【数学】第二章 2.2 导数的几何意义 课件（北师大版选修22）.pptx

第二章变化率与导数2 2导数的几何意义 1 平均变化率 2 瞬时变化率 复习回顾 3 导数的定义 4 点斜式直线方程 复习回顾 曲线的切线 当自变量从x0变化到x1时 相应的函数值从f x0 变化到f x1 y f x1 f x0 函数值的增量 x x1 x0 自变量的增量 m x y y0 f x0 y1 f x1 q x0 x y0 y y f x0 x f x0 设曲线c是函数y f x 的图象 在曲线c上取一点 x0 y0 及邻近一 点 x0 x y0 y 过p q两点作割 线 当点q沿着曲线无限接近于点p 点p处的切线 即 x 0时 如果割线pq有一个极 限位置pt 那么直线pt叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 t 设割线pq的倾斜角为 切线pt的倾斜角为 当 x 0时 割线pq的斜率的极限 就是曲线在点p处的切线的斜率 即 tan m x y 曲线在某一点处的切线的斜率公式 x o y y f x q tan 求曲线l y f x 在点m x0 y0 处切线的斜率 割线mn的极限位置mt称为曲线l在点m处的切线 割线mn的斜率为 l m x y o t n 切线斜率 切线mt的斜率为 3 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在x x0处的导数 1 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线 2 曲线与直线相切 并不一定只有一个公共点 说明 4 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的导数f x0 不存在 就是切线与y轴平行 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点m x0 y0 处的切线的斜率 即 由直线的点斜式方程可知 曲线y f x 在点m x0 y0 处的切线方程与法线方程分别为 例1 求抛物线y f x x2在点p 1 1 处的切线的斜率 过 求函数图象切线需要注意的问题 1 已知切点 x0 f x0 求切线 求切线的斜率 k f x0 确定切点 x0 f x0 写切线方程 y f x0 f x0 x x0 2 已知切线过点 a b 求切线方程点 a b 可以在曲线上 也可以不再曲线上a 设切点 x0 f x0 b 求斜率k f x0 c 写切线方程y f x0 f x0 x x0 d 代入已知点 a b 列方程组求得x0 e 代入求得切线方程 例4 如图 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10的图像 根据图像 请描述 比较曲线h t 在t0 t1 t2附近的变化情况 解 如图各处的切线 我们用此来刻画此三个时刻附近的变化情况 1 当t t0时 曲线h t 在t0处的切线l0平行于x轴 在t t0附近曲线h t 比较平坦 几乎没有升降 2 当t t1时 曲线h t 在t1处的切线l1的斜率h t1 0 在t t1附近曲线h t 下降 即函数h t 在t t1附近单调递减 3 当t t2时 曲线h t 在t2处的切线l2的斜率h t2 0 在t t2附近曲线h t 下降 即函数h t 在t t2附近单调递减 由图形可知 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度 说明曲线h t 在t1附近比在t2附近下降缓慢 解 在点p处的切线方程是12x 3y 16 0 练习3 如图已知曲线 求 点p处的切线方程 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是 即 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方