2018-2019学年重庆市长寿中学高二下学期第一学段考试数学试题（解析版）

2018-2019学年重庆市长寿中学高二下学期第一学段考试数学试题一、单选题1已知为虚数单位，若复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先根据复数的对称关系求出，然后求出.【详解】因为复数，在复平面内对应的点关于实轴对称且，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查复数的乘法，明确两个复数关于实轴对称的本质是求解关键.2一物体以速度v=3t2+2t(v的单位:m/s)做直线运动,则它在t=0 s到t=3 s时间段内的位移是( )A31 mB36 mC38 mD40 m【答案】B【解析】利用定积分的物理意义解答即可【详解】由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是： 故选B【点睛】本题考查了定积分的物理意义；变速直线运动的物体在时间段内的位移可以利用定积分计算，属于基础题.3用数学归纳法证明“”时，由到时，不等试左边应添加的项是( )ABCD【答案】C【解析】分别代入，两式作差可得左边应添加项。【详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设nk(kn0，kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可4已知函数在处的导数为，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】原式化为，利用导数的定义可得结果.【详解】在处的导数为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查导数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.5某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有()A27种 B36种C54种 D81种【答案】C【解析】根据题意，分析可得除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分析可得：除小张外，每位同学都可以报A、B、C三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，小张不能报A小组，只有2种选择，所以不同的报名方法有333254（种）故选：C【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意本题不是排列问题6已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据的图象，判断出函数的单调性，进而可得出结果.【详解】由的图象可得：当时，所以，即函数单调递增；当时，所以，即函数单调递减；当时，所以，即函数单调递减；当时，所以，即函数单调递增；观察选项，可得C选项图像符合题意.故选C【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，解题关键在于，分析清楚的图象特征，属于常考题型.7已知函数，则定积分的值为( )ABCD【答案】A【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可【详解】因为所以 的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分因而 所以所以选A【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题8若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围【详解】f（x）在区间（1，+）上是减函数，在区间（1，+）上恒成立ax2在区间（1，+）上恒成立x21a1，经检验，等号成立故选：D【点睛】本题考查导数与函数的单调性，解决已知函数的单调性求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值，是基础题9图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）ABCD【答案】A【解析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数321+113，所有正方形的面积之和为2（1+1）1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数722+11，所有的正方形的面积之和为3（2+1）1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+11，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）1n+1【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数321+113，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2c2，即正方形A的面积+正方形B的面积正方形C的面积1，所有正方形的面积之和为2（1+1）1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数722+11，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积正方形A的面积+正方形B的面积正方形C的面积1，所有的正方形的面积之和为3（2+1）1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+11，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）1n+1故选：A【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题10设函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）ABCD【答案】B【解析】对实行参变分离，对新函数的图象求导，研究其导函数的正负，得新函数的单调性，从而求出新函数的最趋势和最值，求得的范围.【详解】令因为所以 令得时，所以在上单调递增；时，所以在上单调递减；所以在处取得最大值,又 要使有且仅有一个零点，则的值为.故选：B【点睛】本题关键在于对实行参变分离，转化为求新函数的图象趋势和最值，属于难度题.11我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到（ ）A B C D 【答案】C【解析】根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【详解】令，即，即，解得(舍)，故故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.12已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集【详解】由题意知，则构造函数，则，所以在R是单调递减又因为，则所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A【点睛】本题考查不等式求解和构造函数问题，主要根据已知条件构造出合适的函数，再根据的单调性，转化为，便可求解本题综合性较强，有一定难度，突破点在于是否能构造出合适的函数，属中档题二、填空题13复数_.【答案】2i【解析】2i.14由曲线（x0）与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为_【答案】【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图像，利用积分的几何意义即可求出区域的面积.【详解】解：,当x=1时，y=1，,在点（1，1）处的切线的斜率为k=，可得切线的方程为y=3x-2， 直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（），可得围成图形的面积：S=，故答案：.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上的某点的切线方程及定积分在求面积中应用，属于基础题型.15已知（为常数）在处取极值，则的值为_.【答案】【解析】对函数求导得到函数的导函数，求出导函数的零点即可得到极值点.【详解】，因在处取得极值，所以，所以，当时，无极值，时满足题意，所以.故答案为0.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念16已知，观察下列运算：； ；定义使为整数的叫做“希望数”，则区间内所有的“希望数”的和为_【答案】【解析】由anlogn+1（n+2），可得a1a2a3ank，则n2k2，即可得出【详解】由anlogn+1（n+2），a1a2a3ank，n+22k，n1，2016，n222，231，2102，在区间1，2016内所有希望数的和为222+232+2102292026.故答案为2026【点睛】本题考查了对数换底公式的运算、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17已知函数在处有极值1.（1）求的值；（2）求函数在的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出，利用解方程组即可得结果；（2）当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，求出对应的函数值，比较大小即可得结果.【详解】（1）因为函数在处有极值1，所以，, ，经检验可知满足题意.（2），当时，当时，在上单调递减，在上单调递增.，值域为.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.18已知复数，是纯虚数，是虚数单位.（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由zbi（bR），化简为根据是纯虚数，可得b，可得z的值（2）化简 （m+z）2，根据复数所表示的点在第二象限，列出关于m的不等式组，解不等式组求得实数m的取值范围【详解】（1）zbi（bR），又是纯虚数，b2，即z2i（2）z2i，mR，（m+z）2（m+2i）2m2+4mi+4i2（m24）+4mi，又复数所表示的点在第二象限， 解得0m2，即m（0，2）时，复数所表示的点在第二象限【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，复数的几何意义，属于基础题19已知实数，满足，证明：【答案】证明见解析【解析】由已知条件，可得，然后得到，展开进行整理即可【详解】方法1：因为，所以，所以，所以，即，所以，所以，即，所以方法2：要证，只需证，只需证，只需证，即证因为，所以，所以成立，故【点睛】本题主要考查了综合法与分析法的证明，其中实际解题时，通常用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径202019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，均在圆弧上，于点设. 当 时,求喷泉的面积;(2)求为何值时，可使喷泉的面积最大?.【答案】（1）平方米（2）【解析】（1）利用直角三角形的性质求出,即可求出喷泉的面积； (2)要构造矩形的面积关于角的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积,然后利用导数求函数的最值，在求解时要注意角的取值范围.【详解】（1）在直角中，则,所以(平方米)答：矩形的面积为平方米.（2）在直角中，则，所以矩形的面积，令，则，令，得.设，且列表如下：+0-极大值所以当时，最大，即最大.此时答：当为时，喷泉的面积最大【点睛】本题主要考查三角函数的应用以及利用导数求最值，属于中档题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21已知函数，在原点处切线的斜率为，数列满足为常数且，（1）求的解析式；（2）计算，并由此猜想出数列的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想【答案】（1）；（2） ；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）求出的导函数，由函数在原点处切线的斜率为可得，可求得的值，从而可得的解析式；（2）由函数解析式，可得递推关系，根据递推关系可依次求出的值，观察前四项共同规律可猜测出数列的通项公式；（3）先验证 时猜想成立，再假设 时猜想成立，只需证明 时，猜想也成立即可.试题解析：（1）由已知得，.（2），则，由此猜想数列的通项公式应为（3）当时，猜想显然成立，假设时，猜想成立，即，则当时，即当时，猜想成立由知，对一切正整数都成立【方法点睛】本题通过观察数列的前几项，归纳出一般规律推猜数列通项公式考查归纳推理与数学归纳法，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.22已知函数，（）（）求的单调递增区间；（）设，且有两个极值点，