向量组线性相关性判定.doc

安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作 者 院（系） 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 指导教师 郭亚梅 论文成绩 日 期 2015年 月 日 学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名： 日期：导师签名： 日期：院长签名： 日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002）摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法.关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.2.1 维向量的定义（一维、二维、三维向量，推广到维向量） 定义： 个有次序的数所组成的数组或分别称为维行向量或列向量.这个数称为向量的个分量, 第个数称为第个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为维向量空间（或线性空间）.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.3.向量组线性相关性的定义3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个矩阵对应一个维列向量组, 也对应一个维行向量组 3.2向量组的线性相关性的定义3.2.1 线性组合与线性表示设是一向量组, 表达式称为向量组的一个线性组合, 其中是一组实数, 称为这个线性组合的系数. 如果向量是向量组的线性组合则称向量能由向量组线性表示. 例如，任一维向量，都可以由维基向量线性表示.例1. 设向量组试判断是否可由线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解 设一组数使即有 由向量相等的定义可得线性方程组 该方程组的一个解为 于是即由线性表示.定理1 向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵 与矩阵的秩相等, 即. 3.2.2.向量组线性相关的定义定义1 向量组线性相关在向量组中至少有一个向量能由其余个向量线性表示.定义2 给定向量组，个数构造 如果存在不全为零的数使式成立，称向量组是线性相关的, 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的.证明如下：如果向量组中有某个向量(不妨设)能由其余个向量线性表示, 即有使 于是因为不全为0, 所以向量组线性相关. 反过来，如果向量组线性相关，则有其中不全为0, 不妨设, 于是 即能由线性表示. 例2 判断向量组是否线性相关.解：可取为未知数，建立下列方程式 看它是否有的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下列方程组 前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故线性相关.特别的一组解，可取为即或定理2向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数; 向量组线性无关的充分必要条件是这是因为, 向量组线性相关 即Ax=0有非零解 向量组线性无关 例3 证明维单位坐标向量组线性无关.证明 我们直接利用定义证明.如果存在一组数使得 根据向量线性运算的定义可以得到 从而所以是线性无关的.另证 我们利用定理，设向量组构成的矩阵为是阶单位矩阵.显然有即等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组是线性无关的.例4 已知向量讨论向量组及向量组的线性相关性.解 对矩阵施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵及的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知向量组线性相关；向量组线性无关.4.向量组线性相关性的性质（1）含零向量的向量组必线性相关. 线性无关的向量组中一定不含零向量.（2）一个向量线性相关 一个向量线性无关. (3)两个非零向量线性相关 两个向量线性无关它们不成比例.(4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关.向量组全体线性无关，则每一部分线性无关.若向量组线性相关, 则向量组也线性相关. 反之, 若向量组线性无关, 则向量组也线性无关. 结论可叙述为: 一个向量组若有线性相关的部分组, 则该向量组线性相关. 一个向量组若线性无关, 则它的任何部分组都线性无关. 性质（4）说明：这是因为, 记,有. 若向量组线性相关, 则有，从而 因此向量组线性相关. (5) 个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.个维向量组成的向量组, 当维数小于向量个数时一定线性相关. 特别地, 个维向量一定线性相关.这是因为, 个维向量构成矩阵 有若则 故个向量线性相关.(6)设向量组线性无关, 而向量组线性相关, 则向量必能由向量组线性表示, 且表示式是唯一的. 这是因为, 记,有 即有因此方程组有唯一解即向量能由向量组线性表示, 且表示式唯一.5.向量组线性相关性的判定方法5.1定义法给定向量组如果存在不全为零的数使得成立，则称向量组是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的数使得成立，也就是说，只有当全部为0时，才成立，则称向量组是线性无关的.例5 设向量组线性无关，判断向量组的线性相关性.解 设一组数使则有 即 因为向量组线性无关，所以 该方程组的系数行列式故方程组只有零解所以向量组线性无关. 例6 判断向量组的线性相关性.解 设一组数使 比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组 该方程组的一个非零解为故向量组线性相关.5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理3 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示.定理4 向量组线性无关，而线性相关可由线性表示且表达方式唯一.定理5 若向量组有一部分向量组线性相关向量组线性相关.与此等价的一个说法为：向量组线性无关向量组的任一部分向量组线性无关.例7 已知线性无关，线性相关，问：（1）能否由线性表示？（2）能否由线性表示？解 （1）由线性无关线性无关，又由线性相关能由线性表示且表达方式唯一，所以存在数使得，故能由线性表示. （2）反证法.假设能由表示，则存在数，使得又由（1）能由线性表示，所以能由线性表示，所以线性相关，与已知矛盾，故不能由线性表示.5.3 利用向量组的秩进行判定 向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.设向量组为其秩记为，由极大无关组的定义和秩的定义可得：若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例8 判断向量组的线性相关性. 解 构造矩阵并作初等行变换 可见，故线性无关.5.4 利用反证法进行判定 在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例9 设向量组中任一向量不是它前面个向量的线性组合，且，证明向量组线性无关.证明 （反证法）假设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得： ， 由此可知，由上式可得 即可以由它前面个向量线性表示，这与题设矛盾，因此，于是式转化为.类似于上面的证明可得式转化为.但，所以这与不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10 设为阶矩阵，为维列向量，若，但.证明：向量组线性无关.证明：用反证法. 假设向量组线性相关，由于，从而，则可由线性表出，设为否则，于是，这与已知矛盾，因此向量组线性无关.例11 设是一组维向量，已知单位坐标向量可被它们线性表出，证明：线性无关.证明：法1 （反证法）若线性相关，则至少有一可由其他线性表示（不妨设可由线性表示 ）.由题设，可由线性表示，从而可由线性表示，而任一维向量均可由线性表示，因而也可由线性表示.由此得全体维向量构成的向量集合的秩小于，这与的秩等于矛盾，故线性无关.法2 设的秩为，则而的秩为由题设，可由线性表出，因此，故 5.5 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.对于各分量都给出的向量组，若以为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解向量，则此向量组是线性相关的. 例12 证明向量组线性相关. 证明 ：以为系数向量的齐次线性方程组是 即 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，即齐次线性方程组有非零解，所以向量组线性相关.例13 证明：如果，那么线性无关. 证明：设得到线性方程组 由于系数行列式的转置行列式，故齐次线性方程组只有零解，从而线性无关.5.6 利用矩阵的秩进行判定设向量组是由个维列向量所组成的向量组，则向量组的线性相关性可由向量组所构成的矩阵的秩的大小来进行判定.即（1） 当时，则向量组是线性无关的.（2） 当时，则向量组是线性相关的.例14 设 问当为何值时，向量组线性相关，并将表示为和的线性组合.解：利用矩阵的秩有可见，当时，向量组线性相关，并且有所以.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.例15 断向量组的线性相关性.解：以为行向量构成矩阵，并进行初等行变换化为行阶梯形 则向量的个数，故向量组线性相关.例16 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是（） 分析 对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法： （1）定义法 先设然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等，究竟用什么方法应当从已知条件去寻求信息.通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全是0，从而得知是线性相关还是线性无关. （2）利用矩阵的秩. 要论证线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵，利用或来说明.（3）利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论.（4）反证法. 解 法1 观察可知，线性相关. ，线性相关；，线性相关.由排除法可知应选.法2 对，设，拆项重组为 由线性无关知 ，由于系数行列式所以方程组只有零解从而线性无关.用此法可知均线性相关.5.7 利用行列式的值进行判定若向量组是由个维列向量所组成的向量组，且向量组所构成的矩阵，即为阶方阵，则（1） 当时，则向量组是线性相关的.（2） 当时，则向量组是线性无关的.若向量组的个数与维数不同时，则（1） 当时，则向量组是线性相关的.（2） 当时，转化为上述来进行判定，即选取个向量组成的维向量组，若此维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的.例17 已知试讨论的线性相关性.证明：令 则，所以线性相关.行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.例18 已知向量组是线性无关的，且有，证明向量组线性无关.证明：设有使得即 整理为 因是线性无关的，所以 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解，所以向量组线性无关.例19 已知向量组线性相关，试求的值.分析 对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：（1） 先由定义写出，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；若该齐次线性方程组有非零解（即无穷多解），则向量组线性相关；若该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.（2） 排成矩阵（列向量时）或（行向量时），求的秩；若时，向量组线性相关；若时，向量组线性无关.（3） 对于个维向量，可同上将其排成矩阵，用是否成立来判断是否线性相关.（4） 利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定.解 或.法1 或时，线性相关.法2 或时行列式为0.6.结论 通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.参考文献1 王鄂芳,石生明.高等代数M.高等教育出版社,2003.2 徐仲,陆全.高等代数M.西北工业大学出版社,2009.3蓝以中.高等代数简明教程M.北京大学出版社，2002.4肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法J.伊犁师范学院学报（自然科学版），3（2008）:58-595罗秀芹，董福安，郑铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨J.高等代数研究，9（2005）：18-196杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定J.山西农业大学学报（自然科学版），3（2005）7黄娟霞.关于向量组线性相关性的初步探讨J.广东石油化工学院学报，2（2012）:68-698董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性J.考试周刊，33（2013）:57-589牛少彰，刘吉佑，线性代数M.北京：北京邮电大学出版社，2004.10钱吉林，高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002.11杨子胥，高等代数习题集（上）（修订版）M.济南：山东科学技术出版社，200112钱志强，线性代数教与学参考M.北京：中国致公出版社，2002.Methods to determine the correlation between the linear vector group Hou xuling(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002)Abstract: Correlation betwe