2019-2020学年东莞市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省东莞市高二上学期期末数学试题一、单选题1在中，内角的对边分别为,且，则边（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知利用正弦定理可求【详解】解：由正弦定理可得解得故选：【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.2已知实数满足，则目标函数的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大由可得，此时最大为故选：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题3糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意得到不等关系，即可得解.【详解】解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入克糖，此时糖水的浓度为，根据糖水更甜，可得故选：【点睛】本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题.4已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】由焦点在轴，故渐近线为，实轴长是虚轴长的两倍，得到、的关系，即可得到渐近线方程.【详解】解：实轴长为，虚轴长为，渐近线为因为实轴长是虚轴长的两倍，即可得故选：【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5已知数列是等差数列，且，则（ ）A3B4C7D8【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，根据条件列出方程组，解得.【详解】解：设等差数列的首项为，公差为；解得故选：【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题.6已知a,b为实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：若，满足，但不成立，即充分性不成立若且，满足，但不成立，即必要性不成立故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题7中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（ ）A里B里C里D里【答案】C【解析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列，其中，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列，其中，则，解得故选：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果【详解】，故选：【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题9已知实数且，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据得到即可将转化为关于的二次式，即可求出其最大值.【详解】解：时故选：【点睛】本题考查不等式的性质，以及二次函数的最值，属于基础题.10已知，为双曲线的左、右焦点，为上异于顶点的点直线分别与，为直径的圆相切于，两点，则AB3C4D5【答案】B【解析】设，的中点分别为，则，可得【详解】解：如图，设，的中点分别为，则，故选：【点睛】本题考查了圆的性质，充分应用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题二、多选题11四边形内接于圆，下列结论正确的有（ ）A四边形为梯形B圆的直径为7C四边形的面积为D的三边长度可以构成一个等差数列【答案】ACD【解析】利用余弦定理，结合面积公式，分析四个选项，即可得出结论.【详解】解：可证显然不平行即四边形为梯形，故正确；在中由余弦定理可得圆的直径不可能是，故错误；在中由余弦定理可得解得或（舍去）故正确；在中，满足的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；故选：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，等差数列的概念的理解，属于中档题.12我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）A为等比数列BC 轴，且D四边形的内切圆过焦点【答案】BD【解析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解【详解】解：，对于：为等比数列则不满足条件，故错误；对于：即解得或（舍去）满足条件故正确；对于： 轴，且即解得不满足题意，故错误；对于：四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为，解得（舍去）或故正确故选：【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.三、填空题13抛物线上的一点到焦点的距离为2，则点的纵坐标是_.【答案】【解析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点到焦点的距离为转化为点到准线的距离为，故可求点的纵坐标【详解】解：抛物线的准线方程为设点的纵坐标是，则抛物线上一点到焦点的距离为根据抛物线的定义可知，点到准线的距离为点的纵坐标是故答案为：【点睛】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，解题的关键是将点到焦点的距离为转化为点到准线的距离为.14如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_.【答案】【解析】由的坐标为，分别求出和的坐标，由此能求出结果【详解】解：如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，的坐标为， 故答案为：【点睛】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题15已知命题“不等式”为真命题，则的取值范围为_.【答案】【解析】令，则对称轴为，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三种情况讨论可得.【详解】解：令，则对称轴为，要使不等式恒成立，即，当时解得；当时解得；当时解得；综上可得：故答案为：【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题.16斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： ，记其前项和为，设（为常数），则_（用表示），_(用常数表示)【答案】 【解析】依题意由递推公式及计算可得，【详解】解：故， 故故答案为：；【点睛】本题考查数列递推公式的应用，属于中档题.四、解答题17已知.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）分别求解一元二次不等式化简，然后利用为真，取交集求得实数的取值范围；（2）求解一元二次不等式化简，结合是充分不必要条件，可得 ，转化为关于的不等式组得答案【详解】解：（1）：解得或 当解得 为真，即都为真即 所以的取值范围为（2），即所以， 即因为是的充分不必要条件， 所以 所以或综上：是的充分不必要条件时，的取值范围为【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，属于中档题18已知等比数列满足，数列是首项为公差为的等差数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）等比数列，设首项为，公比，得到关于、的方程组，解得、 ，即可得到数列的通项公式，再由数列是首项为公差为的等差数列.得到即可求出的通项公式；（2）由（1）所求的通项公式，利用错位相减法求其前n项和.【详解】解：（1）因为数列是等比数列，故设首项为，公比因为， 所以， 所以，解得，所以所以数列的通项公式为因为是首项为公差为的等差数列 所以 因为，所以（2）由（1）知同乘得： 作差得：即 所以【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题19在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小.（2）若边上的中线，且,求的周长.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小.（2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长.【详解】解：（1）由已知 由正弦定理得： 由余弦定理得：在中，因为,所以 （2）由，得 由（1）知，即 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得： 因为，所以 由，得所以所以的周长.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题20如图，已知斜三棱柱中，在底面上的射影恰为的中点，且.（1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）不存在点满足要求.见解析【解析】（1）作交于点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明；（2）利用（1）中所建坐标系，求出直线的方向向量和平面的一个法向量，则两向量的夹角的余弦值的绝对值即为线与面的夹角的正弦值；（3）假设存在设（），求出平面的一个法向量，根据，即可求出的值，即可得证.【详解】证明：（1）作交于点，分别以所在直线为 轴建系 所以， ，所以 （2）因为，所以面的一个法向量为 因为，所以， 设线与平面所成角为， （3）不存在，设，（） , 设面的一个法向量为 有 ，得 所以不存在点满足要求.【点睛】本题考查了空间位置关系与距离空间角、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图）.第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；正对国贸中心，将镜子前移米，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.实际操作中，第一小组测得米，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对于第一小组，利用锐角三角函数解答；第二小组利用三角形相似可求；（2）从测量难易程度以及数据的误差，对比分析.【详解】解：（1）第一小组：在中得，；在中得，因为即得米 米第二小组：,得 同理得， 因为得 所以=米 所以米（2）优点：测量方法较好理解，普适性强；计算思路简洁；不足：的距离较长，测量要求高，难度大；角度测量较难精准，容易造成误差；场地要求较高；第二组方案优点：测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；相对距离短，比较好测量；只需测量距离，需要的工具少；不足：两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；镜面放置较难保持水平，容易造成误差；如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差【点睛】本题考查利用所学数学知识建立数学模型解决实际问题，属于基础题.22设圆的圆心为，直线l过点且与x轴不重合，l交圆于两点，过点作的平行线交于点.（1）证明为定值,并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线交于两点，点为椭圆上一点，若是以为底边的等腰三角形，求面积的最小值.【答案】（1）见解析，（）（2）【解析