2018-2019学年上海市嘉定二中等四校高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市嘉定二中等四校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可解：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得a=2，a=1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系2已知，则与的夹角为（ ）.ABCD【答案】C【解析】对等式进行展开运算，求出与夹角的余弦值，从而得到夹角的值【详解】，与的夹角为故选：C【点睛】本题考查向量的夹角的求法、向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题3二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是A系数行列式B比例式C向量不平行D直线，不平行【答案】D【解析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到为充要条件，直线分共面和异面两种情况【详解】解：当两直线共面时，直线，不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线，不平行，二元一次方程组无解，故直线，不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件故选D【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题4如图，由四个边上为1的等边三角形平成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为，则，的值组成的集合为（ ）.ABCD【答案】D【解析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：小三角形边上的向量，大三角形边上的向量，大三角形中线向量，这样求出每种情况下，的值，从而求得答案【详解】对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形，与其它小三角形边上的向量相等；大三角形边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：,，的值组成的集合为.故选：D【点睛】本题考查等边三角形中线的特点、相等向量、相反向量等概念、向量数量积的运算，考查分类讨论思想和运算求解能力二、填空题5方程组的增广矩阵为_.【答案】【解析】根据增广矩阵的定义即可求出【详解】方程组的增广矩阵为，故答案为：.【点睛】本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题.6直线的倾斜角为_.【答案】【解析】由直线的斜率为，得到，即可求解.【详解】由题意，可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，即换线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7过点且与直线垂直的直线的方程_.【答案】【解析】设过点且与直线垂直的直线的方程为，把代入能求出结果【详解】设过点且与直线垂直的直线的方程为，把代入，得：，解得，过点且与直线垂直的直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，求解时注意互相垂直直线的设法8已知，设，则实数_.【答案】2【解析】利用向量的减法和数乘运算，得到，从而得到的值【详解】根据条件，故答案为：2【点睛】考查向量减法及数乘运算，考查基本运算求解能力，属于基础题9行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则_【答案】-14【解析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：故答案为：【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.10已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数的值为_【答案】-1【解析】根据可得出，存在实数，使得，从而得出，并且不共线，从而得出，这样即可求出的值【详解】，存在实数，使，又不共线，故答案为：.【点睛】本题考查共线向量的运用，考查向量的线性运算，属于于基础题11以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量_.【答案】【解析】计算行列式得，再根据直线的法向量，即可得到答案【详解】，行列式的形式表示的直线方程的一个法向量故答案为：【点睛】本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题12直线在轴上的截距等于轴上的截距的2倍，则的值为_.【答案】或0【解析】对直线的截距进行讨论，即和两种情况，分别求出截距后，列方程求出的值【详解】直线，当时，直线化为，在轴上的截距与在轴上的截距都为0，满足题意；当时，直线化为，在轴上的截距是，在轴上的截距是，解得；综上，的值为或故答案为：或【点睛】本题考查直线方程的一般形式、截距概念，考查分类讨论思想和运算求解能力13已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_.【答案】【解析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，从而得到关于的不等式，求解不等式，即可得到答案【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件；若，直线方程可化为，此时若直线不经过第二象限，则且，解得.综上满足条件的实数的范围是.故答案为：【点睛】本题考查直线的斜截式方程，考查分类讨论思想的运用，求解时注意对斜率分两种情况进行讨论，同时注意将答案进行整合，防止错解为.14已知点和在直线的同侧，则直线倾斜角的取值范围是_.【答案】【解析】由点和在直线的同侧，可得，求出范围，进一步得到斜率和倾斜角的范围【详解】点和在直线的同侧，解得，设直线的倾斜角，直线倾斜角的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系、不等式表示平面区域，考查运算求解能力，求解的关键是不等式的建立15已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是_【答案】 【解析】解法一：先求得直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上求出直线和BC的交点N的坐标，若点M和点A重合，求得b=；若点M在点O和点A之间，求得b； 若点M在点A的左侧，求得b1再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论【详解】解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，由于直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为M（，0），由直线y=ax+b（a0）将ABC分割为面积相等的两部分，可得b0，故0，故点M在射线OA上设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=若点M在点O和点A之间，此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即 =，可得a=0，求得 b，故有b若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得ba设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 （1b）|xNxP|=，即（1b）|=，化简可得2（1b）2=|a21|由于此时 ba0，0a1，2（1b）2=|a21|=1a2 两边开方可得 （1b）=1，1b，化简可得 b1，故有1b再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1，趋于最小由于a0，b1当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分ABC的面积，故a不存在，故b综上可得，1b，故答案为：【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题16定义：对于实数和两定点，在某图形上恰有个不同的点，使得，称该图形满足“度契合”.若边长为4的正方形中，且该正方形满足“4度契合”，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】分析：根据定义，分类讨论P点在四条边上的不同情况；转化成m的表达式后，利用二次函数求得m的范围；分析在四种情况下，哪个符合有4个解，即可得到m的取值。详解：以AB为x轴，AD为y轴，A为原点建立平面直角坐标系。所以 。因为P点位置不确定，所以分四种情况讨论：当P点在AB上时，设 ， 所以 所以 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解当 时，有2个解（2）当P点在BC上时，设 ， 所以 所以 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解当 时，有2个解当 时，有1个解（3）当P点在CD上时，设 ， 所以 所以 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解当 时，有2个解（4）当P点在AD上时，设 ， 所以 所以 根据二次函数的图像可知，当 时，有1个解当 时，有2个解当 时，有2个解由（1）可知，当 时，有2个解。所以当 时，也有2个解综上所述，当或有4个解，满足“度契合”。点睛：本题考查了新定义问题，利用分类讨论思想求得参数取值范围，向量的数量积坐标表示等，分析量、计算量、都很大，需要细致分析才能解决问题，对思维有很高要求，属于难题。三、解答题17已知直线方程，问为何值时，相交，平行，重合？【答案】，相交；，平行；，重合【解析】由直线相交、平行、重合的充要条件，可得关于的限制条件，解即可得到答案.【详解】直线方程，相交时，即时，相交；平行时，解得，时，平行；重合时，解得，时，重合【点睛】本题考查直线与直线相交、平行、重合位置关系充要条件的应用，考查运算求解能力，属于基础题18已知，与的夹角为120，当为何值时.（1）与垂直；（2）取得最小值？并求出最小值.【答案】（1）； （2）时，【解析】（1）根据条件先求出，再与垂直时，进行数量积的运算即可求出；（2）先得出，配方即可求出的取最时值，进而得出的最小值【详解】（1），与的夹角为120，与垂直，.（2），时，取得最小值【点睛】本题考查向量数量积的运算、模的计算、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想和运算求解能力，属于基础题19设D为的边AB上一点，P为内一点，且满足，.求：（1）记，求关于的表达式；（2）求出的最大值并求出相应的值.【答案】（1），；（2）当且仅当时，取得最大值.【解析】（1）先推出：，再根据面积公式可求得；（2）先化简得，再利用基本不等式求最值【详解】（1），；（2），当且仅当时，取得最大值.【点睛】本题考查平面向量基本定理在三角形中的运用、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力，在运用基本不等式求最值时，注意一正二定三等的运用20在直角坐标系中，过点作直线交轴于A点、交轴于B点，且P位于AB两点之间.（1）若，求直线的方程；（2）求当取得最小值时直线的方程；（3）当面积最小值时的直线方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】设直线可求出，结合位于之间，建立关于的不等式，可得（1）由的坐标，得出向量和坐标，从而将化为关于的方程，解出值，即得直线的方程；（2）由向量数量积的坐标运算公式，得出关于的表达式，再用基本不等式得到取得最小值时的斜率，从而得到直线的方程（3）求出，再利用基本不等式求最小值，从而得到等号成立的条件，即，由此能求出当面积最小值时的直线方程【详解】由题意知，直线的斜率存在且，设，得令，得，所以，再令，得，所以，点位于两点之间，且，解得，（1），解得直线的方程为，整理得（2），当，即时，等号成立当取得最小值时直线的方程为，化为一般式：（3），当时，即时，取等号，当面积最小值时的直线方程为，即【点睛】本题以向量的坐标运算为载体，求直线的方程，考查直线的方程和向量在几何中的应用等知识，考查函数与方程思想和运算求解能力21已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；（2）分别求和时，所对应的直线条数；（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）时，2条直线； 时，3条直线； 时，4条直线.【解析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数【详解】（1）直线可化为，令，解得，不论为何实数，直线过定点.（2）由题意知，直线的斜率存在，且，设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；的面积为；令，得，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，方程无实数根，即无直线；综上知，时有两条直线；令，得，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；综上知，时有四条直线；（