数学建模——创意折叠桌.doc

创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到软件中使用方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下 ，建立数学模型分析研究下面的问题： （1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。根据建立的模型设计创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数及动态变化过程的示意图。二、问题分析本题研究的创意平板折叠桌问题，问题一至三，都是研究折叠桌在制作过程中的设计加工参数，本着同样的思想，建立数学模型，全面的考虑各方面的影响因素，求出最优解。问题一是利用所给的已知条件，求解折叠桌在运动及设计方面的问题。首先使用已知量得出组成折叠桌的每条木条的长度，再利用等效替代的思想建立模型对折叠桌折叠的动态过程进行描述，最后观察总结求出设计加工参数以及桌角边缘线。问题二是求最优设计加工参数的问题，在折叠桌制作过程中影响因素有很多个，选取用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，建立模型，利用软件求取某些参数的最优解，借助这些最优参数，得出全面的最优设计加工参数。问题三是求适用于不同桌面形状的设计加工参数的模型的建立，首先建立不同形状桌面的求设计加工参数的模型，观察建立的模型，找出其中的共同处，建立通解模型，在任意输入折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的数据，求解，将得到的数据汇总，并用软件编程，绘制动态变化过程。三、模型假设1、假设相邻木条间紧密相连，无缝隙，木条总宽度就是桌面的宽度；2、假设木板宽度等于圆桌面的直径；3、假设桌面与腿接口处的缝隙可以忽略不计；4、假设加工过程中的误差可以忽略不计；5、假设圆桌面的圆心与长方形模板的对角线的交点重合。四、符号说明从边缘最外侧数起第条半弦长桌腿与竖直方向的夹角边缘最外侧桌腿的长度桌子高度从边缘最外侧数起第根木条的长度从边缘最外侧数起第根木条开槽的长度第根木条与桌面的交点坐标第根木条钢筋位置的坐标第根木条上桌脚边缘线的点的坐标边缘桌腿与地面的夹角制作所需的平板的厚度制作所需的平板的长度最外侧边缘的半弦长木条的宽度木板的宽度五、模型的建立与求解5.1实施过程：定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，使用弦长公式，计算出除最外两侧的其余弦的长度，将数据导入软件中使用方式拟合，得出最外侧的弦长，从而得出最外侧腿的长度；：引用等效替代的思想，建立数学模型，将折叠桌的动态变化转化为最外侧桌腿和竖直方向的角度的变化，编写程序；：根据观察出的桌腿与木槽长度的关系，对木槽求解。对桌脚边缘线的描述，建立三维坐标系，引用空间直线方程，求出边缘线上点的坐标，最后画出边缘线的图像。5.2 的求解计算弦长和桌腿长给定的长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，命圆桌面的弦长方向与木板长度方向平行，利用弦长公式对除最外侧的18条弦长求长度，将求出的数据拟合，得出最外侧弦长的长度。为求弦的半弦长，建立以下的数学模型： ：从边缘最外侧数起第条半弦长 表1 折叠桌圆桌面的18条半弦长210.891124.873151224.49417.851323.855201422.91621.651521.65722.911620823.851717.85924.4918151024.871910.89根据以上表1中的数据，因为呈对称性，所以随机选取右半边的数据导入中编程拟合【见附录一】，得出=1、20时的弦长。图一 软件对数据拟合由上图方式拟合，得出最外侧木条的半弦长为6.18cm，因此可以得出折叠桌桌腿的长度为53.82cm。5.3 的求解建模求解创意平板折叠桌的折叠变化过程是很复杂的，由此引用等效替代的方法将复杂的问题在不改变结果的情况下转化为简单明了的问题。将折叠椅的变化过程转化为桌腿与桌高的夹角变化情况。 建立了以下的数学模型： ：桌腿与竖直方向的夹角：边缘最外侧桌腿的长度：桌子高度因为平板尺寸的厚度为3cm,所以折叠桌的真实桌高为50cm。根据上述的模型利用软件编写出程序【见附录二】，随意输入一个在范围内的桌高都可以得到桌子再此高度时桌腿与竖直方向的夹角，根据角度的变化，反映出折叠桌在折叠过程中的变化情况。借用此模型求出在固定的位置桌腿与竖直方向的夹角为。编写程序【见附录三】折叠桌折叠过程中的动态示意图：图二 折叠桌变化过程5.4 的求解设计加工参数及桌角边缘线5.4.1设计加工参数根据对所给题目的观察与理解，已知连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，由此可以得出所开木槽长的限制范围。为了最后展现出桌脚边缘线的弧度，可以得出木槽长度由边缘到中间是逐渐递增的。折叠桌是对称的，因此只取左半边作为研究即可。为求木槽长度建立的数学模型是： ：从边缘最外侧数起第条半弦长：从边缘最外侧数起第根木条的长度 ：从边缘最外侧数起第根木条开槽的长度：边缘最外侧桌腿的长度由以上的模型求解，将得到的解绘制成以下的表2：表2 折叠桌各桌腿的长度及开凿木槽长度1124.8735.1318.691224.4935.5018.351323.8536.1517.671422.9137.0916.731521.6538.3515.4716204013.821717.8542.1511.671815458.821910.8949.114.71206.1853.8205.4.2桌角边缘线的数学描述 为了能客观且准确的描述出桌角边缘线，采用了三维坐标的描述方法，将桌面圆心作为坐标轴的原点，圆心地面的垂直方向向上作为三维空间坐标轴的轴，原点与木条长度延伸方向作为三维空间坐标轴的轴，原点与垂直弦的方向作为三维空间坐标轴的轴，由此建立的坐标系，引用的空间直线方程，求出桌角边缘线上点的坐标。桌子撑开后，利用两点坐标求第三点未知坐标，通过第根木条与桌面的交点与第根木条的钢筋的位置的坐标点确定空间直线方程可以求出第根木条上桌脚边缘线的点。空间直线方程： ：第根木条与桌面的交点坐标 ：第根木条钢筋位置的坐标 ：第根木条上桌脚边缘线的点的坐标根据以上的方程，把桌角边缘线上所有点的坐标求出来绘制表格，见下表3：表3 桌角线上点的坐标1115.182725-50129.533722.5-46.6138136.76620-43.4557145.360917.5-40.5832154.711315-38.1955164.46312.5-36.334174.441910-34.8537184.51337.5-33.7691194.59065-33.0802204.65852.5-32.690214.6585-2.5-32.690224.5906-5-33.080244.4419-10-34.853754.463-12.5-36.33464.7113-15-38.195575.3609-17.5-40.583286.766-20-43.455799.5337-22.5-46.61381015.1827-25-50将表3中的坐标点导入到软件中编写出程序【见附录四】，画出折叠桌折叠后的桌角边缘线的三维视图。 图三 折叠桌折叠后的桌角边缘线三维视图六、最优设计加工参数6.1实施过程：先对折叠桌桌脚与钢筋受力分析，观察桌脚到桌面的投影，确定稳定性最优点；：将用材最少作为目标函数，将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件，建立最优化模型，把建立的最优化模型使用软件编写程序求出最优解；：根据求出的最优解、各参数之间的关系，确定所求折叠桌的最优设计加工参数。6.2 的求解稳定性通过对不同状态的折叠桌做受力分析可以得知，四个受力脚在桌平面的投影是圆内切矩形时四个角的承受力最强，即桌子腿的四脚在桌面的投影是圆的内切矩形稳定性最好。图四 桌脚到桌面的投影及桌腿与地面夹角图：边缘桌腿与地面的夹角 :最外侧边缘的半弦长:边缘最外侧桌腿的长度由图四分析出折叠桌稳定性最高的形式，并对其分析为的求解做前提的准备条件。6.3 的求解建立最优化模型6.31建立最优化模型，求解在造型美观的基础上，将用材量作为目标函数，根据所做的前提，将其中的影响因素例如折叠桌的稳定性、加工是否方便作为约束条件，建立以下的数学模型：目标函数： 约束条件： ：边缘桌腿与地面的夹角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的长度:最外侧边缘的半弦长:边缘最外侧桌腿的长度根据以上的模型使用软件，编写程序【见附录四】，求解出模型中未知量的最优解，结果如下：Variable Value Reduced CostA 1.213876 0.000000B 1.250397 0.000000X 2.261767 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 12800.00 -1.0000002 2.363894 0.0000003 8.867094 0.0000004 0.000000 -160.00005 11.25991 0.0000006.32最优平板尺寸由上面对模型所求出的最优解，可以从上面的数据读取出以下最优平板尺寸：木板（条）的厚度桌腿与地面的夹角 ，因此，桌腿与竖直方向的夹角最外侧边缘的半弦长木条的宽度边缘最外侧桌腿的长度木板（条）的长度为了使加工方便，将木条的宽度取2.3cm，于是，80cm直径的桌面由34根宽为2.3cm的木条和一根宽为1.8cm的木条，为了秉持着加工方便及桌子的对称性原理，把1.8cm的木条放在最中间。6.4 的求解最优设计加工参数6.41最优开槽长度最优设计加工参数的求解过程与第一问中和的求解模型是类似的，只是木条编号有所改变，因此对模型修改得： ：从边缘最外侧数起第条半弦长：从边缘最外侧数起第根木条的长度 ：从边缘最外侧数起第根木条开槽的长度：边缘最外侧桌腿的长度将以上的模型带入数值求解，得到最优设计加工参数，见下表4：表4 最优开槽长度12.059878.530213.368267.221611.3084318.623861.966216.5638422.458658.131220.3988525.521855.068023.4620628.066952.522926.0071730.225250.364628.1654832.074848.515030.0150933.666646.923231.60681035.035845.554032.97601136.207744.382134.14791237.200943.388935.14111338.029542.560335.96971438.703941.885936.64411538.232141.357737.17231639.620140.969737.56031739.871840.718037.81201839.989940.599937.93016.42最优钢筋位置钢筋位置可以根据最中间木条开的槽的长度来确定，钢筋虽然是不会弯曲的，但钢筋是出于相对运动状态的，于木条间的木槽，钢筋是由槽的最下端移动到最上端，所以钢筋的最初位置是可以根据最中间的木槽确定出来。钢筋起先位于每个木槽的上端，将在木板处于水平状态时钢筋位置距圆桌面圆心的距离为L，为求钢筋位置建立数学模型为：从边缘最外侧数起中间的半弦长：从边缘最外侧数起中间木条的长度：从边缘最外侧数起中间木条开槽的长度对以上的模型带入中所求出的最优数据，求得最优钢筋的位置是在木板处于水平状态时，距离圆桌面圆心41.3248cm处为最优位置。七、模型的应用7.1实施过程：全面考虑多种折叠桌桌面的形状，分别就该形状的建立数学模型，找出各个模型的共同点，尽量汇总出一个通用模型；：根据建立的数学模型，随机取折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，求解出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数；：设计的创意平板折叠桌，并给出相应的设计加工参数，画出动态变化过程的示意图。7.2 的求解建立模型7.2.1圆形桌面的模型目标函数： 约束条件： ：边缘桌腿与地面的夹角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的长度:最外侧边缘的半弦长:边缘最外侧桌腿的长度：木板的宽度：桌子高度7.2.2椭圆形桌面的模型将椭圆近似的看成是矩形和两个半圆组成的图形，研究椭圆形的性质，建立椭圆形桌面的模型。目标函数： 约束条件： ：组成椭圆的矩形的长：木板的宽度：桌子高度：边缘桌腿与地面的夹角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的长度:边缘最外侧桌腿的长度7.2.3正六边形桌面的模型当桌面为正六边形时，研究正六边形的性质，建立正六边形桌面的模型。目标函数： 约束条件： ：正六边形边长：桌子高度 ：边缘桌腿与地面的夹角 :平板尺寸的厚度:平板尺寸的长度:最外侧边缘的半弦长:边缘最外侧桌腿的长度7.3 的求解模型求解输入桌折叠桌高度为50cm；桌面边缘线的形状为椭圆形；椭圆的短半径为15cm；其中的矩形长为30cm；桌脚边缘线大致为椭圆半弧形。将数据带入到建立的数学模型中，使用软件编程【见附件六】求出最优解。由上面对模型所求出的最优解，可以得出以下最优平板尺寸：木板（条）的厚度桌腿与地面的夹角 ，因此，桌腿与竖直方向的夹角边缘最外侧桌腿的长度木板（条）的长度在上面的计算中充分体现出建立的数学模型可以应用到实际的计算中，具有实用价值，因此建立的模型是有意义的。7.4 的求解设计折叠桌，画出动态变化过程图将中求解出的木板的尺寸大小带入圆形桌面的模型中，将新建立的模型使用软件中编写出程序【见附录七】画出折叠桌的动态变化示意图。图五 折叠桌动态变化示意图八、模型改进与推广8.1 模型优缺点8.1.1 模型优点 1、本文主要采用最优化模型，充分利用专业数学软件计算，可靠性很高； 2、本文忠于计算所得真实数据，避免盲目假设； 3、模型和分析内容比较完整，充分考虑各方面因素； 4、原创性很强，文章中所有模型均为自行推导建立的。8.1.2模型缺点 1、模型准确性不高，利用模型所得数据存在保留有效数字； 2、最优化模型的约束条件有点简单，未能充分考虑桌脚边缘线。8.2 模型的推广 本论文建立的模型应用性比较广，对于同一类型的桌面，设计不同尺寸的创意平板折叠桌，可以使各加工参数达到最优。本模型可推广到折叠椅、折叠床、折叠门等领域。同时，本模型利用计算机程序实现了对问题求最优解，可用于各种与此类型相关的场合。九、参考文献【1】吕林根，许子道，解析几何第四版，北京：教育出版社，2006【2】林晓琦，浅谈高中物理中的等效替代法，中学理科园地，第三期：28-30，2006【3】吕林根，许子道，解析几何第四版，北京：教育出版社，2006【4】司守奎，数学建模算法与程序，北京：国防工业出版社， 2007【5】司守奎，数学建模算法与程序，北京：国防工业出版社， 2007十、附录【附录一】对最外侧边缘的半弦长拟合clc; clear all; close all;A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 ;B=24.8747 24.4949 23.8485 22.9129 21.6506 20 17.8536 15 10.8972;fun = (beta, x) beta(1)*x.beta(2)+beta(3);beta0 = 1 2 3;beta = nlinfit(A,B,fun,beta0);xt = linspace(min(A), max(A);yt = fun(beta, xt);figure; hold on; box on;plot(A, B, r+);plot(xt, yt, b-);【附录二】折叠桌桌腿与桌高夹角的动态变化function f=fun(x)if x0&x0;(28*28+(28*tan(a)2)(1/2)-cos(a)*(28*tan(a)-70+b)/(sin(a)*sin(a)70-b;(28*tan(a)*28*tan(a)+28*28)(1/2)+cos(a)*(sin(a)-1)*(28*tan(a)-70+b)80;(40*40-(x*(40/x-1)2)(1/2)5；【附录六】用求解桌面为椭圆图形最优设计加工参数min=30*(30+2*(15*15+(50-d)2)(1/2);sin(a)*(30+2*(15*15+(50-d)2)(1/2)+d=50;15*tan(a)+d=50;(152+(50-d)2)(1/2)+d50;【附录七】画动态变化过程示意图L=129.6832; %长D=30; %宽，圆桌面直径d=2.469136; %木板宽hL=L/2; %半长R=D/2; %圆桌面半径y=-R+d/2:d:R-d/2; %长条宽度方向中心位置x=sqrt(R2-y.2); %长条中心在圆上的位置H=hL-x(1); %最长腿长度，也就是最大桌子高