【数学分析课件@北师大】13曲面上测度.pdf

1 曲线和曲面上的积分 曲面积分 1 曲面上的测度 2 曲面积分 曲面表示和曲面上的测度 第一型曲面积分 质量 第二型曲面积分 流量 3 曲面的映射观点定义 设 a b Rk a b Rn n k 1 若 连续 称S a b 为 Rn中的连续超曲面 若 具有一阶连续导数 且 t a b t 满秩 称S a b 为 Rn中的k维光滑超曲面 若 是 单射 S a b 为 Rn中的k维正则超曲面 若 连续 且存在 a b 可以分成m个内部不相交 的闭区域 j Lj j 是k维光滑 正则 超曲面 称S a b 为 Rn中的k维分片光滑 正则 超曲 面 4 曲面的集合观点定义 设S Rn 若存在 a b Rk Rn 有S a b 若 连续 就称S为Rn中的一个连续超曲面 称 为S的一个表示 若 光滑且导数点点不为零 就称S为Rn中的 k维光滑超曲面 称 为S的光滑表示 若 光滑 单射且导数点点不为零 就称S为 Rn中的一条正则曲面 称 为S的正则表示 5 同一超曲面可以有不同的表示 同一超曲面可以有不同表示 集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示 几何上正则的超曲面未必有正则表示 几何上非正则的超曲面一定没有正则表示 在下面的讨论中 我们总假设 连续 S是正则或分片正则超曲面 是其相应的表示 因此将对超曲面的两种观点统一 6 超曲面的分类 设 a b Rn n 2 连续 若 是单射 称L a b 为Rn中的简 单曲面 Rn中的闭超曲面 Rn中的简单闭超曲面 不带边的 紧流形 7 超曲面的方向 定向 可定向曲面 双侧曲面 不可定向曲面 单侧曲面 8 正则超曲面面积的定义 设 a b Rk a b Rn n k 1 正则 S a b 定义S的k维面积 为 其中上标T表示矩阵的转置 det ba T dttftfS 9 对超曲面面积公式的说明 面积公式的推导 Rn中k维平行2k面体的体积计算 用切超平面块近似超曲面面积 n 1维超曲面的面积公式 由参数方程给出的曲面体积公式 由函数图像给出的曲面体积公式 10 Rn中k维平行2k面体的体积 设E是由Rn中k个线性无关向量V1 V2 Vk所 张成的平行2k面体 由Schmidt正交化方法 得到与其等体积的直角平行2k面体E0 张成 E0的k个向量是 1 2 k两组向量间的关系 10 1 11 kk VV 11 平行2k面体的体积 续1 体积公式 E E0 1 2 k 也就是 也就是 22 2 2 1 2 0 2 k EE k T k T T EE 21 2 1 2 0 2 det 12 平行2k面体的体积 续2 由此就得到 其中 注意Vj都是列向量 VVE T det 2 k VVVV 21 13 平行2k面体体积公式解释 Binet Cauchy公式 设A aij n k B bij n k 则 对这个公式的解释 Rn中的平行2k面体的体 积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投 影的平方和 一般勾股定理 kiii kiii kiii nii kiii kiii kiii T kkk k kkk bbb bbb bbb aaa aaa aaa BA 21 21 21 1 21 21 21 222 111 1 222 111 det 14 用切超平面块近似超曲面面积 设 a b Rk a b Rn n k 1 正则 S a b 下面按微元法给出超曲面的面积公式 任取 a b 的一个分法 1 m Sj j j 1 m 取tj j 用 近似Sj的体积 然后求和 取极限就得到公式 jj T j tftf det 15 n 1维超曲面的面积公式 1 由参数方程给出的曲面体积公式 设 a b Rn 1 a b Rn n k 1 正则 S a b 此时 习惯上有下面的记法 其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量 det dettfetftf T 16 n 1维超曲面的面积公式 2 由函数图像给出的曲面体积公式 函数图像公式 a b Rn 1 g a b R t t g t S a b 2 1 dettgtftf T 17 正则超曲面上的测度 设 a b Rk a b Rn n k 1 正则 S a b E S 如果 1 E 是 a b 的可测集 就说E是S的