数理方程第一章答案.pdf

数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学 第一章部分答案 2 设r r 0 1 u 0 求特解u u 2 u u 0 k 为常数 求u u 所满足的常微分方程 解 1 1 同理 1 代入原式可得 0 令 v 可得 求得 v 即 进一步求得 u 2 计算同上 求得 u r满足的方程是 2 2 2 1 0 d udu k u drr dr 3 设r r 0 1 u 0 求特解u u 2 u 0 设u 求 所满足的方程 解 1 同 2 可得 1 1 1 代入方程得 0 令 v 可得 求得 v 即 进一步求得 u 2 由 1 22 2 3 22 2 iwtiwt d RdRu ueiw eR r drr drt 数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学 代入原式得 2 22 2 2 0 iwtiwt d RdR w eR ra e drr dr 化简得 22 22 2 0 d RdRw R drr dra 4 求解下列方程的通解 1 2 u u x y 解 可写为 u 2x 积分得 u 对形如 的方程 解为 y e 直接代入得 u 简化得 u 2 u u x y 直接套用公式 6 推导杆的微小纵振动方程 解 设细杆截面积 S 密度 杨氏模量 FA E L L 纵向位移 du 取一小段 dx 用牛顿第二定律得 2 2 u xdx tu x tu E SE SSdx xxt 化简得 22 2 22 uEu tx 7 写出琴弦振动的定解问题 解 弦振动方程 22 2 22 uu af t x tx 没有 外力作用 所以 0f t x 数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学 设弦的一端 x 0 初始位置 2 0 2 0 2 2 uxl x l ux u lxl xl l 初速为 0 0 0 t u t 两端点不变 0 0u tu t l 所以定解问题 22 2 22 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 t uuT aa tx u t u tu t l uxl x l ux u lxl xl l txl T 为弦张力 9 求球体的温度分布满足的定解问题 解 球坐标系下的热传导方程 22 22 2222 111 sin sinsin uk auf t ra tc uuu ar rrrrr f t r 由对称性可知 0 0 uu 无热源项 0f t r 对流边界条件 r R u kh u t Rf t r 所以 数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学 2 2 2 0 0 r R uau rtrR trrr urr u kh u t Rf t r 12 求下列方程的通解 1 y z 0 解 可得 含有第三变量 不可直接积分求得特征方程 我们通过凑出两个首次积分来解决问题 求得特征线 所以 u 2 y 解 观察可得一特解为 v xy 设 u w v 则 w 满足方程 y 0 特征方程为 特征线为 所以 w f u w v xy f 另解 先写出该方程的特征方程 特征方程积得到一组特征曲线 令 22 xyxy 数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学 代入原方程得 1 u uf 22 uxyf xy 15 一端固定的半无界弦的定解问题 0 0 0 0 0 si n 0 若为cos 则 解 为满足边界条件作以下延拓 x si n x kx 由达朗贝尔公式得 u t x si n si n si n cos 若为cos 则作以下延拓 x cos cos x kx 由达朗贝尔公式得 u t x 1 2 cos cos 1 2 0 1 2 cos cos 1 2 0 si n si n 0 x 0 特征方程 特征线 x at h 通解 u f x at 代入边界条件得 f x 所以 u 数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学 5 0 1时 u 满足方程 解 根据提示知 u 代入边界条件得 2 2 2 5 4 对比系数得 0 2 所以 u 2 7 2 0 x 0 x 0 x si n2 由冲量原理公式求w w t x 1 2 2 由达朗贝尔公式得 v t x si n2 1 2 si n2 si n2 由u w v 得 u si n2 si n2 小结