2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1已知复数Z在复平面上对应点的坐标为，则复数Z的虚部为（ ）A2B3C2iD3i【答案】A【解析】根据复数在复平面对应的点，可以写出复数，再求解虚部即可.【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，故复数，则其虚部为：2.故选：A.【点睛】本题考查由复数在复平面内对应的点，写出复数，以及虚部的辨识；本题的易错点在于将虚部视为.2若用数学归纳法证明等式，则时的等式左端应在的基础上加上（ ）ABCD【答案】D【解析】根据数学归纳法，当时，以及当时，等式的变化情况，找出增加的项.【详解】当时，等式的左端为：表示从1到的累加；则当时，等式的左端应该表示从1到的累加即为：故增加的项为：.故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法，涉及递推过程中项的增加，其重点在于要理解等式所要表示的意义是什么.3某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门，每个部门至少1个名额，那么不同的名额分配方案总数为（ ）A6B10C15D21【答案】A【解析】名额分配方式有两种，2,2,1和3,11，再考虑每种方式的具体可能即可.【详解】5个名额分给3个部门，每个部门至少1个名额，存在两类方式，即2,2,1和3,1,1.若分配方式为2,2,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可即种可能；若分配方式为3,1,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可即种可能；综上，总共有种方案.故选：A.【点睛】本题考查排列组合，其重点是要理解题意，然后再进行计算，不可盲目求解.4若从3男2女中随机选出3人组成一个活动小组，则2个女生不能同时参加的选法总数为（ ）A5B6C7D10【答案】C【解析】可以先计算所有的选法，再减去2个女生同时参加的选法，即为所求.【详解】从3男2女中随机选出3人,所有的选择方式有：种；从3男2女中随机选出3人，2个女生都参加的方式有：种；故满足题意的选择方式为：种.故选：C.【点睛】本题考查排列组合，其中采用的是正难则反的思路；其实本题也可以直接求解.一般地，如果分类超过3种，用正难则反则是比较好的手段.5观察一列算式：，则式子是第（ ）A17项B16项C15项D14项【答案】A【解析】根据每一个算式的数字之和，找出规律，归纳推理进行求解.【详解】由以上所给式子发现如下规律：当算式的两个数字之和为2，有1个算式，算式开头数字是1；当算式的两个数字之和为3，有2个算式，第一个算式开头数字是1，第二个算式开头数字是2；当算式的两个数字之和为4，有3个算式，第一个算式开头数字是1，第二个算式开头数字是2，第三个算式开头数字是3；如此类推算式的两个数字之和为7，故有6个算式，其为第二个算式.则在算式两个数字之和为7之前，合计有个算式；又是数字之和为7的所有6个算式中的第二个，故其是第个算式.故选：A.【点睛】本题考查归纳推理，其难点是找出题目中的规律，属基础题.6已知，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据二项分布的期望计算公式，可得成功概率，再计算.【详解】因为，故其期望为，解得.故.故选：B.【点睛】本题考查二项分布，涉及数学期望的计算公式，以及具体概率的计算，属基础题.7在的展开式中，的系数是（ ）A60B30C-30D-60【答案】D【解析】令，先求的通项，再求的通项，两者结合，寻找的系数.【详解】令，则通项公式为：；令，得，则此时的系数为，再考虑多项式的通项公式为令，解得，则的系数为由可知：的系数为10.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理，涉及某项的系数求解，属中档题.8设、分别是双曲线的左、右焦点，P为直线上一点，若是以为底边且顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）AB2CD【答案】C【解析】根据三角形的几何特点，找到的关系式，转化求解即可.【详解】根据题意，连接P点与双曲线右顶点H，作图如下：因为，故故在中，解得.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，重点是通过几何关系，找到的关系式.9端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件“取到的两个馅不同”，事件“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据条件概率的意义，先求出事件A的所有可能，再求出事件B的所有可能，相除即可.【详解】根据题意，A事件的所有可能有：种；同时，B事件的所有可能有：种.故.故选：B.【点睛】本题考查条件概率，一般地，条件概率的计算，可以通过公式计算两次概率；也可以通过本题方式，在A事件的样本空间中计算B事件发生的概率.10随机将6个人（含甲乙两人）平均分成2组，分别去完成2个不同的任务，则甲乙两人在不同任务组的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据排列组合计算出全部的可能性，再计算出满足题意的可能性，用古典概型计算公式即可.【详解】6个人平均分成2组，分别去完成2个不同的任务共有可能甲乙两人在不同任务组共有可能：根据古典概型的计算公式，.故选：D.【点睛】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合求解事件的个数；本题的难点在于如何求解事件个数.11将大小形状相同的2个红球和4个黑球放入如图所示的格子中，每格至多放一个，要求有公共边的方格所放小球不同色，如果同色球不加以区分，则所有不同的放法总数为（ ）A40B24C20D12【答案】D【解析】先考虑黑球的放置方案，再考虑红球，分步计算即可.【详解】为方便说明，将上述空格进行编号，具体如下：因为黑球有4个，且相邻的不能同色，故黑球只能放置在1,3,6,8或2,4,5,6中，合计2种可能；再考虑将2个红球放置在剩余4个空格中，共有中可能.则全部的放置方法有种.故选：D.【点睛】本题考查排列组合的应用，本题的关键是先考虑黑球的放置，再考虑红球.12已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数m的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】将，进行“半分离参数”，转化为函数图像的问题，进行处理；其中在画图前，需要借助导数判断三次函数的单调性.【详解】因为，等价于，不妨令，容易知：是恒过定点且斜率为的直线；对求导，可得，令，可得或，故在和单调递增，在单调递减，故在同一坐标系中绘制两个函数的图像如下：图中所示点与满足题意，只需直线在处的函数值小于等于-3，在处的函数值大于-16即可.则：，且,解得：故选：C.【点睛】本题考查利用导数解决存在性问题，注意数形结合的使用即可；同时本题中的半分离参数，是突破问题的重要方式，需要总结.二、填空题13复数_【答案】【解析】先化简复数，再计算模长.【详解】复数故.故答案为：.【点睛】本题考查复数的计算以及模长的求解，属基础题.14底面为正方形的直四棱柱中，点E是的中点则异面直线与所成角的大小为_【答案】【解析】取BC中点为F，将直线EB平移至，找到夹角，在三角形中求解即可.【详解】根据题意，取BC中点为F，连接，作图如下：在四边形中，因为/，且=BF故该四边形为平行四边形，则/，故为直线与BE所成角或其补角.在中，根据题意可知由余弦定理可得：又异面直线夹角的范围为：故即直线与所成角的大小为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.15在的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，记展开式中各项的系数之和为S，记各项的二项式系数之和为T，则_【答案】257【解析】根据二项式系数的变化规律，求得，再通过赋值，以及二项式系数和的公式，即可求得.【详解】因为的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故该二项展开式有9项，故.对二项式，令，可得其各项系数和为：.又二项式的系数和为：故故答案为：257.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数的变化规律，以及二项式系数和，还有系数和的计算，属综合题.16在平面直角坐标系xOy中，双曲线的上支与焦点为F的抛物线交于M，N两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】把代入双曲线，可得：，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出【详解】，整理即得：，又把代入双曲线可得：，即，所以渐近线为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线定义与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17甲乙两人各自独立的参加某单位面试，规定每位考生需要从编号为1-6的6道面试题中随机抽出3道进行面试，至少答对两道才能合格已知甲能答对其中3道题，乙能答对其中4道题（1）求甲恰好答对两道题的概率（2）求甲合格且乙不合格的概率【答案】（1）；（2）【解析】（1）通过排列组合计算所有的答题可能，再计算答对1道题的可能，利用古典概型计算公式求解即可；（2）分别计算甲乙合格的概率，再用独立事件概率乘法公式求得即可.【详解】（1）甲答题的所有可能为：；恰好答对两道题对应：从会答的3道题中选择2道，从不会的3道中选择1道，故其可能为：根据古典概型概率计算公式可得：；（2）甲合格即：从会答的3道题中选择2道，从不会的3道中选择1道；或者从会答的3道题中选择3道，故甲合格的概率为： 同理：乙不合格即：从会答的4道题中选择1道，从不会的2道中选择2道故乙不合格的概率为：由于甲乙答题相互独立，故甲合格而乙不合格的概率为：.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及排列组合求解事件个数，属综合基础题.18重庆一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序（结果用数字作答）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）不相邻问题插空法，先排男生，后将女生插空即可；（2）先计算全排列，再倍除每一次全排列中甲乙的全排列即可；（3）将3个男生进行捆绑，再进行排列.【详解】（1）先排3个男生，总共有种可能；再在产生的四个空中，选出3个，将女生进行排列，有种可能，故所有不同出场顺序有：；（2）先计算全部的排列可能有：，因为每一次全排列，甲乙都有种可能，故甲和乙定序的排列有：；（3）将3个男生进行捆绑后，总共有4个元素进行排列，先从甲女生以外的3个元素中选取1个第一个出场，再对剩余3个元素进行全排列，同时对3个男生也要进行全排列，故所有的可能有【点睛】本题考查排列组合中的，不相邻问题插空法，部分定序问题倍除法，以及相邻问题捆绑法，属综合题.19将4名交警随机分配到三个不同路口疏导交通（1）求每个路口都至少分配到一名交警的概率；（2）若将随机分配到路口甲的人数记为，求随机变量的分布列和期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）先计算四个交警的全部分配可能，再计算满足题意的可能，用古典概型计算即可；（2）根据题意，服从二项分布，故根据二项分布计算分布列和期望即可.【详解】（1）4名交警随机分配到三个不同路口，每人均有3种可能，故总共有种；而每个路口至少一个交警的可能有，由古典概型计算公式可得，每个路口都至少一个交警的概率：；（2）由条件可知，4名交警相互独立，且到路口甲的概率均为，故，故故的分布列为：01234【点睛】本题考查利用排列组合求古典概型的概率，以及二项分布的分布列以及数学期望的求解，属综合题.20如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E、F分别是PC和AB的中点（1）证明：平面PAD；（2）若，求PD与平面PBC所成角的正弦值【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】（1）在平面PAD中寻找EF的平行线，由线线平行，推证线面平行即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，通过向量法求解.【详解】（1）取PD中点为M，根据题意作图如下：因为E、M均为三角形PCD中两边中点，则，且，而，故AF/EM，且AF=EM，则四边形AMEF为平行四边形.故又EF不在面PAD，面PAD，故面PAD（2）由题设知底面ABCD，故PA，又，故平面PAB因为/AD，故平面PAB又面PAB则ADAB综上所述：ADAB且菱形ABCD为正方形，由AC=4，解得正方形ABCD的边长为. 以A为坐标原点，过点A，作BD的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，则，则，设平面PBC的法向量为，则，即取，又设PD与平面PBC所成角为，则故直线PD与平面PBC所成角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线平行，推证线面平行，以及用向量法求解线面角的正弦值。属立体几何综合中档题.21已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，的面积的最大值为（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线l与椭圆E相交于C、D两点，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据几何关系，可得关系式，解方程即可求得；（2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理将数量积进行转化，构造函数求最值.【详解】（1）由已知：，得：因为，所以，又，故.，从而E的方程为：；（2）当直线l的斜率为0时，A、C、D三点共线、；当直线l的斜率不为0时，设，直线l的方程为，将代入，整理得，则，又，故