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文档简介

1 曲线和曲面上的积分 Gauss公式 2 内容提要 Gauss公式 Rn中n 1维双侧闭曲面S的 第 二型 曲面积分和S所围区域上的积分之间 的关系及其对有界区域的推广 3 Gauss定理 设 Rn中的有界闭区域 其边界 由有限 多个分片光滑双侧曲面组成 F是定义在 上 的光滑向量场 的方向指向区域外侧 则 下列Gauss公式成立 其中称作向量场F的散度 dx x F NdF n i i i 1 n i i i x F F 1 div 4 Gauss定理示意图 D S N 5 Gauss定理的证明 Gauss定理的一般证明与Green定理的证明 类似 将 分成满足下列形式的小区域 k 的并 先在每一个 k上证明定理 然后将结果 加起来 ni Rxxxxx xxxxx ni niii i ii i ii i k 1 1 111 2 1 其中 6 Gauss定理的证明 续 这里仅对上面特殊区域证明定理 设 由公式右端出发 对每个 ni Rxxxxx xxxxx ni niii i ii i ii i 1 1 111 2 1 其中 i x x i i i i i dx x F xddx x Fi i i i i 2 1 ni 1 7 Green定理证明 续1 有微积分基本定理和第二型曲面积分的定义 dNF xdxFxF dx x F xddxdy x F ii ii i ii i i i x x i i i i i i i i i i i 2 1 1 2 8 Gauss定理证明 续2 对i由1到n求和 就得到Gauss公式 NdFdx x F n i i i 1 9 Gauss公式例1 设S为Rn中的球面 x r 向量场F x x 计算 F关于S外侧的第二型曲面积分 解 div F n 因此 n n rBS r n rBn ndxNdF 2 2 0 2 0 10 Gauss公式例2 计算 其中S为四面 体 x y z 1 x 0 y 0 z 0表面的外侧 解 向量场F x 1 y 1 的散度div F 2 及四 面体为 由Gauss公式 3 1 2 dxdydzNdF S S dxdyydzdxdydzx 1 11 Green公式是Gauss公式 平面上逆时针方向的简单闭曲线的切向量 T T1 T2 与外法向量N N1 N2 的关系 N1 T2 N2 T1 P Q T Q P N 12 n维分部积分公式 设 是Rn中的有界分片光滑闭区域 即 分 片光滑 F是 上的光滑向量场 g是 上的 光滑实值函数 则 其中 x 是 的单位外法向量场 dxxFxg dxxFxgdxxDgxF div 13 n维分部积分公式 续 特别F x ek 我们就得到分部积分公式 dxx x f xg dxxfxgdxx x g xf i i i 雁
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