【数学建模课件@北师大】liu1.pdf

例 4 人员疏散 建模分析意外事件发生时 建筑物内的人员疏散所用 的时间 假设 1 单排教室 直走道 一个出口 2 人员撤离时 单行 有序 间隔 均匀 匀速地撤出 3 忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间 参数 人数 nk 教室距离 Lk 门宽 D 速度v 间隔 d 疏散时间 Tk 模型 T1 n1d L1 v T2 n2d L1 L2 D v T12 n2d L1 L2 D v L2 D n1 1 d n1 n2 1 d L1 v L2 D n1 1 d 讨论 1 模型分析 T nd L v v 增 则 T 减 d 增 则 T 增 合理 2 多行行进 3 d 减 则T 减 令d 0 则有T L v 疏散时间与人数无关 假设中忽略了人体的厚度 修 改 假 设 1 单排教室 直走道 一个出口 2 人员撤离时 单行 有序 间隔 均匀 匀速地撤出 3 忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间 4 人体厚度相同w 继 续 讨 论 1 T nd L v v 则T d 则 T 2 多行行进 3 令d 0 则有T L v 疏散时间与人数无关 假设中忽略了人体的厚度 4 考虑厚度的影响 T n d w L v 若v v d 0 则 T nw L v 最短 合理吗 继续修改假设 1 单排教室 直走道 一个出口 2 人员撤离时 单行 有序 间隔 均匀 匀速地撤出 3 忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间 4 人体厚度相同 5 速度与密度有关v v d 模 型 T nd L v d 其中 v v d 应满足 D增 则v增 若d 则 v v 若d 0 则 v 0 这时存在唯一的间隔 d 和相应的 速度 v 使得疏散的时间最短 V ad b d 7 83d 75 60 d 问题 在上面的讨论中 证明如果 疏散队伍的速度是队列间隔的增 函数 则存在有唯一的间隔d 和速度 v 使得疏散的时间最短 如果有n 400 L 30m w 0 2m 求最优疏散方案 例5 赛程安排 五支球队在同一场地上进行单 循环比赛 共进行十场比赛 如何 安排赛程对各队来说都是公平的 B 1 C 9 2 D 3 5 7 E 6 8 10 4 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE 间隔场次数 A B C D E 1 0 4 0 1 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1 问题 赛程如何做到公平安排 如何安排比赛的赛程 使相邻 比赛各队最小的间隔场次达到可 能的最大 例6 生猪饲养 一头重量是200磅的猪 在上一周每天增重约5磅 五天前售价为70美分 磅 但现在猪价 下降到65美分 磅 饲料每天需花费45美分 求出售猪的最佳时间 假设 1 出售前 猪每天增重相同 2 猪的售价以每天降低的数量 不变 3 猪饲料的花费每天不变 4 猪在饲养和出售期间内不再 有其他的花费 变量和参量 饲养时间 t 天 猪的重量w 磅 售猪所获得的总收益R 美元 t 天内饲料的总花费C 美元 最终获得的净收益P 美元 猪的售价 p 美元 磅 售价日减少量 r 美元 猪的初重w0 磅 猪的日增重量 g 磅 每天饲料的花费 k 美元 模型 重量 w w0 g t 单价 p p0 r t 总花费 C k t 总收益 R p w 净收益的模型 P R C p0 rt w0 gt kt 参数估计 w0 200 g 5 p0 0 65 r 0 01 k 0 445 P R C 0 65 0 01 t 200 5 t 0 45 t P t 130 0 8t 0 05 t2 问题 求售猪的时间使净收益最高问题 求售猪的时间使净收益最高 令 P t 0 则有 0 8 2 0 05 t 0 得 t 8 P 8 130 0 8 8 0 05 82 133 2 结论 饲养8天后出售 净收益最高为133 2美元 分析 1 结果对参数的敏感程度 结论所依赖的参数 猪的初始重量w0 猪的初始价格p0 猪的饲养花费k 猪重的增加速率g 价格降低的速率r 价格变化率 r 对售猪时间t 的影响 价格 p t 0 65 r t 净收益 P t 0 65 rt 200 5t 0 45t 最大值点 t 7 500r 25r r 0 008 0 009 0 01 0 011 0 012 t 15 11 1 8 05 5 3 3 增重率 g 对售猪时间 t 的影响 重量 w t 200 g t 净收益 P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t 最大值点 t 5 13g 49 2g g 4 4 5 5 5 5 6 t 1 875 5 28 8 10 23 12 08 将敏感性数据表示成相对改变量 要比绝对 改变量的形式更自然也更实用 模型的参数灵敏度 如果r改变了 r 则的相对改变量为 r r 如果r改变了 r 导致t有 t的改变量 则相对改变量的比值为 t t 比上 r r 令 r 0 按照导数的定义 我们有 称这个极限值为t对r的灵敏度 记为 S t r t r dr dt t r r t 对于我们的问题 有 时间与价格的关系 t 7 500r 25r 在r 0 01 附近 t关于r的灵敏度为 S t r dt dr r t 2800 0 01 8 3 5 价格变化率降低1 将导致时间延长3 5 时间与增重量的关系 t 5 13g 49 2g 在 g 5 附近 t关于g的灵敏度为 S t g dt dg g t 4 9 5 8 3 06 增重率增加1 将导致出售时间延长3 2 模型的稳健性 一个数学模型称为是稳健的 是指即使这个模 型不完全精确 但其结果仍是可信的 数学模型要力求完美 但这是不可能达到的 更确切的说法是数学模型力求接近完美 一个好的数学模型有较好的稳健性 是指虽然它给出的答案并不是完全精确的 但是足够近似的从而可以在实际问题中应用 因此 在数学模型问题中关于稳健性的讨论是 很有必要的 1 参数 r g 的变化对净收益 P 的影响 固定r 令g 4 5和5 5 可得出售时间t为 5 28和10 23 分别代入模型 P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t 可得最优净收益为131 2 135 8 只相差2美元 固定g 令r 009和 011 可得出售时间t为 11 1和5 5 分别代入模型 P t 0 65 rt 200 5t 0 45t 可得最优净收益为135 6 131 6 只相差2美元 净收益值净收益值 P 关于参数关于参数 r g 的变化视稳健的的变化视稳健的 2 假设对模型的影响 关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设 不总是成立的 以这些数据 w0 200 w 5 p0 0 65 p 0 01 为依 据确定何时售出时 要注意到在未来的几周内w 和p 可能不会保持常 数 因此w p也不会是时间的线性函数 这时 净收益的增长率P w p wp 0 45 其中w p wp 代表售猪收益的增长率 第一项代表由于猪增重而增加的 第二项代表因价 格下降而损失的价值 模型告诉我们 只要售猪的收益比饲料的费用增长 快 就应暂不卖出 继续饲养 另一方面 只要时间不长 在这段时期内w 和p 的变化就不会太大 由于假设它们是线性的而导致的误差就不会 太大 这时 按照前面的数据所得到的8天出售的 结果对净收益值P来说也是稳健的 不难算出 在3天到13天之间出售的净收益 的数值都在132美元之上 与最优的收益只损失了不到2美元 02468101214 130 130 5 131 131 5 132 132 5 133 133 5 在今后的几天内 如果猪的增重量 降低10 或者出售价格增加了10 出售时间将会提前 在第8天出售时净收益的损失量也是 稳健的 不会超过1美元 02468101214 127 128 129 130 131 132 133 134 g 5 r 01 g 4 5 r 01 g 5 r 011 结论 我们现在能说的只是至少要等8天再出售 对较小的 p 接近0 模型建议我们等较 长的时间再出售 但我们的模型对较长的时间不再有效 因此 解决这个问题的最好的方法是 将猪再饲养一周的时间 然后重新估计w0 w p0和 p 再用模型重新 计算 问题1 在售猪问题中 对每天的饲养 花费做灵敏度分析 分别考虑对最佳售猪时间和相应收益 的影响 如果有新的饲养方式 每天的饲养花 费为60美分 会使猪按7磅 天增重 那么是否值得改变饲养方式 求出使饲养方式值得改变的最小的增 重率 问题 2 假设 p t 0 65 0 01t 0 00004t2 表示 t 天后猪的价格 美元 磅 1 画图表示 p t 及我们原来的价格函数 解 释为什么原来的价格函数可以作为 p t 在接 近零时的近似 2 求最佳的售猪时间 3 参数0 00004表示价格的平稳率