高一数学《函数的对称性》知识点总结[范本]

高一数学函数的对称性知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，点P关于点A的对称点P（2ax，2by）也在y=f图像上，2by=f即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=ff+f=2bf+f=2b，即2by0=f。故点P（2ax0，2by0）也在y=f图像上，而点P与点P关于点A对称，充分性得征。推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f定理3.若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（ab），则y=f是周期函数，且2ab是其一个周期。若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（ab），则y=f是周期函数，且2ab是其一个周期。若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（ab），则y=f是周期函数，且4ab是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数y=f图像既关于点A成中心对称，f+f=2c，用2bx代x得：f+f2a=2c（*）又函数y=f图像直线x=b成轴对称，f=f代入（*）得：f=2cf2+x（*），用2（ab）x代x得f2+x=2cf4+x代入（*）得：f=f4+x,故y=f是周期函数，且4ab是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f与y=2bf的图像关于点A成中心对称。定理5.函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。函数y=f与ax=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。函数y=f与xa=f的图像关于直线xy=a成轴对称。定理4与定理5中的证明留给读者，现证定理5中的设点P是y=f图像上任一点，则y0=f。记点P关于直线xy=a的轴对称点为P（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0a，x0=a+y1,y0=x1a代入y0=f之中得x1a=f点P（x1，y1）在函数xa=f的图像上。同理可证：函数xa=f的图像上任一点关于直线xy=a的轴对称点也在函数y=f的图像上。故定理5中的成立。推论：函数y=f的图像与x=f的图像关于直线x=y成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表注：上表中kZy=tanx的所有对称中心坐标应该是，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是，这明显是错的。四、函数对称性应用举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f为偶函数，且f=f,则f一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）是偶函数，也是周期函数是偶函数，但不是周期函数是奇函数，也是周期函数是奇函数，但不是周期函数解：f为偶函数，f=f.f有两条对称轴x=5与x=10，因此f是以10为其一个周期的周期函数，x=0即y轴也是f的对称轴，因此f还是一个偶函数。故选例2：设定义域为R的函数y=f、y=g都有反函数，并且f和g-1函数的图像关于直线y=x对称，若g=1999，那么f=（）。（A）1999；（B）XX；（c）XX；（D）XX。解：y=f和y=g-1函数的图像关于直线y=x对称，y=g-1反函数是y=f，而y=g-1的反函数是:y=2+g,f=2+g,有f=2+g=XX故f=XX,应选（c）例3.设f是定义在R上的偶函数，且f=f,当1x0时，f=x，则f=_（第八届希望杯高二第一试题）解：f是定义在R上的偶函数x=0是y=f对称轴；又f=fx=1也是y=f对称轴。故y=f是以2为周期的周期函数，f=f=f=f=0.3例4.函数y=sin的图像的一条对称轴的方程是（）x=x=x=x=解：函数y=sin的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+x=,显然取k=1时的对称轴方程是x=故选例5.设f是定义在R上的奇函数，且f=f,当0x1时，f=x，则f=（）0.50.51.51.5解：y=f是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又f=f=f，即f=f