数值分析实验(4).doc

实验四 数值积分与数值微分 专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907一、实验目的1、熟悉matlab编程。2、学习数值积分程序设计算法。3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。二、实验题目P1371、用不同数值方法计算积分。（1）取不同的步长.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。 三、实验原理与理论基础1.1复合梯形公式及其复合辛普森求解误差关于h的函数：复合辛普森公式：误差关于h的函数：1.2龙贝格求积算法：龙贝格求积公式是梯形法的递推化，也称为逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种计算积分的方法，同时它有在不断增加计算量的前提下提高误差的精度的特点。计算过程如下：（1）取，求： （2）求梯形值即按递推公式计算.（3）求加速值，按公式逐个求出T表的地k行其余各元素（4）若（预先给定的精度），则终止计算，并取转（2）继续计算。 T表0b-a1234上表指出了计算过程，第二列给出了子区间长度，i表示第i步外推。可以证明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分。四、实验内容程序设计如下：1、复合梯形法M文件：function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f);2、复合辛普森法M文件：function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h);t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2);3、龙贝格算法M文件：function I,step=Roberg(f,a,b,eps)if(nargin=3) eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f),b);while toleps k=k+1; h=h/2; Q=0; for i=1:M x=a+h*(2*i-1); Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f),x); end T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q; M=2*M; for j=1:k T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j)/(4j-1); end tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j);endI=T(k+1,k+1);step=k;1、复合梯形法运行： format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.417062831779470 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.443117908008157 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4443875389971622、复合辛普森法运行： format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.435297890074689 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.444161178415673 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4444341176141803、龙贝格算法运行： q,s=Roberg(sqrt(x)*log(x),0.0000001,1)q = -0.4444s = 9五、实验结果1、复合梯形法结果： format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.417062831779470 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.443117908008157 format long;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4443875389971622、复合辛普森法结果： format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),format short;ans = -0.435297890074689 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),format short;ans = -0.444161178415673 format long;natrapzz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),format short;ans = -0.4444341176141803、龙贝格算法结果： q,s=Roberg(sqrt(x)*log(x),0.0000001,1)q = -0.4444s = 9实验结论：对比以上的计算结果可得：复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时，即越大，越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的，使得精度不能再被改变。由两个相应的关于的误差余项，其中，可知愈小，余项愈小，积分精度越高。六、实验结果分析与小结1、通过这次实习，加深了对复合梯形法、复合辛普森法和龙贝格法的理解，之前学习这三个算法时觉得特别麻烦，公式那么长，而且不是很理解。这次实习对三种算法的编程，对三种算法进行详细地分析，现在理解了算法的过程。在编写函数程序的过程中也在不断地提高和改进，有些虽然不是很熟，也不太清楚到底怎么做，但是查阅了之后就懂了。2、在编写程序，进行算法设计还是会出现很大问题，有程序运行不出来修改也是很麻烦，而且由于之前