高考总复习——导数及其应用(题目含答案全解全析).doc

45 高考总复习高考总复习 导数及其应用 题目含答案全解全析 导数及其应用 题目含答案全解全析 考点阐释 考试说明 要求 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 能根据定义求几个简单函数 的导数 能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数 本节的能级要求为导数的概念 A 级 其余为 B 级 高考体验 一 课前热身 1 2009 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 点 P 在曲线 3 103C yxx 上 且在第二象限内 已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 则点 P 的坐标为 2 2009 宁夏海南卷文 曲线21 x yxex 在点 0 1 处的切线方程为 3 2009 全国卷 理 已知直线 y x 1 与曲线yln xa 相切 则 的值为 4 2009 江西卷理 设函数 2 f xg xx 曲线 yg x 在点 1 1 g处的切线方程为21yx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处切线的斜率为 5 2009 福建卷理 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a取值范围是 6 2009 陕西卷理 设曲线 1 n yxnN 在点 1 1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 n x 令 lg nn ax 则 1299 aaa 的值为 二 教材回归二 1 函数的平均变化率 一般地 函数在区间上的平均变化率为 xf 21 x x 2 函数在处的导数 xf 0 xx 1 定义 设函数在区间上有定义 若无限趋于 0 时 比值 xfy ba 0 bax x x y 无限趋于一个常数 A 则称在 处可导 并称该常数 A 为函数在点处 xf xf 45 的导数 记作 2 几何意义 函数在点处的导数的几何意义是过曲线上的点 的切线的斜率 xf 0 x xf xfy 3 基本初等函数的导数公式 C 为常数 a 为常数 C a x sin x cosx 基 x e x a ln x log x a 4 导数的四则运算法则 1 xgxf 2 xgxf 3 xg xf 0 xg 1 三 同步导学 例 1 已知质点 M 按规律做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 32 2 ts 1 当 t 2 时 求 01 0 t t s 2 当 t 2 时 求 001 0 t t s 3 求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度 例 2 求下列各函数的导数 1 2 sin 2 5 x xxx y 3 2 1 xxxy 3 4 4 cos21 2 sin 2 xx y 1 1 1 1 xx y 例 3 已知曲线 y 3 4 3 1 3 x 1 求曲线在 x 2 处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 四 高考定位 1 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义 主要以填空题形式来考查 2 能根据导数定义求最基本函数的导数 能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 3 会求切线的方程 区分在点处与过点的切线方程 45 4 导数运算每年必考 常与导数的应用交汇 考查导数的运算能力 课堂互动 1 2008 江苏卷 直线 1 2 yxb 是曲线 ln0yx x 的一条切线 则实数 b 2 2009 安徽卷理 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程是 3 设f x x x 1 x 2 x n 则f 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 2009 安徽卷文 设函数 其中 则导数的 取值范围是 5 2009 江西卷 若存在过点 1 0 的直线与曲线 3 yx 和 2 15 9 4 yaxx 都相切 则a等于 6 2008 海南 宁夏卷 设函数 a b Z Z 曲线在点处的切线方程为 y 3 bx axxf 1 xfy 2 2 f 1 求的解析式 xf 2 证明 曲线上任一点的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定值 并求出此定 xfy 值 好题精练 1 一个物体的运动方程为其中 y 的单位 m t 的单位 s 那么物体在 3s 末的瞬时速度是 1 2 tty s m 2 已知 f x sinx cosx 1 则等于 xf 3 设 P 为曲线 C y x2 2x 3 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是 则点 P 横坐标 4 0 的取值范围为 4 若点 P 在曲线 y x3 3x2 3 x 上移动 经过点 P 的切线的倾斜角为 则角的取值范围是3 4 3 5 2008 南通调研 给出下列的命题 若函数 若函数图像0 0 3 fxxf则12 2 xxf 上 P 1 3 及邻近点 Q 1 则 加速度是动点位移函数对时间 t 的导数 3 yx x x y 24 ts 45 其中正确的命题是 x xx yx x y x xx x 1 2 222 lg 2 2 2 2 则 6 2009 南通调研 曲线C sine2 x f xx 在x 0 处的切线方程为 7 2009 徐州调研 已知函数 f x 2 f sinx cosx 则 4 f 8 已知 则 1 sin x f xex 1 2 nn fxfx n 2008 1 0 i i f 9 已知函数的导函数为 且满足 则 xf xf 2 23 2 xfxxf 5 f 10 设 则 010211 cos nn fxx f xfxfxfxfxfx nN 2008 fx 11 求下列函数在 x x0处的导数 1 f x 2 2 1 e 1 e 0 x xx xx 1 ln 0 2 23 x x xxxx xf 12 设函数 曲线在点处的切线方程为 b f xax x yf x 2 2 f 74120 xy 求的解析式 f x 证明 曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值 并 yf x 0 x yx 求此定值 13 已知曲线C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y x3 3x2 2x 直线l y kx 且l与C切于点 x0 y0 x0 0 求直线l的方程及切点坐 标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 14 球半径以 2的速度膨胀 1 半径为 5cm 时 表面积的变化率是多少 scm 2 半径为 8cm 时 体积的变化率是多少 第 34 课 导数在研究函数中的应用 考点阐释 考试说明 要求 了解函数的单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的 单调区间 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会利用导数求函数的极大值和极小值 对 多形式一般不超过三次 本节的能级要求为 B 级 高考体验 一 课前热身 1 2009 江苏卷 函数 32 15336f xxxx 的单调减区间为 45 2 2009苏北四市调研 函数上的最大值为 3 2 3 2 sin2 在区间xxy 3 2009 盐城调研 已知函数 是自然对数的底数 若实数是方程的 ln x f xex e 0 x 0f x 解 且 则 填 102 0 xxx 1 f x 2 f x 4 2009 苏 锡 常 镇调研 若函数在定义域内是增函数 则实数的取值 2 ln2f xmxxx m 范围是 5 2009 通州调研 f x 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 对任0 xfxf x 意正数a b 若a b 则的大小关系为 af a bf b 6 2008 江苏卷 f x ax3 3x 1 对于 x 1 1 总有 f x 0 成立 则 a 二 教材回归 1 函数的单调性与导数 1 设函数在某区间内可导 如果 那么函数在这个区间上为增函数 xfy 如果 那么函数在这个区间上为减函数 xfy 2 函数为增函数的 条件 0 xf xfy 2 函数的极值 解方程 当时 0 xf0 0 xf 1 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大值 0 x 0 xf 2 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小值 0 x 0 xf 3 求函数在上的最值 xfy ba 1 求函数在 内的极值 xfy 2 将函数得各极值与 的函数值 比较 其中最大的一个是最大值 xfy 最小的一个为最小值 三 同步导学 例 1 2009 通州调研 已知函数 x x xfy ln 1 求函数的图像在处的切线方程 xfy e x 1 2 求的最大值 xfy 3 设实数 求函数在上的最小值 0 a xafxF aa 2 45 例2 2009南通调研 设a为实数 已知函数 3221 1 3 f xxaxax 1 当a 1时 求函数 f x的极值 2 若方程 f x 0有三个不等实数根 求a的取值范围 例 3 2009 南通调研 已知函数在 1 上为增函数 且 0 1 ln sin g xx x m R 1 ln m f xmxx x 1 求 的值 2 若在 1 上为单调函数 求m的取值范围 f xg x 3 设 若在 1 e 上至少存在一个 使得成立 求的取值范 2 e h x x 0 x 000 f xg xh x m 围 四 高考定位 1 以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值 最值 2 利用函数的单调性求参数的范围 3 利用数形结合思想 及函数的单调性判断方程的根 课堂互动 1 2009 南京师大附中期中 函数在 0 内的单调增区间为 2sinyxx 2 2 2009 苏州中学期中 若函数 2 3 kk h xx x 在 1 上是增函数 则实数k的取值范围是 3 2009 通州调研 函数的图像经过四个象限的充要条件是 32 11 221 32 f xaxaxaxa 4 2009 镇江调研 方程在 0 1 上有实数根 则 m 的最大值是 03 3 mxx 5 2009 扬州调研 若函数满足 对于任意的都有 32 1 3 f xxa x 12 0 1x x 恒成立 则的取值范围是 12 1f xf x a 6 2009苏北四市调研 已知函数 0 1 2 1 3 21 fggRbacxbxxgaxxf 且 1 试求所满足的关系式 b c 2 若 方程有唯一解 求的取值范围 0b 在 0 xgxfa 45 3 若 集合 试求集合 1b 0 xgxgxfxA且A 好题精练 1 2007 年广东文 函数 ln 0 f xxx x 的单调递增区间是 2 2009 福建卷理 若曲线 3 lnf xaxx 存在垂直于y轴的切线 则实数a取值范围是 3 若上是减函数 则的取值范围是 2 1 ln 2 2 f xxbx 在 1 b 4 若函数有三个单调区间 则的取值范围是 3 4 3 yxbx b 5 2007 年江苏 9 已知二次函数 2 f xaxbxc 的导数为 fx 0 0f 对于任意实数x都有 0f x 则 1 0 f f 的最小值为 6 2007 年江苏 13 已知函数 3 128f xxx 在区间 3 3 上的最大值与最小值分别 为 M m 则Mm 7 函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值 10 则 a b 8 已知函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值为 10 则 f 2 9 若 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 没有极值 则 a 的取值范围为 10 分别是定义在上的奇函数和偶函数 当时 且 xf xgR0 x0 xgxfxgxf 则不等式的解集是 0 3 g0 xgxf 11 2009 全国 卷 设函数 aaxxaxxf244 1 3 1 23 其中常数 a 1 1 讨论 f x 的单调性 2 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 12 2009 辽宁卷 设 且曲线 y f x 在 x 1 处的切线与 x 轴平行 2 1 x f xe axx I 求 a 的值 并讨论 f x 的单调性 II 证明 当 w w w k s 5 u c o m 0 f cos f sin 2 2 时 13 设函数 lnf xaxx 22 g xa x 45 当1a 时 求函数 yf x 图象上的点到直线30 xy 距离的最小值 是否存在正实数a 使 f xg x 对一切正实数x都成立 若存在 求出a的取值范围 若不 存在 请说明理由 14 2009 南京调研 已知函数xaxxfln 2 1 2 Ra 1 若函数在处的切线方程为 求的值 xf2 xbxy ba 2 若函数在为增函数 求的取值范围 xf 1 a 3 讨论方程解的个数 并说明理由 0 xf 第 35 课 简单复合函数的导数 考点阐释 考试说明 要求 会求简单复合函数的导数 高考一般不单独考查 为附加题部分知识 本节的能 级要求为 B 级 高考体验 一 课前热身 1 函数的导数是 xy3sin2 2 函数的导数是 x xey 2 3 函数的导数是 2 log 2 2 xx 4 如 y f x 是可导函数 且则当 x 1 时函数的导数值为 2 1 f 1 x f 5 设函数 0 1 6 sin xfxxf 的导数 的最大值为 3 则f x 的图象的一条对称轴的 方程是 6 已知则 1 102 xxxf 0 0 f f 二 教材回归 若 则 即 ufy baxu xy xy 三 同步导学 例 1 求函数的导数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 45 1 3 sin 2 cos 1 1 1 232 2 xfyxbaxy xx x y 例 2 有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上 假设其下端沿地板以 3 m s 的速度离开墙 脚滑动 求当其下端离开墙脚 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 m 时 梯子上端下滑的速度 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 3 2009 南通调研 已知函数记函数 k 为常数 2 2 2 g xxx f xxkg x 2 x 1 若函数 f x 在区间上为减函数 求的取值范围 2 k 2 求函数 f x 的值域 四 高考定位 1 对于函数求导 一般要遵循先化简 再求导的基本原则 求导时 不但要重视求导法则的应用 而 且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在实施化简时 首先必须注意变换的等价性 避免不必要的 运算失误 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 复合函数求导法则 像链条一样 必须一环一环套下去 而不能丢掉其中的一环 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 必须正确分析复 合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的 分清其间的复合关系 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 课堂互动 1 y esinxcos sinx 则 y 0 等于 2 函数的导数是 2 1 xx eey 3 如函数的导数为 0 则 x 的值是 0 2 a x ax y 4 若 且 则 2 2 axxf 20 2 f a 5 如果函数是可导函数 则 y 对 x 的导数是 cosxfy 6 2009 南通调研 已知等式 其中 252910 012910 22 1 1 1 1 xxaa xaxa xax ai i 0 1 2 10 为实常数 求 1 的值 10 1 n n a 2 的值 10 1 n n na 好题精练 1 函数的导数是 4 35 xy 2 函数的导数是 nxy n cossin 45 3 函数的导数是 4 31 1 x y 4 函数在 x 1 处的导数值是 x y 1 ln 5 函数 fn x n2x2 1 x n n 为正整数 则 fn x 在 0 1 上的最大值为 6 曲线在点 P 处的切线方程为 4 2cos xy 0 7 函数的值域为 xxxfcos3sin 3 8 如函数在 x 处有最值 则 xxaxf3sin 3 1 sin 3 a 9 在半径为 R 的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时它的面积最大 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 10 函数在上的最大值为 最小值为 xxxf 2sin 2 2 11 求函数的导数 1 y x2 2x 3 e2x 2 3 y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 xx y 2 2 3 1x x 12 在甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处 乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km 两厂要在此岸边合建一个供水站 C 从供水站到甲厂 和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元 问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省 13 2009 宁夏海南卷理 已知函数 32 3 x f xxxaxb e I 如 求的单调区间 3ab f x II 若在单调增加 在单调减少 证明 f x 2 2 6 w w w k s 5 u c o m 14 利用导数求和 1 Sn 1 2x 3x2 n x 0 n N 1 n x 2 Sn C 2C 3C nC n N 1 n 2 n 3 n n n 第 36 课 导数的综合运用 45 考点阐释 考试说明 要求 会用导数解决某些实际问题 利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的 继续与延伸 这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化 因而已逐渐成为新高考的又一热点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头本节的能 级要求为 B 级 高考体验 一 课前热身 1 2009 南通调研 水波的半径以 50的速度向外扩张 当半径 250cm 时 圆面积的膨胀率是 scm 2 已知函数 若直线对任意的都不是曲线的 3 3 Raaxxxf 0 myxRm xfy 切线 则的取值范围为 a 3 2009 通州调研 设函数 若时 恒成立 则xxxf 3 0 2 cos 1 0f mfm 实数的取值范围是 4 2009 盐城调研 已知关于x的方程有三个不同的实数解 则实数k的取值范围是 3 3 x kx x 5 2009 南京调研 在平面直角坐标系 xOy 中 设 A 是曲线 与曲线 1 C 3 1 0 yaxa 2 C 的一个公共点 若在 A 处的切线与在 A 处的切线互相垂直 则实数 a 的值是 22 5 2 xy 1 C 2 C 6 2009 南通调研 设函数 记 若函数至少存在一个零 32 2lnf xxexmxx f x g x x g x 点 则实数m的取值范围是 二 教材回归 导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大 小 值问题 一般应 则问 题转化为导数问题 解题中应该注意 三 同步导学 例 1 2009 淮安调研 已知函数 ln1f xxx 0 x 1 求的单调区间和极值 f x 2 设 函数 若对于任意 总存在 使得a 22 325g xxaxa 0 01x 上 1 01x 上 成立 求的取值范围 01 xgxf a 3 对任意 求证 0 x 111 ln 1 x xxx 例 2 2009 南京调研 设 函数 0 a 1ln 2 xaxxf 1 当时 求曲线在处的切线方程 1 a xfy 1 x 2 当时 求函数的最小值 1 x xf 45 例 3 2008 年江苏卷 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长为km y 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将表示成的函数关系式 y 设 OP km 将表示成 x的函数关系式 x yx 请你选用 中的一个函数关系式 确定 污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 思考题 四 高考定位 1 以解答题的形式考查导数与三角函数 解析几何 不等式等知识相结合的问题 会构 造函数来求导 2 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 把 问题情景 译为数学语言 找出问 题的主要关系 并把问题的主要关系近似化 形式化 抽象成数学问题 再划归为常规问题 选择合适 的数学方法求解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 课堂互动 1 2009 淮安调研 已知 记 xxxfcossin 1 21 fxfx 32 fxfx 1 xfxf nn 2 nNn 则 122009 444 fff 2 已知函数 f x 的定义域为 部分对应值如下表 2 x 204 f x 1 11 为的导函数 函数的图象如图所示 若两正数 a b 满足 f 2a b 0 时 求证 函数f x 的图像存在唯一零点的充要条件是a 1 3 求证 不等式对于恒成立 111 ln12xx 1 2 x 14 2009 扬州调研 网已知函数高考资源网 32 2 xxexf x I 求曲线处的切线方程 高考资源网 1 1 fxfy在点 求证函数在区间 0 1 上存在唯一的极值点 并用二分法求函数取得极值时相应 x 的近似值 xf 误差不超过 0 2 参考数据 e 2 7 1 6 e0 3 1 3 高考资源网e A B 2m 2m M N E D F P Q C C l 45 III 当试求实数的取值范围 高考资源网 1 3 2 5 2 1 2 恒成立的不等式若关于时 xaxxfxxa 第 37 课 定积分 考点阐释 考试说明 要求 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 会用微 积分基本定理求定积分 高考时为附加题部分内容 本节的能级要求为 A 级 高考体验 一 课前热身 1 2 1 1 2 dx x x 2 dxxx sin3 2 0 3 若 3 则 t 的取值范围 tt dxxdx 0 2 0 2 4 若 2 0 2 0 3 2 0 2 sin xdxcdxxbdxxa 则 a b c 的大小关系是 5 由曲线 x y 1 1 y 2 y 1 x所围成的面积 为 6 图中 阴影部分的面积是 二 教材回归 1 求曲边梯形面积的步骤 2 定积分的定义 一般地 设函数在区间上有定义 将区间等分成 n 个小区间 每个小区 xf ba ba 间长度为 在每个小区间上取一点 依次为 n ab x ni xxxx 21 作和如果无限趋近于 0 时 无限 21 xxfxxfxxfxxfS nin x n S 趋近于常数 S 那么称 S 为函数在区间上的 记为 S xf ba 其中 f x 称为 a 称为 b 称为 ba 3 定积分的几何意义 在区间上 的代数和 即 x 轴上方的面积减去 x 下方的面积 ba 4 微积分基本定理 4 xy xy2 2 45 对于被积函数 f x 如果 则 xfxF b a dxxf 三 同步导学 例 2 计算下列定积分 1 dxx 3 4 2 2 dx x e 1 2 1 1 3 dxx 2 2 2 4 例 3 苏州市 2009 届高三三校联考 已知二次函数 为常数 若直线 1 2与函数 ttttylcbxaxxf 2 0 8 2 1 2 其中直线2 2 xlll f x 的图象以及 1 y 轴与函数 f x 的图象所围成的封 l闭图形 如阴影所示 1 求 b c 的值a 2 求阴影面积 S 关于 t 的函数 S t 的解析式 例 4 2009 盐城调研 如图所示 已知曲线 2 1 Cyx 曲线 2 C与 1 C关于点 1 1 2 2 对称 且曲 线 2 C与 1 C交于点O A 直线 01 xtt 与曲线 1 C 2 C x轴分别交于点D B E 连结 AB 求曲边三角形BOD 阴影部分 的面积 1 S 求曲边三角形ABD 阴影部分 的面积 2 S y 45 四 高考定位 1 分割 近似求和 取极限 的数学思想 弄清定积分的几何意义 会求曲线围成的面 积 2 定积分在物理中的应用 3 微积分基本定理公式 b a aFbFdxxf 课堂互动 1 已知自由落体的运动速度 v gt g 为常数 则当 t时 物体下落的距离是 2 1 2 曲线与两坐标轴所围成图形的面积为 2 3 0 cos xxy 3 dxx 1 0 2 1 11 4 2009 苏州中学期中 由 2 23 3yxxyx 所围成的封闭图形的面积为 5 下列积分的值等于 1 的是 dxx 1 0 1 0 1 dxxdx 1 01 dx 1 02 1 6 2008 盐城一模 过点 A 6 4 作曲线的切线 l84 xxf 1 求切线 l 的方程 2 求切线 l 与 x 轴以及曲线所围成的封闭图形的面积 S 好题精练 1 dxxx 32 1 0 2 2 一物体在力 F x 单位 N 的作用下沿与力 F 相同的方向 从 x 0 处运动 2 43 20 10 xx x 到 x 4 单位 m 处 则力 F x 做的功为 3 抛物线及其在点 A 1 0 和点 B 3 0 处的切线所围成的图像面积是 34 2 xxy 4 已知是一次函数 其图象过点 3 4 且 则的解析式为 xf 1 0 1 dxxf xf 45 5 则三者大小关系式 4 0 4 0 4 0 tan sin xdxcxdxbxdxa 6 由 xycos 及 x 轴围成的介于 0 与 2 之间的平面图形的面积 利用定积分应表达为 7 如果 1N 力能拉长弹簧cm 1 为将弹簧拉长 6cm 所耗费的功是 8 由曲线所围成图形的面积是 2 xyxy 9 计算 2 2 1 xxdx 10 在曲线上的某点 A 处做一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为 切点 A 的坐标 0 2 xxyx 12 1 为 切线方程为 11 已知 求值 使 2 21 2 2 1 2 4 xx f x xx k 3 40 3 k f x dx 12 设直线与抛物线所围成的图形面积为 S 它们与直线围成的面积为 T 若yax 1 a 2 yx 1x U S T 达到最小值 求值 并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积 ax 13 2009 南京师范附中调研 设 xfy 是二次函数 方程 0 xf 有两个相等的实根 且 22 xxf 1 求 xfy 的表达式 2 求 xfy 的图象与两坐标轴所围成图形的面积 3 若直线 tx 10 t 把 xfy 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分 求t的值 14 2009 南通调研 先阅读 如图 设梯形ABCD的上 下底边的长分别是a b a b 高为h 求 梯形的面积 方法一 延长DA CB交于点O 过点O作CD的垂线分别交AB CD于E F 则 EFh 设即 xa OExOABODC xhb ah x ba 11111 22222 ODCOABABCD SSSb xhaxba xbhab h 梯形 D A C B 45 方法二 作AB的平行线MN分别交AD BC于M N 过点A作BC的平行线AQ分别交MN DC于 P Q 则 AMPADQ 设梯形AMNB的高为 x MNy xyaba yax hbah 22 0 0 1 d 222 h h ABCD bababa Saxxaxxahhab h hhh 梯形 再解下面的问题 已知四棱台ABCD A B C D 的上 下底面的面积分别是 棱台的高为h 类比以 1212 S SSS 上两种方法 分别求出棱台的体积 棱锥的体积 底面积高 1 3 模块整合六 导数及其应用 第 33 课 导数的概念及运算 一 课前热身 1 2 15 2 31yx 3 2 4 4 5 0 6 2 2 二 教材回归 1 12 12 xx xfxf 2 点 x xfxxf 00 0 xx 0 xx 0 xf 3 0 cosx sinx 1 a ax x eaa x ln x 1 axln 1 4 f xgx xgxfxgxf 2 xg xgxfxgxf 三 同步导学 例 2 1 8 02 2 8 002 3 8 s cm s cm s cm 例 3 1 sinsin 2 3 2 3 2 5 2 1 x x xx x xxx y y cossin23 2 3 sin 232 2 5 23 2 3 xxxxxxxxxx 2 y x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 y 3x2 12x 11 45 3 y sin 2 1 2 cos 2 sinx xx cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 xxxy 4 x xx xx xx y 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 22 xx x x y 例 4 1 y x2 在点 P 2 4 处的切线的斜率 k x 2 4 y 曲线在点 P 2 4 处的切线方程为 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 设曲线 y 与过点 P 2 4 的切线相切于点 3 4 3 1 3 x 3 4 3 1 3 00 xxA 则切线的斜率 k y 0 x x 2 0 x 切线方程为即 3 4 3 1 0 2 0 3 0 xxxxy 3 4 3 2 3 0 2 0 xxxy 点 P 2 4 在切线上 4 3 4 3 2 2 3 0 2 0 xx 即 044 043 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 xxxxx 0 1 1 4 1 000 2 0 xxxx x0 1 x0 2 2 0 解得 x0 1 或 x0 2 故所求的切线方程为 4x y 4 0 或 x y 2 0 课堂互动 1 ln2 1 2 21yx 3 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 g x x 1 x 2 x n 则f x xg x 于是f x g x xg x f 0 g 0 0 g 0 g 0 1 2 n n 答案 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n 4 5 1 或 25 64 6 1 2 1 bx axf 于是解得或 0 2 1 3 2 1 2 2 b a b a 1 1 b a 3 8 4 9 b a 因为 a bZ Z 故 1 1 x xxf 2 在曲线上任取一点 1 1 0 00 x xx 由知 过此点的切线方程为 2 0 0 1 1 1 x xf 45 1 1 1 1 1 0 2 00 0 2 0 xx xx xx y 令 x 1 得 切线与直线 x 1 1 交点为 1 1 0 0 x x y 1 1 1 0 0 x x 令 y x 得 切线与直线 y x 的交点为 12 0 xy 12 12 00 xx 直线 x 1 1 与直线 y x 的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为 222 1 2 2 1 1121 1 1 2 1 0 0 0 0 0 x x x x x 所以 所围三角形的面积为定值 2 好题精练 1 5 2 cos2x cosx 3 4 5 6 y 2x 3 7 0 8 2 1 1 3 2 2 0 9 6 10 cosx 502 41 11 1 0 1 e 2 2 1 1 e2 1 e2 1 e2 22 x x x xx x xf xxxx 2 f 2 1 1 2 3 ln 2 5 2 3 x xxxxxf 2 3 1 f 12 方程可化为 74120 xy 7 3 4 yx 当时 又 于是解得2x 1 2 y 2 b fxa x 1 2 22 7 44 b a b a 1 3 a b 故 3 f xx x 设为曲线上任一点 由知曲线在点处的切线方程为 00 P xy 2 3 1y x 00 P xy 即 00 2 0 3 1 yyxx x 00 2 00 33 1 yxxx xx 令得 从而得切线与直线的交点坐标为 0 x 0 6 y x 0 x 0 6 0 x 令得 从而得切线与直线的交点坐标为 yx 0 2yxx yx 00 22 xx 所以点处的切线与直线 所围成的三角形面积为 00 P xy 0 x yx 0 16 26 2 x x 故曲线上任一点处的切线与直线 所围成的三角形的面积为定值 此定值为 yf x 0 x yx 6 45 13 由l过原点 知k x0 0 点 x0 y0 在曲线 C 上 y0 x03 3x02 2x0 0 0 x y x02 3x0 2 0 0 x y y 3x2 6x 2 k 3x02 6x0 2 又k 3x02 6x0 2 x02 3x0 2 0 0 x y 2x02 3x0 0 x0 0 或x0 2 3 由x 0 知x0 2 3 y0 3 3 2 2 2 3 2 3 2 3 8 3 k 0 0 x y 4 1 l方程y x 切点 4 1 2 3 8 3 14 1 2 scm280 scm3512 第 34 课 导数在研究函数中的应用 一 课前热身 1 1 11 2 3 4 5 6 4 3 3 1 2 m bbfaaf 二 教材回归 1 1 2 必要不充分条件0 0 xfxf 2 1 2 0 0 xfxf0 0 xfxf 3 1 2 端点处 ba bfaf 三 同步导学 例 1 定义域为 xf 0 2 x lnx 1 x f 又 e e f 1 2 2 1 e e fk 45 函数的在处的切线方程为 xfy e x 1 即 1 2 2 e xeey exey32 2 令得 0 xfex 当时 在上为增函数 0 ex 0 xf xf 0 e 当时 在上为减函数 ex0 xf e e efxf 1 max 由 2 知 0 a 在上单调递增 在上单调递减 xF 0 e e 在上的最小值 xF aa 2 2 min min aFaFxf 2 ln 2 1 2 a aFaF 当时 20 a 0 2 aFaF min xfaaFln 当时 a 20 2 aFaF min xfaaF2ln 2 1 2 例2 1 依题有 321 3 f xxx 故 2 22f xxxx x 由 x 0 0 0 2 2 2 f x 0 0 f x 极大 值 极小值 得 f x在0 x 时取得极大值 00f f x在2x 时取得极小值 4 2 3 f 2 因为 22 2 1 1 1 f xxaxaxaxa 所以方程 0f x 的两根为a 1和a 1 显然 函数 f x在x a 1取得极大值 在x a 1是取得极小值 因为方程 f x 0有三个不等实根 45 所以 1 0 1 0 f a f a 即 2 2 1 2 1 0 3 1 2 1 0 3 aa aa 解得22a 且1a 故a的取值范围是 2 1 1 1 1 2 例 3 1 由题意 0 在上恒成立 即 2 11 sin g x xx 1 2 sin1 0 sin x x 0 故在上恒成立 sin0 sin10 x 1 只须 即 只有 结合 0 得 sin1 10 sin1 sin1 2 2 由 1 得 f xg x 2ln m mxx x 2 2 2 mxxm f xg x x 在其定义域内为单调函数 f xg x 或者在 1 恒成立 等价于 2 20mxxm 2 20mxxm 2 20mxxm 即 2 1 2mxx 2 2 1 x m x 而 max 1 2 22 1 1 x x x x 2 1 x x 1m 等价于 即在 1 恒成立 2 20mxxm 2 1 2mxx 2 2 1 x m x 而 0 1 2 2 1 x x 0m 综上 m的取值范围是 01 3 构造 F xf xg xh x 2 2ln me F xmxx xx 当时 所以在 1 e 上不存在一个 使得0m 1 xe 0 m mx x 2 2ln 0 e x x 0 x 成立 000 f xg xh x 当时 因为 所以 0m 2 222 2222 memxxme F xm xxxx 1 xe 220ex 所以在恒成立 2 0mxm 0F x 1 xe 故在上单调递增 只要 F x 1 e max 4 m F xF eme e 40 m me e 解得 2 4 1 e m e 故的取值范围是 m 2 4 1 e e 45 课堂互动 1 2 2 3 4 0 5 3 5 3 63 516 a 22 3 3 33 6 1 由 得 0 1 2 1 fgg 3 42 cbcb b c所满足的关系式为 01 cb 2 由 可得 0 b01 cb1 c 方程 即 可化为 xgxf 2 3 xax 31 3 xxa 令 则由题意可得 在上有唯一解 令 3 3 ttth 由tx 13 3tta 0 0 t 033 2 tth 可得 1 t 当时 由 可知是增函数 10 t0 t h th 当时 由 可知是减函数 故当时 取极大值 由函数的图象可知 1 t0 t h th1 t th2 th 当或时 方程有且仅有一个正实数解 2 a0 a xgxf 故所求的取值范围是或 a2 aa 0 a 3 由 可得 由且且1 b01 cb0 c xgxfxA 0 xg x axx 1 3 0 x 且 当时 当时 013 2 xaxx 0 x0 a 0 2 493 a a A 0 a 0 3 1 A 当时 当时 且 4 9 a049 a 0 A 4 9 a xA 0 x 3 2 x 当时 0 4 9 a 2 493 a a A 0 2 493 a a 注 可直接通过研究函数与的图象来解决问题 3 axy x y 1 好题精练 1 1 e 2 0 3 4 1b 0 5 2 6 32 7 a 4 b 11 8 11 或 18 45 9 1 2 10 3 0 3 11 1 w w w k s 5 u c o m 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由知 当时 故在区间是增函数 1 a2 x0 x f xf 2 当时 故在区间是减函数 ax22 0 x f xf 2 2 a 当时 故在区间是增函数 ax2 0 x f xf 2 a 综上 当时 在区间和是增函数 在区间是减函数 1 a xf 2 2 a 2 2 a 2 由 I 知 当时 在或处取得最小值 0 x xfax2 0 x aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假设知w w w k s 5 u c o m 即 解得 1 a 即恒成立 2121 1212 22 21 0 22 k xxxx f xf xxx xx 因为 所以对且时 恒成立 21 0 xx 22 21 12 22xx k xx 12 2 xx 12 xx 又 当时 因为 所以即 1k 2 2xx 2 10 2 kx x 且 f x 是减函数 故 f x 值域是 22 0 当时 是增函数 01k fx 2 22fk 2 2 222 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 11 k kx kxk x f xxkx xkx k x 下面再分两种情况 a 当时 的唯一实根 故 2 0 2 k 0fx 2 2 2 1 x k 0 2 fxx 是关于 x 的增函数 值域为 2 2f xxkx 22 k b 当时 的唯一实根 2 1 2 k 当时 当时 2 1 2 2 k x 0fx 2 2 1 x k 0fx 45 故 f x 的值域为 2 2 1 k 综上所述 f x 的值域为 2 22 2 kk 2 2 1 k 2 1 2 k 课堂互动 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y esinx cosxcos sinx cosxsin sinx y 0 e0 1 0 1 2 3 4 1 5 2 1 xx ee a xxfsin cos 6 1 在中 252910 012910 22 1 1 1 1 xxaa xaxa xax 令 得 1x 0 1a 令 得 0 x 5 012910 232aaaaa 所以 10 1210 1 31 n n aaaa 2 等式 252910 012910 22 1 1 1 1 xxaa xaxa xax 两边对x求导 得 2489 12910 5 22 22 2 1 9 1 10 1 xxxaaxa xax 在中 2489 12910 5 22 22 2 1 9 1 10 1 xxxaaxa xax 令x 0 整理 得 10 5 12910 1 29105 2160 n n naaaaa 好题精练 1 2 3 4 1 4 35 20 xyxnxn n 1cos sin 1 5 31 12 x 5 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 f n x 2xn2 1 x n n3x2 1 x n 1 n2x 1 x n 1 2 1 x nx 令 f n x 0 得 x1 0 x2 1 x3 n 2 2 易知 fn x 在 x 时取得最大值 n 2 2 最大值 fn n2 2 1 n 4 n 1 n 2 2 n 2 2 n 2 2 n n 2 6 7 8 2 2 xy 3 3 9 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设圆内接等腰三角形的底边长为 2x 高为 h 那么 h AO BO R 解得 22 xR 45 x2 h 2R h 于是内接三角形的面积为 S x h 2 2 432 hRhhhRh 从而 2 2 2 1 43 2 1 43 hRhh