【数学建模课件@北师大】liu5.pdf

4 例例 例例 4 2 表列数据为表列数据为1977年以前六个不同距离的中短距离 赛跑成绩的世界纪录 年以前六个不同距离的中短距离 赛跑成绩的世界纪录 试用这些数据建模分析赛跑的成绩与赛跑距离的关 系 试用这些数据建模分析赛跑的成绩与赛跑距离的关 系 距离距离 x m 100 200 400 800 1000 1500 时间时间 t s 9 95 19 72 43 86 102 4 133 9 212 1 模型模型 t a b x 参数参数 a 9 99 b 0 145 t 9 99 0 145 x Q1 82 04 检验检验 当当 x 68 89 m 时时 t 0 当当 x 100 m 时时 t 4 51 s 与实际情形差距较大与实际情形差距较大 中间数值偏低中间数值偏低 模型模型 t a xb 令令 z ln t u ln x 则有则有 z ln t ln a b ln x a b u 参数参数 a 0 734 a ln a 0 48 b 1 145 t 0 48 x1 145 Q2 23 55 x 100 200 400 800 1000 1500 t 9 95 19 72 43 86 102 4 133 9 212 1 I 4 56 19 10 48 20 106 4 135 5 208 2 II 9 39 20 78 45 96 101 68 131 29 208 9 5 讨论讨论 10 经验模型是众多因素作用综合在因果关系上 的结论 会因时因地发生变化且不宜在另外的 环境下套用和从机理作过多的分析 经验模型是众多因素作用综合在因果关系上 的结论 会因时因地发生变化且不宜在另外的 环境下套用和从机理作过多的分析 20 前面的最小二乘法实质上是近似求解线性方 程组 前面的最小二乘法实质上是近似求解线性方 程组 a xkb yk k 1 n 或或 nn y y y b a x x x 2 11 2 1 1 1 30 关于最小二乘技术关于最小二乘技术 可以使用计算器计算可以使用计算器计算 使用使用excel计算计算 数据分析数据分析 回归分析回归分析 使用使用MATLAB计算计算 x 49 5 94 y 5 4 6 6 7 7 8 1 A ones 10 1 x b A y z b 1 b 2 x plot x z b x y r 40 关于误差关于误差 yk a bxk k k 纵轴误差纵轴误差 yk a b xk k k 横轴误差横轴误差 距离误差距离误差 50 关于精度关于精度 Q i 2 yk a bxk 2 Q i yk a bxk 2 1 iii yab xb 问题问题 1 收集生活中有关的长度面积体积的数 据 分析它们之间的关系 收集生活中有关的长度面积体积的数 据 分析它们之间的关系 2 利用赛艇比赛成绩的数据建模分析运 动员的人数 利用赛艇比赛成绩的数据建模分析运 动员的人数 n 与赛艇成绩与赛艇成绩 t 的关系的关系 n 1 2 4 8 t 7 125 6 878 6 340 5 835 3 P86 7 8 三 插值模型与样条插值法 当数据量不够 需要补充 且认定已有数据可信时当数据量不够 需要补充 且认定已有数据可信时 通常通常 利用函数插值方法建立插值模型 利用函数插值方法建立插值模型 目标 根据一组观测数据目标 根据一组观测数据 寻找函数关系寻找函数关系 0 1 ii x yin yx 满足满足 0 1 ii yxin 1 线性插值线性插值 如果 函数在每个小区间如果 函数在每个小区间 1 ii x x 上是线性函数 上是线性函数 是这组数据的分段线性插值函数 是这组数据的分段线性插值函数 则称则称 x 例例3 6 地形模型 平面区域上的海拔高程地形模型 平面区域上的海拔高程 h x y x y 0 400 800 1200 1600 2000 0 370 470 550 600 670 690 400 510 620 730 800 850 870 800650 760 880 970 1020 1050 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 给出这个平面区域内地形的模型 给出这个平面区域内地形的模型 假设假设 1 观测点的高程数值是准确的 观测点的高程数值是准确的 2 地形的各观测点之间没有剧烈的变化 地形的各观测点之间没有剧烈的变化 3 相邻观测点之间的高程的变化是线性的 相邻观测点之间的高程的变化是线性的 模型 模型 拟合坐标轴方向相邻观测点间的高程拟合坐标轴方向相邻观测点间的高程 给出 地形变化的等高线图 给出 地形变化的等高线图 令令 hij h xi yj 考虑点考虑点 xi yj xi 1 yj 间高 程的变化 记 间高 程的变化 记 hi hij hi 1 hi 1j 则由直线方程 的两点式 则由直线方程 的两点式 可得可得 椐此就可在坐标系中画出平面区域的地形图椐此就可在坐标系中画出平面区域的地形图 ii i ii i hh hxh xx xx 11 ii i ii i hh hxh xx xx 11 ii ii ii hxx xx hh xh 1 1 1 ii xxx 2 样条插值 实质上是指光滑连接起来的分段的多项 式曲线 给定区间 样条插值 实质上是指光滑连接起来的分段的多项 式曲线 给定区间 a b 的一个分划的一个分划 a x0 x1 xn 1 xn b 称函数称函数Sk x 是是 a b 上关于 的上关于 的k次多项式样条函数次多项式样条函数 如果 它满足条件 如果 它满足条件 1 在结点在结点 xi 处等于给定的数值处等于给定的数值 yi Sk xi 2 在每个子区间在每个子区间 xi 1 xi 上是上是 k 次多项式次多项式 3 Sk x 及其直到及其直到k 1阶导数在区间阶导数在区间 a b 上连续上连续 k 次样条多项式的构造次样条多项式的构造 1 k 次半截幂函数次半截幂函数 2 0次样条函数次样条函数 称阶梯函数称阶梯函数 S0 x a0 bj x xj 0 为为0次样条函数次样条函数 3 k 次样条函数次样条函数 将将S0 x 积分积分k次次 得得k次样条 函数 次样条 函数 0 0 0 x xx x k k 1 10 n j k jj k j j j k k xxb j xa xS 通常人们多使用三次样条函数通常人们多使用三次样条函数 式中式中n 3个任意常数个任意常数 aj bj 可由可由n 1个内结点 的数值和根据实际问题的要求附加于区间的端 点四个条件来确定 个内结点 的数值和根据实际问题的要求附加于区间的端 点四个条件来确定 1 1 3 3 3 2 2 103 3 3 2 n j jj xxb xaxa xaaxS 3 插值技术插值技术 x 0 4 20 给出给出X轴的坐标轴的坐标 y 0 4 20 给出给出Y轴的坐标轴的坐标 z 37 51 65 74 83 88 47 62 76 88 98 106 69 87 105 128 142 150 给出 给出 x y 点的高程 点的高程 X Y meshgrid 0 1 20 0 1 20 给出新的插值坐标给出新的插值坐标 Z interp2 x y z X Y spline 在新的坐标上进行样条插值在新的坐标上进行样条插值 clf 清空图形坐标系中的内容清空图形坐标系中的内容 axis xy 设置坐标的单位一致设置坐标的单位一致 mesh X Y Z 用网格画出插值的结果用网格画出插值的结果 hold on 打开在同一坐标系中画图的功能打开在同一坐标系中画图的功能 contour X Y Z 画平面等高线画平面等高线 contour3 X Y Z 画三维等高线画三维等高线 例例 3 7 一水库上游河段降暴雨一水库上游河段降暴雨 根据预报测算上游流入 水库的流量为 根据预报测算上游流入 水库的流量为Q t 102立方米立方米 秒秒 t 时时 8 12 16 24 30 44 48 56 60 Q t 36 54 78 92 101 35 25 16 13 利用这个预报值估计利用这个预报值估计14 30 和和 20 30 时上游流入水库 的流量 时上游流入水库 的流量 假设假设 1 已知数据准确 已知数据准确 2 相邻两个时刻之间的流量没有突然的变化 相邻两个时刻之间的流量没有突然的变化 t 8 12 16 24 30 44 48 56 60 q 36 54 7