有应用的广泛性，结合课堂练习可以向学生进行学习目的的教育；数学例题具有严密的逻辑性，通过课堂练习进一步揭示知识间的联系与区别，可以向学生进行逻辑思维的训练；数学例题具有高度的抽象性，通过课堂练习可以帮助学生掌握由具体到抽象，再由抽象到具体，即由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的一般规律。同时学生对课堂练习的态度、解题的策略、练习的效率等方面，通过自我评价和同学互评，也会受到教育与启迪。 2巩固功能 新课过程中结合有关内容作单项的、局部的反馈性练习，新课结束时进行巩固性的变式练习，还有提高性的综合练习，激发学生的学习兴趣，满足学生的求知欲。新课后通过练习，可以促进学生对数学基本概念、法则、公式、定律、性质进一步理解、巩固、掌握，以及各种知识技能的形成。3反馈功能 习题的教学可以及时反馈学生对知识掌握、形成技能等各种信息，一节课通常要安排多次反馈性练习，如课前的预备性练习、新课中的反馈练习、巩固练习以及课后练习等，以便得到强化，及时调控教学进程。教师要及时把握各种练习的情况，学生完成练习后，他们最关心的是练习的结果是否正确，但这种关心会随时间的推移而逐渐淡漠。教师要及时点评，给予肯定。如果是错误的，则要让学生明白错误原因。 二、课堂教学中例题、习题教学现状分析1教学中，教师角色转变不到位数学课程标准指出数学课堂学生的学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与勤于动手成为教学过程中教师的共识。课堂的组织形式也在一定程度上发生了变化，尽可能多地组织学生运用合作、小组合作等方式，在培养学生合作与交流能力的同时，调动每一个学生的参与意识和学习积极性。教师充当的角色是组织者、合作者、引导者。教师的角色转变不到位，就会出现“一言堂”、“满堂灌”的教学方式，忽略学生的主体地位，只要求把例题讲完，布置好习题就算完成教学任务。2教师对课本例题、习题的“二次开发”意识不强课本的例题、习题是学习的基础，学生之友学好课本,才能掌握双基,培养良好的数学思想,增强分析和解决问题的能力。在传统的课堂教学中，有的教师对教材照搬照抄，很少对对教材上的例题、习题“二次开发”。 数学教师如果能够对教材进行二次开发,对例题、习题进行变式创新、知识迁移、提炼和总结,不仅学生会开阔眼界、拓展思维,教师也会有所收获。新课程倡导教师创造性地和个性化地运用教材，这意味着教师不再是课本的“转播者”，而是积极的“开发者”。教师对教材重要组成部分的例题与习题的“二次开发”，就能不断丰富着自己的课程知识，创造着新的课程经验，成为自己专业生活的主人，同时才能真正体现新课标的要求。三、用“好”、用“活”课本例题、习题明确有效课堂练习设计的关键是用“好”、用“活”课本例题习题。课本的例习题是教材编写者精选的，有丰富的内涵和广阔的外延，即其对理解、巩固知识、培养能力和解题策略形成都具有一定典型作用和潜在的价值。所以教师在备课时要认真钻研，充分发挥课本例习题丰富的内涵和外延作用，引导学生通过观察、比较、猜想、讨论、引伸、拓广，由此及彼等思维训练，以培养学生分析问题和解决问题能力。1创设变式、激活思维，拓展学生的思维空间由于篇幅的限制，教材编写都是十分精练，例题的解题过程简洁干练，一般都省略了分析解决问题思维过程。教师在授课时，如果只是照着课本的步骤照本宣科的讲解，学生只知其然而不知其所以然，这也是数学教学中最大的弊病。以至于有的学生做题时只是机械的套模式，就题论题，不知道变通，学生充其量只能获得一种模仿能力，所以教师要引导学生真正搞懂解题依据是什么知识，用的是什么方法，是怎样形成解题过程的。例1 已知圆的方程 ，求经过圆上一点的切线方程。（苏教版必修2教材105页练习7)为激活学生思维，寻求新的解法，教师可提示、点拨由平面几何知识中的勾股定理，以及使用向量知识，对问题进行解决。在学生思维活跃时，改变题目条件，创设变式，拓展学生的思维空间。变式1若圆的方程变为，求经过圆上一点的切线方程。变式2若圆的方程变为，求经过圆外一点的切线方程。变式3已知为圆内异于圆心的一点，判断直线与圆的位置关系。变式4已知为圆外的一点，过作圆的切线，求切线方程。上述变式问题多且有层次性，入手相对较易，坡度适中、排列有序，形成有层次结构的开放系统，学生思维与创造的空间较大，不仅使学生产生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且体现了一些重要的数学思想方法。这样设计既不脱离教材，又不拘泥于教材，随着教学层次的展开，不失时机地引导学生由浅入深的探讨，将学生思维的交点引向知识的深入，学生在练习过程中，通过观察、分析、比较，从感性认识逐步上升到理性认识，使思维产生质的飞跃。2标新立异、另辟蹊径，培养学生的发散思维能力课本中的解法是科学正确的，但并非只有一种。教师要引导学生标新立异，鼓励学生不迷信书本，积极思考，敢于探索，敢于创新，可以激发学生积极思考，创新热情，如果学生有了自己新的问题思路，他会为自己的伟大发现而兴奋不已，产生对数学学习极大热情和愉快成功的体验。例2 讲授椭圆的概念时，先让学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画出了一个椭圆。（苏教版教材选修1-1第24页）教师可以从另一个角度提出问题，让学生思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？(3)当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么? (4)你能给椭圆下一个定义吗？最后教师再揭示本质，给出定义。这样，学生经过了感性认识分析思考后，对椭圆定义的实质就会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。 又如，讲“曲面上两点间的最短距离时，设计如下练习：(1)在长方体中，,位于点处的蜘蛛沿长方体的表面爬行去攻击点处的苍蝇，问蜘蛛的最短行程是多少？(2)是底面半径是1厘米，高为4厘米的圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点绕侧面一周爬到点，求爬过的最短距离。(3)是底面半径为2厘米，高为3厘米的圆锥的一条母线，一只蚂蚁从点 A绕侧面一周爬到点，求爬过的最短距离。两点之间线段最短，但蜘蛛、蚂蚁只能沿表面爬行。用可折叠的矩形纸板翻折演示，通过计算比较，学生不难发现最短途径。再追问：圆柱、圆锥侧面上两点的最短距离又如何计算？继续演示，将圆柱、圆锥的侧面沿一条母线剪开、铺平，此时学生的思路豁然开朗。最后归纳：可展曲面上两点间的最短距离，展开后即为所得平面图形上两点间的距离。这是将立几问题转化为平几问题的一种重要方法。在新知建构和解决问题的过程中，从不同角度进行分析、思考，由此产生不同的方法。教师讲题时，引导学生换一个角度，另辟蹊径，可以促进学生智慧的生成、思维的发展，使学生在思考问题时能想得全，不重复，不遗漏，有规律，也使学生解决问题的策略多，方法灵活，同时还尊重了学生个体差异。3用“活”习题、拓展迁移，培养学生的创新能力数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解放出来，重要的一条就是挖掘例习题的潜在内容，引导学生向更广的范围，更深层次去联想，纵横引伸，把所学知识去更大范围内进行归纳、演变，促进知识融会贯通，解题能力和思维能力得到提高，解题方法和策略形成。其方法有：变式练习、一题多解、改变成开放题、探索题等。例3 已知抛物线对称轴为轴，顶点在原点，且过点，求抛物线的标准方程。（苏教版教材选修1-1第46页练习1）讲解该题时，很多教师认为该题太简单，只需设抛物线方程为，再将点代入即可，因而一带而过，甚至视而不见。其实在教学中若能积极加以引导，合理变式，学生将有很大的收获。教师可以带领学生继续深入研究本题，给出变式练习。引申如何改变上述问题中的条件，使得其解法分别是设抛物线的标准方程为、。此问题并不难，但能激发学生观察、对比、分析，让学生也参与到变式教学的问题设计当中来。拓展已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程有了上面的铺垫，学生应能想到用分类讨论手段解决。变式已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。此时学生仍可利用分类讨论解决，但在教师的引导下，通过对照结果以及变式1中的情况，还是有可能概括出此时抛物线的方程可设为，以避免分类讨论。迁移已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程解法是可设抛物线的方程为。这样学生通过自己分析、概括，参与问题设计，使得对抛物线标准方程的理解将更透彻、更深入。通过一题多变的练习和阶梯式的设问，不仅分散了难点，更使学生将所学的知识融会贯通，学习兴趣高涨。便于提高学生思维的灵活性和创新性，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索勇于创新的发散思维能力。4、合理拓展、丰富内涵，深化数学概念的理解 教材习题由于受到教材版面篇幅的影响，往往针对单一的训练目的而安排有针对性的练习内容.因此，教材习题有时看似没有值得深究的内容，实际上是可以进行合理拓展的.教师可围绕教学内容的特点和学生的实际掌握情况根据教学的需要进行拓展，丰富习题内涵.例4 在中，已知，试判断的形状。（苏教版教材必修5第9页例4）本题可以通过正弦定理，实现边角互化。由题意，即,又,.挖掘正弦定理的性质，这道题目可以加以引申：引申 在中，已知，试判断的形状。还可以借助余弦定理，把问题拓展为：拓展 在中，已知，试判断的形状。变式 在中，已知，试判断的形状。迁移 在中，已知，试判断的形状。通过例题的引申拓展，既训练了学生综合应用所学知识解决问题的能力，又可以激发学生探究问题的兴趣。教师在教学中对教材中的单一型练习题进行了合理、适切的拓展，让学生在解题过程中深化对概念的理解。总之，在教学中教师要利用数学学科的特点，根据教学内容，紧扣教学目标设计好课堂练习，加强设计“精品”习题的意识，以少胜多，以质为上。在知识和难易程度适宜的基础上设计有一定的“坡度”、“难度”、“密度”的习题，练习时注意加大知识间的“跨度”，变换形式间的“角度”，求新、求近、求活，让课堂练习不断成为学生学习数学兴趣的直接发源地，那么我们的课堂练习设计就是