三脚架的数学原理.doc

三脚架的数学原理四川省南部中学 蒲筱平 三脚架是主要由三条杆材连接而成的支撑结构。作为承重工具，更重要的是作为在空间中固定物体位置的固定工具，三脚架在生产和生活的各个领域都有广泛的应用。关于三脚架的数学原理，我看到已有两种解释。一种解释说其原理是利用三角形的稳定性，使架于其上的物品获得一个稳定的支撑，而不易翻倒。另一种解释说其原理是利用经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。也称为不在同一条直线上的三个点确定一个平面。此说法我设想其典型化的解释：把3个球放在地面上，使它们不在同一条直线上（3个球视为不在同一条直线上的三个点），放一块平板（视为平面）在这3个球上（即经过这三个点有一个平面），这3个球能支撑住平板（即经过这三个点只有一个平面）虽然如此，但并不唯一地确定被支撑物的位置。以上两种解释分别用初中数学的平面几何中三角形的稳定性，高中数学的立体几何中关于平面的公理解释三脚架的原理。看似有理，其实是不相关的：三脚架的原理其实是用3条线段（即三脚）及3个点（即脚的着地点）确定一个点（被支撑物）的位置，而不是用3条线段的长度确定三角形的形状和大小（三角形的稳定性），也不是用3个点确定一个平面。从数学的角度说，三脚架的原理（不妨称为三脚架定理）是：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球面的公共点，在3个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个。现阐述如下：一、定义：（1） 图形球面：空间中到定点O的距离等于定长r(r0)的点的集合，称为以点O为球心r为半径的球面，其中定点O称为该球面的球心，定长r称为该球面的半径。球面也是空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，还可以看作半圆绕其两个端点确定的直线旋转一周形成的图形。不妨用小写希腊字母、等来记球面。半径r=0的球面其实是一个点，可以称为点球面，为了方便，以下提到的球面都是指r0的球面。位置关系点与球面：设点P到半径为r的球面的球心O的距离为d。当dr时，称点P在球面外。点P在球面上，也可称球面经过点P；点P在球面内和点P在球面外都可称球面不经过点P。直线与球面：设半径为r的球面的球心O到直线a的距离为d。当dr时，称直线a与球面相离。平面与球面：设半径为r的球面的球心O到平面的距离为d。当dr时，称平面与球面相离。两个球面：设两球面1，2的半径分别为r1，r2，两球心的距离为d。当d r1+r2时，称球面1，2外离；当d= r1+r2时，称球面1，2外切；当 r1-r2d r1+r2时称球面1，2相交；当0d = r1-r2时称球面1，2内切；当0=d = r1-r2时称球面1，2重合；当d r1-r2时称球面1，2内含；当d =0时称球面1，2同心。圆与球面：设圆a所在的平面为，平面与球面的位置有且只有3种：相离，相交，相切；平面与球面相切时，切点与圆a的位置有且只有3种：切点在圆外，切点在圆上，切点在圆内；平面与球面相交时，公共部分组成一个圆（不妨称为交圆），圆a与交圆的位置按照初中数学中的方法分外离，外切，相交（此时可称圆a与球面相交），内切，内含（包括同心），重合（此时可称圆a在球面上或称球面经过圆a）等6种。这样可以一一对应地确定出圆与球面的10种位置关系。二、定理定理1、两球面1，2：外离时，公共点数为0；外切时，公共点（可称外切点）数为1，该点与两个球心在同一条直线上；相交时，有无数个公共点，所有公共组成一个圆，过两球面1，2的球心的直线经过该圆的圆心并且垂直于该圆所在的平面；内切时，公共点（可称内切点）数为1，该点与两个球心在同一条直线上；重合时，所有公共组成一个球面，此时3个球面重合；内含时，公共点数为0。定理2、如果圆与球面有且只有两个公共点，那么圆与球面相交，当球心在圆确定的平面上时，这两个公共点关于圆心与球心确定的直线对称；当球心不在圆确定的平面上时，这两个公共点连线段的中点、圆心、球心不在同一条直线上，它们确定一个平面（记为平面），这两个公共点关于平面成镜面对称。定理3、如果圆与球面有3个公共点，那么它们有无数个公共点，所有公共点组成的图形就是该圆。定理4、球心不在同一条直线上的3个球面的公共点的数量只能为0或1或2；当只有一个公共点时，该公共点与3个球面的球心在同一个平面内；当有两个公共点时，这两个公共点位于3个球面的球心确定的平面之外，分居该平面的两侧，且关于该平面成镜面对称. 由定理4立即可得定理5（三脚架定理）：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球面的公共点，在3个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个。三、三脚架定理的解释三脚架使用其3脚（线段）与3个落脚点（不在同一条直线上）来固定3脚的交汇点（下面简称交汇点）。实质是用不在同一条直线上的3个点和3条线段，在3个点确定的平面的一侧决定一个点的位置。三脚架一脚的长度及其落脚点都确定时，交汇点到该落脚点（定点）的距离等于相应的脚的长度（定长），因此交汇点在以落脚点为球心以脚的长度为半径的球面上；对三脚架的每一脚都如此，即交汇点是分别以3个落脚点为球心，相应的脚的长度为半径的3个球面的公共点。三脚架工作时任何两脚都不在同一条直线上，它们的落脚点与交汇点形成一个三角形，根据三角形三边长度的不等关系，两落脚点（球心）之间的距离大于两脚长度（半径）之差，且小于两脚长度（半径）之和，因此两球面相交。于是，该3个球面是两两相交的，即三脚架的的交汇点是球心不在同一条直线上的两两相交的3个球面的公共点。由三脚架定理知，当3个落脚点不在同一条直